1、2018 届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考数学（理）试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 6
2、0 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.在 n 元数集 S=a1，a 2，a n中，设 X（S）= ，若 S 的非空子集 A 满足 X（A）=X（S） ，则称 A 是集合 S 的一个“平均子集” ，并记数集 S 的 k 元“平均子集”的个数为 fs（k） ，已知集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，T=4，3，2，1，0，1，2，3，4，则下列说法错误的是（ ）Af s（4）=f s（5） Bf s（4）=f T（5）Cf s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）Df s（2）+f s（3）=f T（4）2.复数 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二
3、象限 C第三象限 D第四象限3.已知 a= ，b=log 2 ，c=log ，则（ ）Aabc Bacb Ccab Dcba4.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，取出的是理科书的概率为（ ）A B C D5.已知a n为等比数列且满足 a6a 2=30，a 3a 1=3，则数列a n的前 5 项和 S5=（ ）A15 B31 C40 D1216.函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移（ ）个单位长度得到A B C D7.设变量 X，Y 满足约束条件 ，且目标函数 Z= + （1，b 为正数）的最大值为 1，则 a+2b 的最小值为（ ）A3 B6 C4 D3+2
4、8.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n=（ ）A2 B3 C4 D59.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A B C D10.已知函数 f（x）= （其中 e 为自对数的底数） ，则 y=f（x）的图象大致为（ ）A BC D11.椭圆 x2+ =1（0b1）的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若FAB 的外接圆圆心 P（m，n）在直线 y=x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A（ ，1） B（ ，1）C（0， ） D
5、（0， ）12.设函数 f（x）在 R 上存在导函数 f（x） ，对于任意的实数 x，都有 f（x）=4x 2f（x） ，当x（，0）时，f（x）+ 4x，若 f（m+1）f（m）+4m+2，则实数 m 的取值范围是（ ）A. ，+） B. ，+ ）C.1，+） D.2，+）第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.已知向量 ， 的夹角为 45，| |= ，| |=3，则|2 |= 14.在二项式（1+ ） 8的展开式中， x3的系数为 m，则 （mx+ ）dx= 15.抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴相交于点 P，过点 P 作斜率为 k（k0）的
6、直线交抛物线于 A、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则 k= 16.表面积为 60 的球面上有四点 S、A、B、C，且ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为，若平面 SAB平面 ABC，则棱锥 SABC 体积的最大值为 三.解答题（共 6 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）设函数 f（x）=sinx（cosx sinx） （1）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间；（2）设ABC 的三个角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 f（B）=0，a、b、 c 成公差大于零的等差数列，求 的值18.（本题满分 12 分）如图，在直四棱柱 A
7、BCDA 1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2 ，AA 1= ，ADDC，ACBD，垂足为 E，（）求证：BDA 1C；（）求二面角 A1BDC 1的大小19.（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C： =1（ ab0）的离心率为 ，直线 l 与 x 轴交于点E，与椭圆 C 交于 A、B 两点当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在点 E，使得 为定值？若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由20.（本题满分 12 分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原
8、始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D 为不合格等级百分制 85 分及以上70 分到84 分60 分到69 分60 分以下等级 A B C D为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图所示（1）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频
9、率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3 人，求至少有 1 人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从 A，C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研，记 表示抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 的分布列及数学期望21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=lnx ，g（x）=ax+b（I）讨论函数 h（x）=f（x）g（x）单调区间；（II）若直线 g（x）=ax+b 是函数 f（x）=lnx 图象的切线，求 ba 的最小值选做题 请从 22、23 题中任选一题作答，共 10 分。22.选修 4-4.坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直
10、线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 =6sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）若点 P（1，2） ，设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|PA|+|PB|的最小值来源:23.选修 4-5.不等式选讲设函数 f（x）=|x4|，g（x）=|2x+1|（1）解不等式 f（x）g（x）；（2）若 2f（x）+g（x）ax 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围衡阳八中 2017 年下期高三实验班第三次月考理数参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11、 11 12答案 D B C C B A D C A C A A13.14. +15.16.2717.（1） =sinxcosx sin2x= sin2x （1cos2x）=sin（2x+ ） ，令 2k 2x+ 2k+ （kZ） ，得 k xk+ （kZ） ，函数的增区间为k ，k+ ，kZx0，函数的增区间为0， ， ， （6 分）（2）由（1）得，f（B）=sin（2B+ ） =0，sin（2B+ ）= ，由 0B 得，2B+ = ，解得 B= ， （7 分）由 A+B+C= 得，A+C= ， 成公差大于零的等差数列， ca，ba，且 2b=a+ c，则 b= ， （8 分）由余弦定理得
12、，b 2=a2+c22accosB ，化简得， ，即 ，解得 = 或 ，又 ca，则 ，由正弦定理得， = （12 分）18.（I）在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，A 1A底面 ABCD，AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影，BDAC，BDA 1C （6 分）（II）连结 A1E，C 1E，A 1C1，与（I）同理可证 BDA 1E，BDC 1E，A 1EC1为二面角 A1BDC 1的平面角ADDC，A 1D1C1=ADC=90，又 A1D1=AD=2，D 1C1=DC=2 ，AA 1= ，且 ACBD，A 1C1=4，AE=1，EC=4，A 1E=2，C 1E=2 ，在A
13、1EC1中，A 1C12=A1E2+C1E2，A 1EC1=90，即二面角 A1BDC 1的大小为 90 （12 分）19.（1）由 ，设 a=3k（k 0） ，则 ，b 2=3k2，所以椭圆 C 的方程为 ，因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点，即 ，代入椭圆方程，解得 y=k，于是 ，即 ，所以椭圆 C 的方程为 ；（4 分）（2）假设存在点 E，使得 为定值，设 E（x 0， 0） ，当直线 AB 与 x 轴重合时，有 ， （5 分）当直线 AB 与 x 轴垂直时， ， （6 分）由 ，解得 ， ，所以若存在点 E，此时 ， 为定值 2 （8 分）根据对称性，只需考虑
14、直线 AB 过点 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，又设直线 AB 的方程为 ，与椭圆 C 联立方程组，化简得 ，所以 ， ， （9 分）又 ，所以 ，将上述关系代入，化简可得 综上所述，存在点 ，使得 为定值 2 （12 分）20.（1）由题意可知，样本容量 n= =50，x= =0.004，y= =0.018；（3 分）（2）不合格的概率为 0.1，设至少有 1 人成绩是合格等级为事件 A，P（A）=10.1 3=0.999，故至少有 1 人成绩是合格等级的概率为 ；（7 分）（3）C 等级的人数为 0.1850=9 人，A 等级的为 3 人， 的取值可为 0，1，2，
15、3；P（=0）= = ，P（=1）= ，P（=2）= ，P（=3）= ， （9 分） 的分布列为 0 1 2 3PE=0 +1 +2 +3 = （12 分）21.（）h（x）=f（x）g（x）=lnx +axb（x0） ，则 h（x）= + +a= （x0） ，令 y=ax2+x+1 （2 分）（1）当 a=0 时，h（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增 （3 分）（2）当 a0 时，=14a，若0，即 a 时，h（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增0，即 0a ，由 ax2+x+1=0，得 x1，2 = 0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；（3）当 a0 时，=14
16、a1，由 ax2+x+1=0，得 x1= 0，x 2= 0，所以函数 f（x）在（0， ）上单调递增； 在（ ，+）上递减 综上，当 a0 时，f（x）的单调递增区间是（0，+） ； 当 a0 时，函数 f（x）在（0， ）上单调递增； 在（ ，+）上递减 （6 分）（）设切点（m，lnm ） ，则切线方程为 y（lnm ）=（ + ） （xm） ，即 y=（ + ）x（ + ）m+lnm ，亦即 y=（ + ）x+lnm 1，令 =t0，由题意得a= + =t+t2，b=lnm 1=lnt2t1，（8 分）令a+b=（t）=lnt+t 2t1，则 （t）= +2t1= ，当 t（0，1）时，
17、（t）0，（t）在（0，1）上单调递减； 当 t（1，+）时，（t）0，（t）在（1，+）上单调递增， ba=（t）（1）=1，故 ba 的最小值为1 （12 分）22.（1）由 =6sin 得 2=6sin，化为直角坐标方程为 x2+y2=6y，即 x2+（y3） 2=9 （4 分）（2）将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2+2（cossin）t7=0，由=（2cos2sin） 2+470，故可设 t1，t 2是上述方程的两根， ，又直线过点（1，2） ，故结合 t 的几何意义得=，|PA|+|PB|的最小值为 （10 分）23.（1）f（x）g（x）等价于（x4） 2（2x+1） 2，x 2+4x50，x5 或 x1，不等式的解集为x|x5 或 x1；（5 分）（2）令 H（x）=2f（x）+g（x）= ，G（ x）=ax，2f（x）+g（x）ax 对任意的实数 x 恒成立，即 H（x）的图象恒在直线 G（x）=ax 的上方故直线 G（x）=ax 的斜率 a 满足4a ，即 a 的范围为4， ）（10 分）
