1、1 第三章 指数函数和对数函数 学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆； 3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数 1指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质， 在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化 2指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函 数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，)两个区间取值时函数的 单调性及图像特点 3应用指数函数ya x 和对数函数ylog a x的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注 意对底数a1和0a1两种情况的
2、讨论 4幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量因此， 当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决， 还是用指数函数知识去解决 5比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时， 可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然 后在各类中两两相比较 6求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数 函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的 子集其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间 7函数图
3、像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图 造式、图像变换以及用图像解题函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起 到事半功倍的效果 类型一 指数、对数的运算 例1 化简：(1) 2 9 2 5 3 3 2 ( 8) ( 10 ) 10 ; (2)2log 3 2log 3 log 3 825log 5 3. 32 92反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算， 其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应 用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运
4、用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换 底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧 跟踪训练1 计算8 0.25 ( ) 6 log 3 2log 2 (log 3 27)的值为_ 4 2 3 2 3 类型二 数的大小比较 例2 比较下列各组数的大小 (1)2 7, 8 2 ； (2)log 2 0.4，log 3 0.4，log 4 0.4；3 (3) 1 3 2 1 2 1 1 2 ,log ,log . 3 3 反思与感悟 数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对 数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的
5、应用常用的方法有单调性 法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法 (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函 数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0” ， “大 于等于0小于等于1” ， “大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小 跟踪训练2 比较下列各组数的大小 (1)log 0.2 2，log 0.04 9； (2)a 1.2 ，a 1.3 ； (3)3 0.4, 0.4 3 ，log 0.4 3.类型三 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 命题角度1
6、函数的性质及应用4 例3 已知函数f(x)a2 x b3 x ，其中常数a，b满足ab0. (1)若ab0，判断函数f(x)的单调性； (2)若abf(x)时的x的取值范围反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、 减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段 化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究 跟踪训练3 已知函数f(x)log a (1x)log a (x3)(00，且a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ) 1化简 为( ) 2lglg a100 2lglg a A1 B2 C3 D0 2在同
7、一直角坐标系中，函数f(x)x a (x0)，g(x)log a x的图像可能是( ) 3函数 f(x) x 与函数g(x)log 1 2 |x|在区间(,0)上的单调性为( ) ( 1 2 )6 A都是增函数 B都是减函数 Cf(x)是增函数，g(x)是减函数 Df(x)是减函数，g(x)是增函数 4已知 P2 ，Q 3 ，R 3 ，则P，Q，R的大小关系是( ) 3 2 ( 2 5 ) ( 1 2 ) APQR BQRP CQPR DRQP 5函数 f(x)2 x |log 0.5 x|1与x轴交点的个数为( ) A1 B2 C3 D4 1函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯
8、穿整个高中数学的过程，对本 章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题 2从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的 考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂 函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查7 答案精析 题型探究 例1 解 原式 2 2 3 9 5 3 3 2 2 2 (2 ) (10 ) 10 2 1 10 3 10 5 2 2 1 10 1 2 . 10 2 (2) 原式log 3 4log 3 log 3 85 5 2log 3 32 9 log 3 5 5 log 9 (
9、 4 9 32 8 ) log 3 99297. 跟踪训练1 111 解析 log 3 2log 2 (log 3 27) log 3 2log 2 3 1， lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 原式 3 1 4 4 2 2 2 2 3 3 12 1 4271111. 例2 解 (1)8 2 (2 3 ) 2 2 6 ， 由指数函数y2 x 在R上递增知2 6 log 0.2 3，即log 0.2 2log 0.04 9. (2)函数ya x (a0，且a1)， 当底数a1时在R上是增函数； 当底数01时，有a 1.2 a 1.3 . (3)3 0.4 3 0 1， 00，b0时，因为a2 x ，b3 x 在R上都是增函数，所以函数f(x)在R 上是增函数； 当a0. 当a0时， x ， ( 3 2 ) a 2b 解得xlog 3 2 ； ( a 2b ) 当a0，b0，且a1)的图像过(3,1)点，可解得a3.选项A 中，y3 x ( ) x ，显然图像错误；选项B中，yx 3 ，由幂函数图像可知正确；选项C中， 1 3 y(x) 3 x 3 ，显然与所画图像不符；选项D中，ylog 3 (x)的图像与ylog 3 x的图 像关于y轴对称显然不符故选B. 当堂训练 1B 2.D 3.D 4.B 5.B
