1、课堂导学三点剖析一、求解组合问题的等价转化方法【例 1】 有 10 级台阶，一个人每步上一级、两级或三级，共 7 步上完，则不同的走法共有多少种？解析：要首先确定每步一上级、两级或三级的步数，这可将问题等价转化为方程的解的问题.设每步上一级的步数为 x，每步上两级的步数为 y，每步上三级的步数为 z，则(x、y、zN ).7,1032zyx易知 0z1，可解得或0,34zy.1,5当 x=4,y=3,z=0 时，它等价于将 4 个相同的黑球、3 个相同的白球排成一列，共有 =3547C种排法，则有 35 种走法.当 x=5,y=1,z=1 时，同理可知有 =42 种走法.17C6由分类计数原理
2、，共有 35+42=77 种走法.二、注意排列组合应用题中的形同实异问题【例 2】 （1）把 6 本不同的书平均分放在三只抽屉里，有多少种不同的放法？(2)把 6 本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号，(1)中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而（2）中对三只抽屉已经编了号.问题 1 有 / =15 种放法；26C423A问题 2 有 =90 种放法.2温馨提示在排列组合应用题中，有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆.对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析，对提高分析
3、问题和解决问题的能力无疑是很有好处的.三、立体几何中的组合问题的解法【例 3】 （2005 全国高考卷，11）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面共面( )A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个解析：事实上，平面 可以分为两类：一类是在平面 的两侧各有两个点；另一类是在平面 的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图） ，设E、F、 G、H 、M 分别是 AB、AC、AD、CD、BD 的中点，过 E、F、G 三点的平面 满足题意，这样的平面有四个；又过 E、F、H、M 的平面 也满足题意，这样的平面有三个.故适合题设的平面 共有七个，应选 D.温馨提示
4、在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题，这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，能力要求高，解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时要注意避免重复和遗漏.本例中，根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，从而使问题得以解决.各个击破【类题演练 1】8 个不加区别的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种放法？解析：将 8 个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种放法.要想分成四部分，只需用 3 个隔板将它们隔开.8 个球共有 7 个空隙，选其中 3 个空隙插
5、隔板，共有 =35 种37C分法，故共有 35 种放法.【变式提升 1】圆周上有 n(n4)个点，每两个点连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个交点？解析：如图所示，P 是圆上四点 A、B 、C、D 所引的弦在圆内的惟一交点，即圆内接四边形 ABCD 对角线的交点，易知，当没有三弦交于圆内一点（端点除外）时，弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射，所以这些弦在圆内最多有 个交点.4nC【类题演练 2】 （1）把 7 个不同的玻璃球放在两个布袋中，有多少种不同的放法？（2）把 7 个玻璃球放在甲、乙两个布袋中，有多少种不同的放法？（必须两个布袋里都有玻璃球）
6、解析：（1）共有 + + =63（种） ；17237（2）共有 2（ + + ）=126 （种）.C【变式提升 2】十件奖品全部赠给九位先进工作者，每人至少得一件.如果十件奖品都相同，有多少种不同的赠送方法？解析：如果 10 件奖品都相同，那么得奖方法只有得 2 件与 1 件的区别，赠 2 件的方法有 9种，也就是赠送的方法一共有 种，即 9 种.19【类题演练 3】 （2005 江苏高考，12）四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的，现在编号的四个仓库存放这 8 种化工产品
7、，则安全存放的不同方法总数为( )A.96 B.48 C.24 D.0解析：如图分别用 18 标号的棱表示 8 种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：（实质就是异面直线配对）故 8 种产品安全存放有“（1，5） 、 （2，6） 、 （3，7） 、 （4，8） ”和“（1，8） 、 （2，5） 、 （3，6） 、（4，7） ”两种可能，故所求的方法种数为 =48（种） ，故选 B.1A【变式提升 3】 在四棱锥 PABCD 中,顶点为 P，从其他的顶点和各棱的中点中任取 3 个，使它们和点 P 在同一平面上，不同的取法有_种.( )A.40 B.48 C.56 D.62解析：如图满足题设的取法可分为三类：在四棱锥的每个侧面上除 P 点外任取 3 点，有 4 =40 种取法；35C在两个对角面上除点 P 外任取 3 点，共有 2 =8 种不同取法；4过点 P 的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有 4 =8 种不12C同的取法.故不同的取法共有 40+8+8=56 种.答案：C
