1、21.3 实际问题与一元二次方程（1）（面积问题）学习目标能够熟练的利用面积建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题；来源:学优高考网能够结合实际情况正确决定一元二次方程根的取舍问题；熟练掌握列方程解应用题的步骤和关键要点归纳面积问题是实际生活中普遍存在的一种问题模式，正确解答此类问题的关键是用不同的方法或途径表示出同一面积，然后据此得到方程，最后要特别注意解的合理性，正确进行取舍学情诊断一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分。1有一个面积为 16 cm2的梯形，它的一条底边长为 3 cm，另一条底边长比它的高线长 1cm，若设这条底边长为 cm，依据题意，列出方
2、程整理后得（ ）.xA B2350x270xC D2在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂8cm图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm ，设金色纸边的宽为 ，那么 所2cmx满足的方程是（ ） 21304x26530x 3. 三国时期的数学家赵爽，在其所著的勾股圆方图注中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是 35）拼成如图 6 所示的一个大正方形，利用所给的数据，下列方程不正确的是（ ） Ax(x+2)=35 B(2x+2) 2=35+4 C4x(x+2)= (2x+2) 2-4 Dx(x+2)=435+44.从正方形铁
3、片上截去 2cm 宽的一条长方形，余下部分的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm 2 D64cm 2 5.如图，将面积为 1363 的长方形 ABCD 分割成 1 个灰色长方形与 148 个面积相等的小正方形。根据下图，若灰色长方形之长与宽的比为 5：3，设小正方形的边长为 x，则可列方程为（ ）A5x3x= 1363 B5x3x=148 C47x29x=1363 D47x29x=148二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分。6. 一个矩形的长比宽多 4 cm，面积是 96 cm2，若设矩形的宽为 xcm，则可得方程_7.如
4、图 9 所示，是一张长 9cm、宽 5cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 12 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 ，2cmxcm则可列出关于 的方程为 .x8.在一块长 35m，宽 26m 的矩形绿地上准备修建宽度相同的两条五彩石小路，如图 4所示，其中计划剩余绿地面积为 850m2，若设小路宽为 xm，则可列出方程为 9.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（ ）cm，正六边形的边长为（ ）cm .则这两段217x2x(0)x其 中铁丝的总长为 .10.如图 5 所示，8 块相同的长方形地砖拼成面积
5、为 2400cm2 的大矩形，则该小矩形的周长为_三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分。11.（13 分）利达加工厂加工一批如图 2 所示的底面为正方形的长方体酒盒，按照厂家的要求它的高等于 30cm，为了美观且摆放稳定，要求侧面积是底面正方形面积的 8 倍，你能帮助厂家计算出底面的边长吗？12.（13 分）如图 8 所示是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的 2 倍这块休闲场所南北长 18m，东西宽 16m已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为
6、 168m2，请问主干道的宽度为多少？来源:gkstk.Com13.（14 分）在一块长 16m，宽 12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.挑战自我14.（20 分）把一张边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）如图，若再正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为 484cm2，那么
7、剪掉的正方形的边长为多少？（2）若再正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上） ，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况） 第 9 课时 参考答案1.A解析：根据梯形的面积公式得 ，整理得 .故1(3)162x2350x选 A.2. B.解析：由题意得 8050+280x+250x+4x2=5400,整理得 ，2故选 B.3.D.解析：选项 A 中，等量关系是每个矩形的面积都是 35 列方程；选项 B 中，等量关系是四个矩形以及中间的小正方形围成的面积正好是大正
8、方形的面积；选项 C 中，等量关系是大正方形的面积减去中间小正方形的面积是四个矩形的面积；选项 D 不正确.4.D解析：设原来正方形的边长为 x，由题意得 x2=2x+48,解得 x1=-6(舍去)，x 2=8.故原正方形的面积是 64 cm2，选 D.来源:学优高考网5.C.解析：根据长方形对边相等的性质可知，灰色长方形的一条长边和一条宽边上可排列的小正方形的个数为 个，根据灰色长方形之长与宽的比为 5：3，可知灰1487色长方形的长边上可排列的小正方形的个数为 45 个，宽边上可排列的小正方形的个数为27 个，那么 AD 边上可排列的小正方形的个数为 49 个， AB 边上可排列的小正方形
9、的个数为 29 个，根据长方形的面积公式可得 47x29x=1363.故选 C.6. x（x+4）=96.7.（92x） （52x）=12.8. . 解析：将小路平移到矩形绿地的相邻的两条边上，可得方程（35-x ）2610（26-x） =850,即 .26x9.420cm.解析：由已知得，正五边形周长为 5（ ）cm，正六边形周长为 6（217x）cm. 因为正五边形和正六边形的周长相等，所以 . 2x 22=x（ ） 6（ ）整理得 ,解得 (舍去).21850x12=x， -故正五边形的周长为 (cm). 27（ ）又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为 420cm.10.80cm.
10、解析：设小矩形的宽为 x，则由图像可得小矩形的长为 3x，由题意得8x3x=2400，解得 x1=10,x2=-10（舍去） ，所以小矩形的周长为 2（10+310）=80，故填80cm.11.解：设底面的边长为 x，根据题意，得 8x =4x30.2整理，得 x 15x=0.2解得 x（x15）=0. (不合题意，舍去)， .01152x答：酒盒底面的边长为 15cm12.解：设主干道的宽度为 2xm，则其余道路宽为 xm.根据题意，得（16-4x）(18-4x)=168.整理，得 1x， 25当 12x时，16-4x0，不合题意，故舍去当 x=1 时，2x=2来源:gkstk.Com答：主
11、干道的宽度为2m13.解：不符合设小路宽度均为 m，根据题意，得 .x 1(162)62x整理、化简，得 x2-14x+24=0.解得 (不合题意，舍去).,小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为 2m14.解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm，则(40-2x) 2=484，即 40-2x=22，解得 x1=31（不合题意，舍去） ，x 2=9来源 :gkstk.Com剪掉的正方形的边长为 9cm（2）在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为 xcm，2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550，解得 x1=-35（不合题意，舍去） ，x 2=15剪掉的正方形的边长为 15cm此时长方体盒子的长为 15cm，宽为 10cm，高为 5cm
