1、高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。 ”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。例 1、 （2006 湖北）半径为 r 的圆的面积 2)(rS，周长 rC2)(，若将 r看作 ),0(上的变量，则 2)(， ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作看作 ),0(上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可用语言叙述为_.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,34)(R
2、V24)(rS.答案： 球的体积函数的导数等于球的表面积函数。点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例 2 （2000 年上海高考第 12 题）在等差数列a n中，若 a10=0，则有等式a1a 2a n=a1a 2a 19n （n19，nN *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列b n中，若 b9=1，则有等式 成立。分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列a n前 19 项中，其中间一项 a10=0，则 a1a 19= a2a 18= ana 20n = an1 a 19n =2a10=0，所以
3、 a1a 2a na 19=0，即a1a 2a n=a 19a 18a n1 ，又a 1= a19， a2= a18， ， a19 n= an 1， a1a 2a n=a 19a 18a n1 = a1a 2 a19n 。相似地，在等比数列b n的前 17 项中，b 9=1 为其中间项，则可得 b1b2bn= b1b2b17n （n17，nN *） 。例 3 （2003 年全国高考新课程卷文科第 15 题）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2AC 2= BC2。 ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正
4、确结论是：“设三棱锥 ABCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 _” 。分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性） ，像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有 SABC 2S ACD 2S ADB 2= SBCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在 RtABC 中，过 A 作 AHBC 于 H，则由 AB2=BHBC，AC 2=CHBC 相加即得 AB2AC 2=BC2；在 三 侧 面 两 两 垂 直 的 三 棱 锥 ABCD 中，过 A 作 AH平面 BCD 于
5、H，类似地由 SABC 2=SHBC SBCD ，S ACD 2=SHCD SBCD ，S ADB 2=SHDB SBCD 相加即得 SABC 2S ACD2S ADB 2= SBCD 2。例 4、 （2006 上海）已知函数 xay有如下性质：如果常数 ao，那么该函数在,0(a上是减函数，在 ),a上是增函数。（1） 如果函数 0(2xyb的值域为 ),6，求 b 的值；（2） 研究函数 2c（常数 )在定义域内的单调性，并说明理由；（3） 对函数 xay和 2xy（常数 )0c作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） 。解：（1）函数
6、)0(2xyb在 2,(b上是减函数，在 ),2b上是增函数，所以该函数在 bx处取得最小值 .b 令 6b，得 .9log2（2）设 02t，显然函数 tcy在 ,0(上是减函数，在 ),c上是增函数，令 cx得 44x，令 x2得 4c或 .4x又因为 2t在 ,(上是减函数，在 ),上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数 2xy在 ,4c上是减函数，在 )0,4c上是增函数，在 ,0(4c上是减函数， ),4c上是增函数。（3）推广结论：当 n 是正奇数时，函数 nxay（常数 )是奇函数，故在,(2na上是增函数，在 )0,2a是减函数，在 ,0(2上是减函数，在 ),2na上是增函数。而当 n 为正偶数时，函数 nxy（常数 )a是偶函数，在 ,(2n上是减函数，在 )0,2a是增函数，在 ,0(2上是减函数，在 ),2n上是增函数。点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数 nxy的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。
