1、1 第2课时 对数的运算 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底 公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值 知识点一 对数运算性质 思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算那么，有没有类似乘法口 诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理 如果a0，a1，M0，N0，则 (1)log a (MN)_. (2)log a M n _(nR) (3)log a _. M N 知识点二 换底公式 思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式而实际 上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对
2、数表(以无理数e为底)，可以查表求对数 值那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2 假设 x，则log 2 5xlog 2 3，即log 2 5log 2 3 x ，从而有3 x 5，再化为对数 log25 log23 式可得到什么结论？2梳理 对数换底公式为 log b N (a，b0，a，b1，N0) logaN logab 特别地：log a blog b a_(a0，且a1，b0，且b1) 类型一 具体数字的化简求值 例1 计算：(1)log 3 45log 3 5； (2)log 2 (2 3 4 5 )； (3) ； lg 27lg 8lg 1 000 lg 1.2 (
3、4)log 2 9log 3 8.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则： (1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式 (2)不同底化为同底 跟踪训练1 计算：(1)2log 6 3log 6 4； (2)(lg 25lg ) 1 2 100 ； 1 4 (3)log 4 3log 9 8； (4)log 2.5 6.25ln 1 3 0.064 . e3类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变形 例2 化简log a . x2 y 3 z反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2 不一定等于2 lg x，反例：log 10 (10) 2 2log 10 (10)是不成立的要
4、特别注意log a (MN)log a Mlog a N，log a (MN) log a Mlog a N. 跟踪训练2 已知y0，化简log a . x yz4命题角度2 用代数式表示对数 例3 已知log 18 9a,18 b 5，用a，b表示log 36 45.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子” ，然后用指定字母换元 跟踪训练3 已知log 2 3a，log 3 7b，用a，b表示log 42 56.51log 5 log 5 3等于( ) 1 3 A0 B1 C1 Dlog 5 10 3 2设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) Alog a
5、 blog c blog c a Blog a blog c alog c b Clog a (bc)log a blog a c Dlog a (bc)log a blog a c 3log 2 9log 3 4等于( ) A. B. C2 D4 1 4 1 2 4lg 0.01log 2 16的值是_ 5已知lg a，lg b是方程2x 2 4x10的两个根，则 2 的值是_ ( lg a b ) 1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择 底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简 2运用对数的运算性质应注意： (1)在各对数有意义的前提下才
6、能应用运算性质 (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用 (3)在运算过程中避免出现以下错误： log a N n (log a N) n ，log a (MN)log a Mlog a N， log a Mlog a Nlog a (MN)6 答案精析 问题导学 知识点一 思考 有例如，设log a Mm，log a Nn，则 a m M，a n N，MNa m a n a mn ，log a (MN)mnlog a Mlog a N.得到的结论 log a (MN)log a Mlog a N可以当公式直接进行对数运算 梳理 (1)log a Mlog a N (2)nlog a M (3
7、)log a Mlog a N 知识点二 思考1 设法换为同底 思考2 把3 x 5化为对数式为log 3 5x， 又因为x ，所以得出log 3 5 的结论 log25 log23 log25 log23 梳理 1 题型探究 例1 解 (1)log 3 45log 3 5log 3 log 3 9log 3 3 2 2log 3 32. 45 5 (2)log 2 (2 3 4 5 )log 2 (2 3 2 10 )log 2 (2 13 )13log 2 213. (3)原式 3 2 lg( 27 8) lg 10 12 lg 10 3 3 3 2 3 2 2 3 4 lg( ) lg(
8、3 2 10 ) 10 12 12 lg lg 10 10 . 3 2 lg 12 10 lg 12 10 3 2 (4)log 2 9log 3 8log 2 (3 2 )log 3 (2 3 ) 2log 2 33log 3 26log 2 3 6. 1 log23 跟踪训练1 解 (1)原式log 6 3 2 log 6 4log 6 (3 2 4)log 6 (6 2 )2log 6 62.7 (2)原式(lg ) 1 2 ( ) 2 10 lg 10 2 10 1 21020. 25 1 4 (3)原式 . lg 3 lg 4 lg 8 lg 9 lg 3 2lg 2 3lg 2 2
9、lg 3 3 4 (4)原式log 2.5 (2.5) 2 1 3 1 2 ( 64 1 000 ) 2 . 1 2 4 10 21 10 例2 解 0且x 2 0， 0， x2 y 3 z y y0，z0. log a log a (x 2 )log a x2 y 3 z y 3 z log a x 2 log a log a y 3 z 2log a |x| log a y log a z. 1 2 1 3 跟踪训练2 解 0，y0， x yz x0，z0. log a log a log a (yz) x yz x log a xlog a ylog a z. 1 2 例3 解 方法一
10、log 18 9a,18 b 5， log 18 5b， 于是log 36 45 log1845 log1836 log189 5 log1818 2 log189log185 1log182 . ab 1log18 18 9 ab 2a 方法二 log 18 9a,18 b 5， log 18 5b， 于是log 36 45 log1845 log1836 log189 5 log1818 2 . log189log185 2log1818log189 ab 2a8 方法三 log 18 9a,18 b 5， lg 9alg 18，lg 5blg 18， log 36 45 lg 45 lg
11、 36 lg9 5 lg 182 9 lg 9lg 5 2lg 18lg 9 . alg 18blg 18 2lg 18alg 18 ab 2a 跟踪训练3 解 log 2 3a， 则 log 3 2， 1 a 又log 3 7b， log 42 56 log356 log342 log373log32 log37log321 . ab3 aba1 当堂训练 1A 2B 由log a blog c b log c a，故A错；由log a blog c a lg b lg a lg b lg c lg b lg a lg a lg c log c b.故选B. lg b lg c 3D 42 解析 lg 0.01log 2 16242. 52 解析 由已知得lg alg b2，lg alg b ，所以 2 (lg alg b) 2 1 2 ( lg a b ) (lg alg b) 2 4lg alg b422.
