1、数学：2.1合情推理与演绎证明测试新人教 A 版选修（2-2）一、选择题1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）充分条件 必要条件 充要条件 等价条件答案：2结论为： nxy能被 x整除，令 1234n，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） N N且 为正奇数 n为正偶数答案：3在 ABC 中， sincosAC，则 B 一定是（ ）锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定答案：4在等差数列 na中，若 0n，公差 0d，则有 4637a，类经上述性质，在等比数列 nb中，若 1q，则 4578b，的一个不等关系是（ ） 4857 48b 78bb 457答案：
2、5 （1）已知 32pq，求证 2pq ，用反证法证明时，可假设 2pq ，（2）已知 abR， 1b，求证方程 0xab的两根的绝对值都小于 1用反证法证明时可假设方程有一根 1x的绝对值大于或等于 1，即假设 1x ，以下结论正确的是（ ） (1)与 2的假设都错误 与 的假设都正确 (1)的假设正确； (2)的假设错误 的假设错误； 的假设正确答案：6观察式子： 213， 2153， 22174， ，则可归纳出式子为（ ） 221()31n 2 221()3n 12 答案：7如图，在梯形 ABCD中， ()ABaCDb， 若EF， 到 与 的距离之比为 :mn，则可推算出：mab试用类比
3、的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形 ABC中，延长梯形两腰 ABC，相交于 O点，设O， D 的面积分别为 12S， EF 且 到 CD与 AB的距离之比为 :mn，则 EF 的面积 0S与 12，的关系是（ ） 120mnS 120nmS 0 0答案：8已知 abR，且 2ab，则（ ）2121ab21ab21ab答案：9用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 20()axbca有有理根，那么abc，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）假设 ，都是偶数假设 c都不是偶数假设 ab，至多有一个是偶数假设 c至多有两个是偶数答案：10用数学归纳法证明 (1)2()213()nn
4、，从 k到 1，左边需要增乘的代数式为（ ） 21k ()k k 23k答案：11类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ()2xaS，()2xaC，其中 0a，且 1，下面正确的运算公式是（ ） ()()SyCyxSy； (x； )()()yySx； (Cx； 答案：12正整数按下表的规律排列则上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为（ ） 205 206 2056 2056答案：二、填空题13写出用三段论证明 3()sin()fxxR为奇函数的步骤是 答案：满足 ()(ff的函数是奇函数， 大前提333()sinsin(sin)(fxxxxf， 小前提所以 i
5、f是奇函数 结论14已知 1()()23fnnN ，用数学归纳法证明 (2)nf时，1(2kkff等于 答案： 112kkk15由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：1 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21设第 n个图有 na个树枝，则 1na与 (2) 之间的关系是 答案： 12n三、解答题17如图（1） ，
6、在三角形 ABC中， A，若 DBC，则 2ABDC；若类比该命题，如图（2） ，三棱锥 D中， 面 ，若 点在三角形 所在平面内的射影为 M，则有什么结论？命题是否是真命题解：命题是：三棱锥 ABCD中， 面 ABC，若 点在三角形 BCD所在平面内的射影为 M，则有 2BMSS 是一个真命题证明如下：在图（2）中，连结 ，并延长交 于 E，连结 ，则有 E因为 AD面 C， ，所以 A又 E，所以 2ED于是 21112ABC BCMDSBMS 18如图，已知 P矩形 ACD所在平面， N，分别是 AP，的中点求证：（1） MN 平面 ；（2） 证明：（1）取 的中点 E，连结 E，E，分
7、别为 PCD，的中点N为 的中位线，2 ， 12AMB，而 AC为矩形，DB ，且 E ，且 EAENM 为平行四边形， NAE ，而 M平面 PAC， E平面 PAD， 平面 PD（2） 矩形 BC所在平面，C，而 ， P与 D是平面 内的两条直交直线，平面 ，而 平面 ，AE又 MN ， 19求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大证明：（分析法）设圆和正方形的周长为 l，依题意，圆的面积为2l，正方形的面积为24l因此本题只需证明2ll要证明上式，只需证明2416l，两边同乘以正数 2l，得 因此，只需证明 上式是成立的，所以24ll这就证明了如果一个圆和一个正方
8、形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大20已知实数 abcd，满足 1abcd， 1acbd，求证 abcd，中至少有一个是负数证明：假设 abcd，都是非负实数，因为 1abcd，所以 01，所以 2ac ， 2bc ，所以 2cacbd ，这与已知 1相矛盾，所以原假设不成立，即证得 abcd，中至少有一个是负数21设 ()2xaf， ()2xag（其中 0a，且 1） （1） 53请你推测 5能否用 ()3(2)fg，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广解：（1）由332325(3)2() 1aaaafgf，又5()ag，因此 (3)2()fgf（2）由
9、532ff，即 (3)(2)(3)gfgf，于是推测 ()()(gxyfgyxfy证明：因为 2xaf， 2xa（大前提） 所以()()xyxyg， (yg， ()2yaf， （小前提及结论）所以()() )2xyxyxyxyaaaff g22若不等式 1134nn 对一切正整数 n都成立，求正整数 的最大值，并证明结论解：当 1时， 1234a，即 264a，所以 26a而 是正整数，所以取 5a，下面用数学归纳法证明： 1125234nn （1）当 n时，已证；（2）假设当 k时，不等式成立，即 152314kk 则当 时，有 1()()23(1)kk1134kk 254343()k因为 216(1)2324983()kkk，所以 ，所以 103243(1)kk所以当 n时不等式也成立由（1） （2）知，对一切正整数 n，都有 1125234n ，所以 a的最大值等于 25
