1、23.4 中位线课前知识管理1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图 1.在ABC 中，点 E，F 分别是AB、AC 的中点，则线段 EF 就是ABC 的一条中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在ABC 中，点 E，F 分别是 AB、AC 的中点，则 EFBC，并且 .12BC名师导学互动来源:学优高考网 gkstk典例精析：知识点 1：用三角形中位线判断四边形形状例 1、在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （
2、C）菱形 （D）正方形【解题思路】因为梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即 AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知 EF 与 HG 都平行且等于 AC 的一半，同理，EH 和 FG 都平行且等于 BG 的一半，所以 EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.【解】选 C.【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为： 原 四 边 形 两 条 对 角 线 中 点 四 边 形 互 相 垂 直 矩 形 相 等 菱 形 互 相 垂 直 且 相 等 正 方 形 既 不 互 相 垂 直 也 不 相 等 平 行 四 边
3、 形 对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是 .答案：矩形.知识点 2：利用三角形中位线计算例 2、如图，在等腰梯形 中， ， ， ， 相交于ABCDB 3AD5BCAD，点，且 ，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（ ）O60A24 B20 C16 D12【解题思路】过 D 作 FDAC 交 BC 的延长线交于 E,由已知条件易知 是等边三角形,DBE而四边形 ACED 为平行四边形,易得 AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为 16.
4、【解】选 C.【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.对应练习：如图所示，EF 是 ABC 的中位线，BD 平分 ABC交 EF 于 D，若 ED=2，则EB=_.答案：2知识点 3：应用三角形中位线定理说明角相等例 3、已知，如图，四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，BA、FE的延长线相交于点 M，CD、FE 的延长线相交于点 N.试说明：AMEDNE.【解题思路】因 E、F 分别是 AD、BC 的中点，可考虑连结 BD，构造出中位线.来
5、源:gkstk.Com【解】连结 BD，取 BD 的中点 O，连结 OE、OF.易得 EO 21AB，且EOAB，FO 21CD，且 FOCD. OEFAME，OFEDNE.又因为 ABCD，EOFO，OEFOFE，AMEDNE.【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线” ，多数情况下这个想法是行得通的.对应练习：如图所示，在ABC 中，AC=5 ，中线 AD=4，则 AB 边的取值范围是（ ）A. 19ABB. 31AB C. 513AB D. 913AB来源:学优高考网 gkstk答案：B知识点 4：应用三角形中位线定理证明线段相等例 4、如图所示
6、，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 BD=CE，M，N 分别是 BE、CD的中点，过 M、N 的直线交 AB 于 P，交 AC 于点 Q.求证：AP=AQ.【解题思路】欲证 AP=AQ，可考虑证明 .根据题设条件，可取 BC 的中点APQF，连结 FM，FN， （如图 3）则 MF、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用 BD=CE 易证FM=FN，从而 ，由平行线的性质可知 ，于是121,2AQP成立，进而结论成立.APQ【解】证明：取 BC 的中点 F，连结 FM，FN，由条件知：MF、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线，FMAC，FNBD， ， .又1,2M
7、CENBD1,2因为 BD=CE，所以 FM=FN。 ，所以 ，所以 AP=AQ.12APQ【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.对应练习：已知，如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，且 ACBD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，EF 分别交 AC、BD 于点 M、N.试说明：OMON.解：取 AB 的中点 P，连结 EP、FP.易得 EP 21BD 且 EPBD，FP 21AC 且FPAC.DNEPEN，CMFPFM，又ACBD ，PE PF ，PENPFM，DNECMF，OM ON.知识点
8、5：应用中位线定理求面积例 5、如图，在ABC 中，BCAC,点 D 在 BC 上，且 DCAC，ACB 的平分线 CF 交AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF，若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积.【解题思路】由题意，易得 EFBD ， ，并推出 AEFABD ，21BDEF，即261()ABDS，从而可求出ABD 的面积.2)1(ABDEFS【解】 C平 分 ， .又 CA， CF 是ACD 的中线， 点 F 是 AD 的中点. 点 E 是 AB 的中点， EFBD ， AEFABD ， ， 21BDEF， 6AFBDABDBFESS四 边 形 ， 6()AS
9、， 2)1(ABDES8，即 的面积为 8.【方法归纳】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由 EFBD=12， 得 SAEF S ABD =12，或 SAEF S 四边形 BDFE =12，之类的错误.对应练习：已知，如图，ABC 的中线 AD、BE 交于点 G.试说明：S ABG S 四边形 CEGD.解：连结 DE，易得 DEAB，S ABE S ABD .又因为 AD 是ABC 的 BC 边上的中线，S ABD S ACD ，S ABE S ACD .S ABE S AEGS ACDS AEG ，即 SABG S 四边形 CEG
10、D.易错警示例 6、已知等腰ABC 中，C=90，AB=10，D 、E 分别是 AB、AC 的中点，求 DE 的长.错解：由已知可得，DE 是 ABC 的中位线，所以 DE= AB=5.21错因分析：DE 是ABC 的中位线没错，但中位线 DE 的第三边却不是 AB，而是 BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透.正解：由已知可得：BC=AB =5 ，因此 DE= BC= .2215课堂练习评测考点 1：三角形中位线1、如图，ABC 中，点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC ； 其中正确的有（ ）ACB（A）3 个 （B）2 个 （
11、C）1 个 （D）0 个2、如 图 ， AD 是 ABC 的 中 线 ， ADC=45， 把 ADC 沿 AD 对 折 ， 点 C 落 在 点 C的位置，则 BC与 BC 之间的数量关系是 .3、如图， DE是 ABC 的中位线， 2DEcm， 12ABCcm，则 B cm，梯形 的周长为 cm课后作业练习【基础过关】1连结三角形_的线段叫做三角形的中位线2三角形的中位线_于第三边，并且等于_3一个三角形的中位线有_条4如图(1)所示，EF 是ABC 的中位线，若 BC=8cm，则 EF=_cm熊方亮考分类2010中考精品 word模板批量转换器2010精品分类汇编（7 月16）123456黄
12、刚 中德鹏 (1) (2) (3) (4)5三角形的三边长分别是 3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_cm来源:学优高考网6在 RtABC 中，C=90，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_7若三角形的三条中位线长分别为 2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ）A4.5cm B18cm C9cm D36cm8如图(2)所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A，B 的点 C，找到 AC，BC 的中点 D，E，并且测出 DE 的长为 10m
13、，则 A，B 间的距离为（ ）A15m B25m C30m D20m9已知ABC 的周长为 1，连结ABC 的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2007 个三角形的周长是（ ）A 2062071 1.20620710如图(3)所示，已知四边形 ABCD，R，P 分别是 DC，BC 上的点，E，F 分别是 AP，RP 的中点，当点 P 在 BC 上从点 B 向点 C 移动而点 R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ）A线段 EF 的长逐渐增大 B线段 EF 的长逐渐减少C线段 EF 的长不变 D线段 EF 的长不能确定11如图(4),在ABC
14、中，E，D，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）A10 B20 C30 D40【应用拓展】12如图所示， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE=EB，求证：OEBC13如图所示，在ABC 中，点 D 在 BC 上且 CD=CA，CF 平分ACB，AE=EB，求证：EF= BD1214如图所示，已知在 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，求证：MNBC【综合提高】15某厂有一块如图所示的ABC 铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形铁板要把材料完全利用起来，可怎样加工？请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用
15、虚线画出来，并指出加工后的平行四边形能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索CBACBACBA16、如图所示，在ABC 中，AD 是中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点.试说明 AF、FC 的关系.17、如图所示，AE 平分BAC，B EAE ，垂足为 E，D 为 BC 的中点，BAE=36，则试求 BED 的度数.18、已知：如图所示，BD、CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作AFBD ，AG CE，垂足分别为 F、G连结 FG，延长 AF、AG，与直线 BC 相交， 易证 FG=（AB+BC+AC） 若（1）BD、CE 分别是ABC 的内角平分线（
16、如图） ；（2）BD21为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线（如图） ，则在图、图两种情况下， 线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并对其中的一种情况给予证明23.4 课堂作业参考答案：1、A2、BC= BC 点拨：因为 ADC=45， 由 轴 对 称 性 质 可 知 DC=DC， CD C=90.又 BD=CD， 由 勾 股 定 理 可 知 ， BC= BC23、4，12课后作业参考答案：1、两边中点 2、平行，第三边的一半 3、3 4、45、76、6.57、B8、D9、C10、C11、A12、由 BO=DO 和 EA=EB 得 OE 是中位线，所
17、以 OEBC.13、由等腰三角形三线合一得 FA=FD又由 E 是中点，所以 EF 是中位线，即得结论.14、提示：证AEMFBM 得 ME=MB，同理得 NE=NC，于是 MN 是EBC 的中位线，即得结论.15、参照图形：16、取 BF 的中点 G，连结 DG，则 DG 是BCF 的中位线，DG= FC，再证明 AF=DG.2117、延长 BE 交 AC 于 F，则 ABEF，那么 AB54，DE 是BCF 的中位线，所以有 BEDC126.18.解：猜想结果：图中，FG= （AB+AC-BC） ；图 中，FG= （BC+AC-AB ） 21证明图的结果如下：如图所示，分别延长 AG、AF 交 BC 于 H、K 在ABF 和 KBF 中， ABF=KBF，BF=BF，BFA= BFK=90，ABFKBF（ASA） AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等） 同理ACGHCGAG=GH，AC=HCFG= HK（三角形中位线定理） 21又HK=BK-BH=AB-（BC-CH）=AB-（BC-AC）=AB+AC-BC，FG= （AB+AC-21BC） 来源:学优高考网 gkstk
