1、专题九 反比例函数与几何图形综合题反比例函数与三角形【例 1】 (2016重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的坐标是(m， 4) ，连接 AO，AO 5，sinAOC .35(1)求反比例函数的解析式；(2)连接 OB，求 AOB 的面积分析：(1)过点 A 作 AEx 轴于点 E，通过解直角三角形求出线段 AE，OE 的长度，得出点 A 的坐标，即可求出反比例函数解析式； (2)先求出点 B 的坐标，再求直线 AB 的解析式，从而可求出点 C 的坐标 ，再利用三角形的面积公式
2、即可得出结论解：(1)过点 A 作 AEx 轴于点 E，设反比例函数解析式为 y .AEx 轴，kxAEO 90 .在 RtAEO 中，AO5，sinAOC ，AE AO sinAOC3，OE 4，点 A 的坐标35 AO2 AE2为(4， 3)，可求反比例函数解析式为 y12x(2)易求 B(3，4)，可求直线 AB 的解析式为 yx1.令一次函数 yx1 中y0，则 0x1，解得 x1，C(1，0)，S AOB OC(yAy B)12 13(4)12 72反比例函数与四边形【例 2】 (2016恩施)如图，直角三角板 ABC 放在平面直角坐标系中，直角边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 Q
3、，已知 ACB 60，点 A，C，P 均在反比例函数 y 的图象43x上，分别作 PFx 轴于点 F，ADy 轴于点 D，延长 DA，FP 交于点 E，且点 P 为 EF 的中点(1)求点 B 的坐标；(2)求四边形 AOPE 的面积分析：(1)设点 A(a，b)，则 tan60 ，b ，联立可求点 A 的坐标，从而得出ba 3 43a点 C，B 的坐标 ；(2)先求出 AQ，PF 的长，从而可求点 P 的坐标和 SOPF，再求出 S 矩形 DEFO，根据 S 四边形 AOPES 矩形 DEFOS AODS OPF，代入计算即可解：(1)ACB60， AOQ60，tan 60 ，设点 A(a，
4、b)，则AQOQ 3解得 或 (不合题意，舍去) ， 点 A 的坐标是(2，2 )，点ba 3，b 43a， ) a 2，b 23) a 2，b 23) 3C 的坐标是 (2，2 )，点 B 的坐标是(2，2 )3 3(2)点 A 的坐标是 (2，2 )，AQ2 ，EF AQ 2 ，点 P 为 EF 的中点，3 3 3PF ，设点 P 的坐标是(m，n)，则 n ，点 P 在反比例函数 y 的图象上，3 343x ，S OPF |4 |2 ，m4，OF4，S 矩形343m 12 3 3DEFOOFOD42 8 ，点 A 在反比例函数 y 的图象上，S AOD |4 |23 343x 12 3，
5、 S 四边形 AOPES 矩形 DEFOS AOD S OPF 8 2 2 43 3 3 3 31(2016泸州)如图，一次函数 ykxb(k0) 与反比例函数 y 的图象相交于mxA，B 两点 ，一次函数的图象与 y 轴相交于点 C，已知点 A(4，1)(1)求反比例函数的解析式；(2)连接 OB(O 是坐标原点)，若BOC 的面积为 3，求该一次函数的解析式解：(1)y (2) 一次函数 ykxb(k 0)经过点 A(4， 1)，4kb1，即4xb14k，联立 得 kx2(14k)x40，解得 x4 或 ，点y 4x，y kx 1 4k) 1kB( ，4k)，又点 C(0，1 4k)，而
6、k0， 0， 14k0，S BOC ( )1k 1k 12 1k(14k)3，k ，b14k3，该一次函数解析式为 y x312 122(2016宁夏)如图，RtABO 的顶点 O 在坐标原点，点 B 在 x 轴上，ABO90，AOB 30，OB2 ，反比例函数 y (x0)的图象经过 OA 的中点 C，交 AB 于点3kxD.(1)求反比例函数的关系式；(2)连接 CD，求四边形 CDBO 的面积解：(1)ABO90，AOB 30，OB 2 ，AB OB2，作 CEOB333于 E， ABO90，CEAB ，OCAC ，OE BE OB ，CE AB1，C( ，1)，可求反比例12 3 12
7、 3函数的关系式为 y (2)OB2 ，点 D 的横3x 3坐标为 2 ，代入 y 得 y ，D(2 ， )，33x 12 3 12BD ，AB2，AD ，S ACD ADBE ，S 四边形 CDBOS 12 32 12 12 32 3 334AOB SACD OBAB 2 2 12 334 12 3 334 5341(导学号 59042305)( 2016东营)如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y 的图象在第二象限交于点 C，CEx 轴，垂足mx为点 E， tanABO ，OB4，OE2.12(1)求反比例函数的解析式；(2)若点
8、 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DFy 轴，垂足为点 F，连接 OD，BF ， 如果 SBAF 4S DFO ，求点 D 的坐标解：(1)OB 4，OE 2， BEOBOE 6.CE x 轴，CEB90.在 RtBEC 中 ，BE6，tanABO ，CEBEtanABO6 3，C(2，3)，可求反12 12比例函数的解析式为 y6x(2)点 D 在反比例函数 y 第四象限的图象上 ，设点 D 的坐标为(n， )6x 6n(n0)在 Rt AOB 中，AOB 90，OB4， tanABO ，OAOBtanABO 4 2.S 12 12BAF AFOB (OAOF)OB (2
9、 )44 .点 D 在反比例函数 y 第四象限12 12 12 6n 12n 6x的图象上，S DFO | 6|3.S BAF 4S DFO ，4 43，解得 n ，经检验12 12n 32n 是分式方程的解，点 D 的坐标为( ，4)32 322(导学号 59042306)( 2016莆田)如图，反比例函数 y (x0)的图象与直线 yxkx交于点 M，AMB 90， 其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点 A，B，四边形 OAMB的面积为 6.(1)求 k 的值；(2)点 P 在反比例函数 y (x0)的图象上，若点 P 的横坐标为 3，EPF 90，其kx两边分别与 x 轴的正半轴，直线 y
10、x 交于点 E，F，问是否存在点 E，使得 PEPF ？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)过点 M 作 MCx 轴于点 C，MDy 轴于点 D，则MCAMDB90，AMCBMD，MC MD，AMCBMD ，S 四边形 OCMDS 四边形OAMB6 ，k6(2)存在点 E，使得 PEPF. 由题意得点 P 的坐标为(3，2)，过点 P 作 PGx 轴于点G，过点 F 作 FHPG 于点 H，交 y 轴于点 K，PGE FHP90，EPG PFH，PEPF，PGEFHP， PGFH 2，FKOK321，GEHP 211，OE OGGE314，E(4，0) ； 过点 P 作 PGx 轴于点 G，过点 F 作 FHPG 于点 H，交 y 轴于点K，PGEFHP90，EPGPFH ，PE PF，PGEFHP， PGFH 2，FKOK325，GEHP 523，OE OGGE336，E(6，0) 综上可知，点 E 的坐标为(4，0) 或(6，0)
