1、剖析演绎推理证明的几种常见错误1. 偷换论题例 1 求证四边形的内角和等于 036。证明：设四边形 ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有 0003699，所以，四边形的内角和等于 36。剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。2. 虚假论据例 2 已知 和 3是无理数，试证 32也是无理数。证明：依题设 和 是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以 32也是无理数。剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数” ，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。
2、3. 循环论证例 3 在 ABCRt中， 09求证： 22cba。证明：因为 Acbaos,sin，cb222= )os(sicA。剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“ 1cossin22A”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。4. 不能推出例 4 设 81tan5t21tan20，） ， 且，（、 。求证： 4。证明：因为 tantanta1tn)tan( = 8512，4。剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为 1)tan(只
3、能推出 )(,Zn。至于关系式 4是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一步推出 4,0，即 30，原题才能得证。演绎推理的三种类型“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种情况，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。1、显性三段论在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提” 、 “小前提” 、 “结论”
4、 ；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。例 1、当 ba,为正数时，求证： ab2证明：因为一个实数的平方是非负数而 2)(2b是一个实数的平方，所以 ab是非负数，即 0ab所以， 2评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数” ，小前提：“ ab2是一个实数的平方” ，结论：“ ab2是非负数” ，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确。2、隐性三段论三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直
5、接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论。例 2、判断函数 1)(2xxf的奇偶性解：由于 R且 )(xf12x )()(122 xffx故函数为奇函数评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，用了；只是大前提“若函数 )(xf是奇函数，则 )()(xff；若函数 )(xf是偶函数，则)(xf”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论的又一表现形式。3、复式三段论一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，
6、这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论。例 3、若数列 na的前 项和为 2)(1nnas，求证：数列 na为等差数列。证明：由 21)()( 1111 ns nnnnn因此 3)()( 121134123121 aaaann 2121ann 故数列 n为等差数列评析：本题的论证共有三层，即三次使用演绎推理，请看第一层，大前提“若 ns是数列 na的前 项和，则 1nnsa”；小前提“数列na的前 项和为 2)(1nnas， 则 2)(12)(11nnn aa”；结论“1n”；第二层，大前提“对于非零数列 na，则有 )()(112nnaa ”；小前提“满足 211nan的数列 n有 1134123121)( an ”；结论“ )(1a”；第三层，大前提“对于数列 n，若 1na常数，则 na是等差数列” ；小前提“由 )(121nan，得 2为常数” ；结论“数列 n为等差数列” ；在这三层中，层层深入，步步逼近，慢慢的向我们要论证的结论靠拢，这是一种很重要且很实用的分析思维过程。
