1、第页 12018 届贵州省贵阳市第一中学高三 12 月月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）R A=x|y=ln(2x) B=x|x22x3f(x) f(1)=4 f(x)2x+1）A. B. C. D. 1,2 1,+) (,1 (0,1【答案】B第页 3【解析】根据题意 可变形为 f(x)ln2f(x) f(x)ln2f(x)ln2 0f(x)ln2f(x)0设 ，故函数 单调增，g(x) f(x)2
2、x+1可等价为 ，故即解 f(x)2x2.g(1)=2 g(x)2x1.故答案为：B。8. 过抛物线 的焦点 作倾斜角为锐角 的直线，交抛物线于 ， 两点，若 ，则直线y2=2px(p0) A FA=2BF的斜率为（ ）A. B. C. D. 2 3 22 23【答案】C【解析】根据题意画出抛物线，画出准线，由 AB 两点向准线做垂线，垂足分别为 ，直线 AB 和准线A,B交于点 P，设 BF=m,AF =2m, 根据三角形相似得到 BP=3m,故倾斜角的正弦值为 tan=22.故答案为：C .9. 某三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的体积是 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）83A. B
3、. C. D. 12 16 24 48【答案】A【解析】由三视图得到原图应该是个正四面体，是以正方体的各个面对角线为棱长的三棱锥，该三棱锥的体积是 ，设棱长为 a, 则得到棱长为 ，是正方体的面对角线，则正方体的边长为 ，则83 1363a32a212=83 a=232 2体对角线的长度为 12.外接球的表面积为 S=4R2=12.故答案为：A。点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。10. 已
4、知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，是双曲线上一点，且满足 ，x2ay2=1(a1) F1 F2 |PF1|+|PF2|=2a+2第页 4则 的面积为（ ）POF1A. B. C. D. a2 1 12【答案】D【解析】根据双曲线的定义，假设得到 ，联立两个式子得到 ， =|PF1|-|PF2|=2 a |PF1|= a+2+ a |PF2|， = ，由余弦定理得到a+2- a F1F22a+1 cos=2(2a+2)4(a+1)2 =0故顶角是直角， S=12SPF1F2=12.故答案为：D。11. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）nA. B. C. D. 5 6 7 8【答案】D
5、【解析】先将式子化简得到 ，S=S+(12n1 12n+11)n=1,S= ,n=223n=2,S= ,n=3.67当 n=6,S=. ,n=7,126127N=7,S= n=8,这时，n=8.再进入循环，得到 ，这时不满足条件，结束，得到 n=8故答案为 D。12. 若函数 ， （ ，为自然对数的底数）与 的图象上存在两组关于 轴对称的y=x3x21a (x1e,e y=x23lnx x点，则实数的取值范围是（ ）A. B. (0,1e3+2 0,e34第页 5C. D. (1e3+2,e34 (1e3+2,+)【答案】A【解析】根据题意得到 =- +3lnx,这个方程由两个不同的根，变量分
6、离得到x3-x2-1-a=-（x2-3lnx） x2， 是导函数的根，函数在 ，使得两个函数 y=a 和 g(x)有两a=x313lnx=g(x) g(x)=3x31xx=1 1e,1),(1,e个交点即可， a(0,g(1e)即 .(0,1e3+2故答案为：A。点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分
7、 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 ，则 _(1+x)(ax+1x)6(a0) x2 240 a04x2dx=【答案】 【解析】由条件知 的展开式中 的系数为 ： (1+x)(ax+1x)6(a0) x2 C26a4=240解得 = a=2.a04-x2dx=204-x2dx144=.故答案为： 。14. 设 满足约束条件 ，则 的最小值为_x,y x+y12x+y1xy1 z=x2+y2【答案】12【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的三角形，顶点记作 ABC， A(1,0),B(0,1),C(2,3)当 x=0,y=0 时， 取得最小值为 z=x2+y212.
8、故答案为： 12.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域 (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（ 型）和距离型（ 型）(3)确ax+byy+bx+a (x+a)2+(y+b)2第页 6定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。15. 设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， 对任意 ，都有 ，则 的值为an n Sn S20170 S20180,S2018=1009(a1009+a1010)0,a1010b0) A(1,32) F1 F2的短轴长为直径的圆
9、与直线 相切.C xy+ 6=0（）求椭圆 的方程；C（）过点 的直线交椭圆 于 ， ，求 内切圆面积的最大值和此时直线的方程.F2 C P Q F1PQ【答案】 （） （） ，直线 l 的方程为 ，x24+y23=1 916 x=1【解析】试题分析：（1）由条件可设处圆的方程，根据直线和圆相切得到 ，再根据点在椭圆上得到b= 3椭圆方程；（2）由 ，故求 面积的最大值即可，联立直线和椭圆方F1PQ程，得到二次方程，根据弦长公式和点线距得到 ，分析单调性可求出最值。S=12u(3u+1)2解析：（）以原点为圆心，椭圆 的短轴长为直径的圆的方程为 ，C x2+y2=b2由题意， ，所以 |0-0
10、+6|2 =b b= 3点 在椭圆上， ，解得 ，A(1 ， 32) 1a2+94b2=1 a2=4椭圆 C 的方程为 x24+y23=1（）由 ，SF1PQ=|PF1|+|QF1|+|PQ|2 r内 切 圆根据椭圆定义， ，所以 ，|PF1|+|QF1|+|PQ|=4a=8SF1PQ=4 r内 切 圆于是求 内切圆面积的最大值即为求 面积的最大值F1PQ F1PQ设直线 l 的方程为 ， ， ，则x=ty+1 P(x1， y1) Q(x2， y2) x24+y23=1 ， x=ty+1 ， 消去 得 ，所以 ， x (3t2+4)y2+6ty-9=0 y1+y2=-6t3t2+4 y1y2=
11、- 93t2+4因为 ，点 到直线的距离为 ，|PQ|= (1+t2)(y1+y2)2-4y1y2 F1 h= 21+t2第页 11所以 的面积为 F1PQ S=12|PQ|h= (y1+y2)2-4y1y2=12t2+1(3t2+4)2令 ，则 t2+1=u(u1)S=12 u(3u+1)2=12 u9u2+6u+1=12 19u+1u+6 在 上单调递增，当 时， 取得最大值为 3，y=9u+1u 1， +) u=1 S此时 ，直线 l 的方程为 ，t=0 x=1内切圆的半径为 ，所以内切圆面积的最大值为 34 916点睛：这个题目考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭园中的范围和最值问题，这
12、是圆锥曲线中的一大考查题型；在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数 ， .f(x)=xlnx+ax g(x)=x3x25（）若 ，求 的单调区间；a=0 f(x)（）若对任意的 ， 都有 成立，求实数的取值范围 .x1 x212,2 f(x1)2g(x2)【答案】 （） 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 （）f(x) (1e ， +) (0 ， 1e) 1 ， +)【解析】试题分
13、析：（1）将 代入表达式，求导，研究导函数的正负，从而得到单调区间；（2）先求a=0出 在 上的最大值为 ，问题转化为 恒成立，变量分离得到 对任意的g(x) 12， 2 -1 f(x)1 ax-x2lnx恒成立，转化为求函数 的最值。x12， 2 x-x2lnx解析：（）若 ，则 ， ，a=0 f(x)=xlnx(x0) f(x)=lnx+1由 得 ；由 得 ，f(x)0 x1e f(x)0 h(x)当 时， ， 单调递减，10)（）求线段 的中点 的轨迹的极坐标方程；OP M（）求曲线 上的点到直线的距离的最大值 .C【答案】 （） （）=2cos322+2【解析】试题分析：（1）由中点坐
14、标公式得到 M 点坐标为 ，消参得到直角坐标，再化为极x=1+cos ，y=sin ， 坐标方程；（2）写出直线的直角坐标方程，转化为圆心到直线的距离加减半径。解析：（）设线段 的中点 的坐标为 ，OP M (x ， y)由中点坐标公式得 （ 为参数） ，x=1+cos ，y=sin ， 消去参数得 的轨迹的直角坐标方程为 ，M (x-1)2+y2=1由互化公式可得点 的轨迹的极坐标方程为 M =2cos（）由直线的极坐标方程为 ，得2sin(-4)=1，2(sincos4-cossin4)=1第页 13所以直线的直角坐标方程为 ，x-y+1=0曲线 的普通方程为 ，它表示以 为圆心，2 为半
15、径的圆，C (x-2)2+y2=4 (2 ， 0)则圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相离，d=|2-0+1|12+(-1)2=3222故曲线 上的点到直线的距离的最大值为 C d+r=322+223. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .f(x)=|x1|x+1|（）作出函数 的图象并求其值域；f(x)（）若 ，且 ，求 的最大值 .m=34f(x)maxa2+2c2+3b2=m ab+2bc【答案】 （）图像见解析，值域为 （）2 ， 234【解析】试题分析：（）分类讨论去掉绝对值得 画出图像，值域易得解；f(x)= 2,(x1) （）由（）知 ，所以 ，利用重要不等式即可求出m=34f(x)max=32 32=a2+2c2+3b2=(a2+b2)+2(c2+d2)的最大值 .ab+2bc试题解析：（）由 如图 5 所示， 值域 （）由（）知 ， 的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立 点睛：本题考查了分类讨论去绝对值把函数写成分段函数，画图象得值域，考查了利用重要不等式求最值，第页 14注意取等的条件.
