1、第 1 讲 合情推理与演绎推理【2013 年高考会这样考】1从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主2演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题【复习指导】本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系，所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练基础梳理1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对
2、象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三
3、段论” 是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断一条规律在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面 现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误两个防范(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性双基自测1(人教 A 版教材习题改编)数列 2,5,11,20，x, 47，中的 x 等于( )A28 B32 C33 D27解析 从第 2 项起每
4、一项与前一项的差构成公差为 3 的等差数列，所以 x201232.答案 B2某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析 由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为 5 的三白二黑的圆列，因为 3657 余 1，所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同，即白色答案 A3给出下列三个类比结论：(ab) na nbn与(ab) n类比，则有 (ab) na nb n；log a(xy)log axlog ay 与 sin()类比，则有 sin( )sin sin ；(a b)2a
5、22abb 2 与(ab) 2 类比，则有(ab )2a 22a bb 2.其中结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D3解析 正确答案 B4 “因为指数函数 ya x是增函数(大前提)，而 y x是指数函数(小前提)，所以函数 y(13)x是增函数(结论)” ，上面推理的错误在于( )(13)A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析 “指数函数 ya x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数 a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的答案 A5(2011山东 )设函数 f(x) (x0)xx 2观察：f 1(x)f(
6、x) ，xx 2f2(x)f(f 1(x) ，x3x 4f3(x)f(f 2(x) ，x7x 8f4(x)f(f 3(x) ，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_.解析 根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知 fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，故 fn(x) .x2n 1x 2n答案 .x2n 1x 2n考向一 归纳推理【例 1】观察下列等式：可以推测：1 32 33 3n 3_(nN *，用含有 n 的代数式表示)审题视点 第二列的右端分别是 12,32,62,1
7、02,152，与第一列比较可得解析 第二列等式的右端分别是 11,33,66,1010,1515，1,3,6,10,15，第 n 项 an与第 n1 项 an1 (n2) 的差为：ana n1 n，a 2a 12，a 3a 23，a 4a 34，a na n1 n，各式相加得，ana 123n，其中 a11，a n123n，即 an ，a n2(n1)nn 12 2n 142.答案 n2(n1) 214所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论【训练 1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式： 2 ， 2 ， 2 ，根据以上不等式的规律，3 17
8、 10 7.5 12.5 10 8 2 12 2 10请写出一个对正实数 m，n 都成立的条件不等式_ 解析 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20，不等式的右边都是 2 ，因此对正实数 m，n 都成立的条件不等式是：若 m，nR ，则当10mn20 时，有 2 .m n 10答案 若 m，nR ，则当 mn20 时，有 2m n 10考向二 类比推理【例 2】在平面几何里，有“若ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，则三角形面积为 SABC (ab c)r”，拓展到空间，类比上述结论， “若四面体 ABCD 的四个面的12面积分别为 S1，S 2，
9、S 3，S 4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为 _”审题视点 注意 发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中 类比为三维图形中的 ，得 V 四面体12 13ABCD (S1 S2S 3S 4)r.13答案 V 四面体 ABCD (S1S 2S 3S 4)r.13(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一
10、定可靠，但它却有发现的功能【训练 2】 已知命题：“若数列a n为等差数列，且 ama，a nb(m n，m ，nN *)，则amn ”现已知数列 bn(bn0，nN *)为等比数列，且bn amn mbma，b nb(mn，m， nN *)，若类比上述结论，则可得到 bmn _.答案 a (ba) nn m考向三 演绎推理【例 3】数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11 ，a n1 Sn(nN )证明：n 2n(1)数列 是等比数列；Snn(2)Sn1 4a n.审题视点 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内
11、，小前提有时也可以省略，而采取某种 简明的推理模式证明 (1)a n1 S n1 S n，a n1 Sn，n 2n(n 2)Sn n(Sn1 S n)，即 nSn1 2(n1)S n. 2 ，( 小前提)Sn 1n 1 Snn故 是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)Snn(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 4 (n2)，Sn 1n 1 Sn 1n 1S n1 4( n1) 4 Sn1Sn 1n 1 n 1 2n 14a n(n2) ， (小前提)又 a23S 13，S 2a 1a 21344a 1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn1 4a n.(结论)(
12、第(2) 问的大前提是第(1) 问的结论以及题中的已知条件)演绎 推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练 3】 已知函数 f(x) (xR)2x 12x 1(1)判定函数 f(x)的奇偶性；(2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性，并证明解 (1)对xR 有xR，并且 f(x) f(x)，所以 f(x)是奇2 x 12 x 1 1 2x1 2x 2x 12x 1函数(2)法一 f(x)在 R 上单调递增，证明如下：任取 x1，x 2R，并且 x1x 2，f(x1)f(x 2) 2x1 12x1
13、1 2x2 12x2 12x1 12x2 1 2x2 12x1 12x1 12x2 1 .22x1 2x22x1 12x2 1x 1x 2，2x 12x 20，即 2x12x 20，又2x 110,2x 210. 0.22x1 2x22x1 12x2 1f(x 1)f(x 2)f(x)在 R 上为单调递增函数法二 f( x) 02x 1ln x2x 12f(x)在 R 上为单调递增函数难点突破 25高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理一、归纳推理【示例】 (2011 陕西)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_二、类比推理【示例】 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S4，S 8S 4，S 12S 8，S 16S 12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列b n的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_， 成T16T12等比数列
