1、例谈“三段论”在几何证明中的应用三段论式推理是演绎推理的主要形式，同时，它也是一种最常用的推理规则它包括大前提、小前提和结论在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式但对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用，本文略举几例，意在帮助同学们理解三段论推理的思维模式和过程例 如图 1， 、 、 分别是 BC、 A、 上的点， BFDA且DEBA求证： F证明：（1）同位角相等，两条直线平行， （大前提）与 是同位角，且 D， （小前提）所以 （结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （
2、大前提）EDBA且 E ， （小前提）所以四边形 F是平行四边形 （结论）（3）平行四边形的对边相等， （大前提）和 为平行四边形的对边， （小前提）所以 （结论）上面的证明通常简略地表述为： BFDAEE四边形 AFDE是平面四边形 EDAF评注：分析上述过程可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“同位角相等，两条直线平行” ）推出特殊性命题（如“ ”）的过程，在这个过程中只要前提为真，推理形式正确，结论必然为真，所以认清三段论的结构是关键例 2 已知：空间四边形 ABCD中，点 EF， 分别是 ABD， 的中点（如图 2） 求证： EF 平面 证明：连结 因为点 ， 分别是 ，
3、的中点，所以 又因为 平面 B， 平面 B，所以 平面 CD评注：在证明中，第一步实际上暗含着一个一般性的原理：三角形的中位线平行于第三边，这是大前提而对特殊的 A ， EF是中位线，这是小前提 把一般性原理用于前面的特殊情况，便得到结论 第二步同样暗含着一个一般性的原理：如果不在一个平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，这是大前提而 EFB ， 平面 BCD， 平面 BC，这是小前提把一般性的原理用于前面的特殊情况，便得到结论 平面 高考中的“合情思维”所谓“合情思维” ，简单地说，就是在直觉引导下进行合理的猜测法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作
4、用唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具 ”在近年来的数学高考试题中，除考查逻辑推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题考查学生的“合情思维”能力其中主要有归纳和类比一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证归纳是发现和认识规律的重要手段观察图形，寻找规律例 1 （2006 年高考广东卷）在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4 堆最
5、底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 ()fn表示第 n 堆的乒乓球总数，则 ()f_； ()f _（答案用n 表示） 解析：由题意首先可以看出：第一堆一层、第二堆两层、第三堆三层、第 n 堆有 n 层；再看每一层的球数，有没有注意到一个规律：第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等、第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等、第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等、于是， (3)10f， (1)22(3)(124)(12)6nn 2分析式子，寻找规律例 2 （2005 年全国高考湖
6、南卷）设 0()sinfx，10()fxf， 21()fxf， ， 1nf， N，则 205()fx（ ）（A） sin （B） si （C） cos （D） cos解析：本题若通过递推关系，将前 2004 项逐一求出是不现实的这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形0()sifx， 10()sfxfx， 21()sinffx，32co， 43()in， 由此继续求导下去，四个一循环，又 051，所以 2051()cosfxfx故选（C） 二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似 ”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清
7、楚类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移1类比旧知识，推出新结论例 3 （2006 年高考湖北卷）半径为 r 的圆的面积 2()Sr，周长 ()2Cr，若将 r 看作 (0)， 上的变量，则 2() ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为 R的球，若将 看作 (0)， 上的变量，请你写出类似于的式子：_ ，式可用语言叙述为_解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出恰好成立，34()VR， 2()4S答案： 32R，球的体积函数的导数等于球的表面积函数点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积、周长与球的体积、表面积进
8、行类比2类比新知识，推出新结论例 4 （2006 年高考四川理改编）非空集合 G关于运算?茌满足：（1）对任意的abG，都有 ab， （2）存在 e，都有 aea，则称 G关于运算为“融洽集” 现给出下列集合和运算： 非负整数 ， 为整数的加法 偶数 ， 为整数的乘法 平面向量 ， 为平面向量的加法 二次三项式 ， 为多项式的加法其中 G关于运算 为“融洽集”的是_ （写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移条件（1）说明经过?茌的运算后集合的封闭性；条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明） 在中，两个非负整数相加仍然是非负整数， e为整数集中的在中，要满足 aea，则 1，显然 G在中，两个平面向量相加仍然是平面向量， 为零向量在中，此时的 0，不是二次三项式故选
