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《合情推理与演绎证明》文字素材1(新人教a版选修1-2).doc

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1、高考中的类比推理大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。 ”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。例 1、 (2006 湖北)半径为 r 的圆的面积 2)(rS,周长 rC2)(,若将 r看作 ),0(上的变量,则 2)(, ,式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作看作 ),0(上的变量,请你写出类似于的式子:_,式可用语言叙述为_.解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立, ,34)(R

2、V24)(rS.答案: 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例 2 (2000 年上海高考第 12 题)在等差数列a n中,若 a10=0,则有等式a1a 2a n=a1a 2a 19n (n19,nN *)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列b n中,若 b9=1,则有等式 成立。分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列a n前 19 项中,其中间一项 a10=0,则 a1a 19= a2a 18= ana 20n = an1 a 19n =2a10=0,所以

3、 a1a 2a na 19=0,即a1a 2a n=a 19a 18a n1 ,又a 1= a19, a2= a18, , a19 n= an 1, a1a 2a n=a 19a 18a n1 = a1a 2 a19n 。相似地,在等比数列b n的前 17 项中,b 9=1 为其中间项,则可得 b1b2bn= b1b2b17n (n17,nN *) 。例 3 (2003 年全国高考新课程卷文科第 15 题)在平面几何里,有勾股定理:“设ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB2AC 2= BC2。 ”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正

4、确结论是:“设三棱锥 ABCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 _” 。分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性) ,像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有 SABC 2S ACD 2S ADB 2= SBCD 2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在 RtABC 中,过 A 作 AHBC 于 H,则由 AB2=BHBC,AC 2=CHBC 相加即得 AB2AC 2=BC2;在 三 侧 面 两 两 垂 直 的 三 棱 锥 ABCD 中,过 A 作 AH平面 BCD 于

5、H,类似地由 SABC 2=SHBC SBCD ,S ACD 2=SHCD SBCD ,S ADB 2=SHDB SBCD 相加即得 SABC 2S ACD2S ADB 2= SBCD 2。例 4、 (2006 上海)已知函数 xay有如下性质:如果常数 ao,那么该函数在,0(a上是减函数,在 ),a上是增函数。(1) 如果函数 0(2xyb的值域为 ),6,求 b 的值;(2) 研究函数 2c(常数 )在定义域内的单调性,并说明理由;(3) 对函数 xay和 2xy(常数 )0c作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 。解:(1)函数

6、)0(2xyb在 2,(b上是减函数,在 ),2b上是增函数,所以该函数在 bx处取得最小值 .b 令 6b,得 .9log2(2)设 02t,显然函数 tcy在 ,0(上是减函数,在 ),c上是增函数,令 cx得 44x,令 x2得 4c或 .4x又因为 2t在 ,(上是减函数,在 ),上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数 2xy在 ,4c上是减函数,在 )0,4c上是增函数,在 ,0(4c上是减函数, ),4c上是增函数。(3)推广结论:当 n 是正奇数时,函数 nxay(常数 )是奇函数,故在,(2na上是增函数,在 )0,2a是减函数,在 ,0(2上是减函数,在 ),2na上是增函数。而当 n 为正偶数时,函数 nxy(常数 )a是偶函数,在 ,(2n上是减函数,在 )0,2a是增函数,在 ,0(2上是减函数,在 ),2n上是增函数。点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数 nxy的单调性、最值,考查分析解决问题的能力。

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