1、互动课堂疏导引导1.综合法与分析法的思维特点分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件.若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的.分析法的特点：有些题目用一般方法较难入手时，可以用分析法探索解题思路，然后再倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清楚，书写要严格.综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决.综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法.分析法是和综合法相比较而清晰的.综合法逐步推求已知条件的必要条件.而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合法从思维过程看是互逆的，叙述形式也
2、有区别.一般说来，当题目已知条件较少，发展已知较困难时，可逆向思考，由果索因，用分析法解决.一般地,对于命题“若 A 则 D”用综合法证明时,思考过程可表示为：综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从 A 推演达到 D 的途径,但由 A 推演出的中间结论未必唯一,如 B、B 1、B 2 等,可由 B、B 1、B 2 能推演出的进一步的中间结论则可能更多,如 C、C 2、C 1、C 3、C 4 等.最终,能有一个(或多个) 可推演出结论 D 即可.用分析法思考数学问题的顺序可表解为：(对于命题“ 若 A 则 D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从 D 上溯寻其论据,如 C、C 1、C 2 等
3、,再寻求C、C 1、C 2 的论据,如 B、B 1、B 2、B 3、B 4 等,继而寻求 B、 B1、B 2、B 3、B 4 的论据,如果其中之一 B 的论据恰为已知条件 ,于是命题已经得证.2.应用分析法和综合法证明问题需注意以下问题(1)应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后 (它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题 (或判断 ),其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时,命题得证.同分析法一样,并非一上来就能找到通达命题结论的思路,只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后
4、才能得到.当然,在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思路.而在证明的叙述时,直接叙述这条思路就够了.(2)应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断 (或命题)都正确,各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考察,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件 ),才知道前面各步推理的适当与否 ,从而找出证明的路子.(3)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法,也是解决数学问题时常用的思维方式 ,在实际证明命题时,应当把分析法与综
5、合法联合起来运用,即当遇到较难的新命题时,应当先用分析法来探求解法,然后将找到的解法用综合法叙述出来.这样,可以培养我们逻辑思维的能力和数学论证的能力,使我们知道应该从何处入手,并明了为什么要这样证明的理由,而不至于盲目揣测,更不至于束手无策.规律总结1.综合法证明的方法是“执因索果”.此法的特点是表述简单，条理清楚.2.在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文学语言转换为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要细致分析.把问题中的隐含条件明确表示出来.3.分析法证明数学问题是“执果索因”，便于解题思路的探录.4.使用分析法时要把握三点：(1)寻找使命题成立的充分条件时，往往先寻找使命
6、题成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否成立.(2)分析法和综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”，会使问题轻易解决.活学巧用例 1 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA 底面 ABCD,求证：PCBD.证明：(综合法)PA 是平面 ABCD 的垂线,PC 是平面 ABCD 的斜线,如图连结 AC、BD,则 AC 是 PC 在底面 ABCD 内的射影.又四边形 ABCD 为正方形,ACBD. 故 PCBD.点评：本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有 AB、AD 、PA
7、两两垂直的基向量)等.例 2 已知 ab0,求证： .ba证明：ab0, ,即 .进而 ,于是bn2ba2,即 , .)(0a点评：综合法从正确地选择已知其为真实的命题出发,依次推出一系列的真实命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法论证命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能够想到从哪里起步.我们一般的处理方法,是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层递进,步步为营,由已知逐渐地引导到结论.例 3 已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证： 3cba证明：左边=( + )+( )+( )-3,a、b、c 为不全相等的正数, , , 2,2bca且这三式的等号不能同时成立.(否则 a=
8、b=c)( + )+( )+( )-36-3=3,ac即 3cb点评：本题用综合法证明的出发点是以不等式的左端入手,加以变形,灵活运用平均值不等式,这是综合法证明不等式的主要技巧.为创造应用条件,常把分子分成若干部分,对每部分运用重要不等式,然后相加或相乘.例 4 求证： .22dcbadc证明：当 ac+bd0 时, 成立.2当 ac+bd0 时,欲证 成立,只需证(ac+bd) 2(a2+b2)(c2+d2),2cc即 2abcda2d2+b2c2,只需证 a2d2+b2c2-2abcd0,即(ad-bc) 20.因为(ad-bc) 20 成立,所以当ac+bd0 时, 成立.2ba点评：
9、用分析法证明不等式的关键是寻求不等式成立的充分条件,因此常对原不等式化简,常用的方法有：平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所有这些变形必须能够逆推.本题ac+bd 符号不定 ,不能直接平方,而应对其符号进行讨论.例 5 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0x1,求证：log x +logx +logx log xa+logxb+logxc.2c2a证明：要证明 logx +logx +logx log xa+logxb+logxc,bc只需要证明 logx log x(abc).a由已知 0x1,只需证明 abc.2bc由公式知 , , .0a02bc02aca、b、c 不全相等,上面三式相乘, =abc,2b即 abc 成立,2bacalog x +logx +logx log xa+logxb+logxc 成立.2点评：本题的证明过程就是综合法与分析法结合起来使用的.
