1、衡阳八中 2017 届高三年级第三次质检试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共 23 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分，在每题
2、后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已知集合 M=x|log3x1，N=x|x 2+x20，则 MN 等于（ ）Ax|2x1 Bx|1x3 Cx|0x1 Dx|0x32.已知复数 的实部为1，则复数 zb 在复平面上对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知等比数列a n的前 n 项和 Sn，且 a1+a3= ，a 2+a4= ，则 =（ ）A4 n1 B4 n1 C2 n1 D2 n14.已知 a=log23+log2 ，b= ，c=log 32 则 a，b，c 的大小关系是( )Aa=bc Ba=bc Cabc Dabc5.已知函数 f（x）=sin（x
3、+）（0，| ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（x）的图象（ ）A关于点（ ，0）对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于直线 x= 对称6.已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围为（ ）A B C D7.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8316B832C 816 D1638.已知数列a n满足 an+an1 =（1） n，S n是其前 n 项和，若 S 2017=1007b，且 a1b0，则+ 的最小值为（ ）A32 B3 C2 D3+29.公元 263
4、 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（ ）（参考数据：sin15=0.2588，sin75=0.1305）A3.10 B3.11 C3.12 D3.1310.已知函数 fM（x）的定义域为实数集 R，满足 （M 是 R 的非空真子集），在 R 上有两个非空真子集 A，B，且 AB=，则 的值域为（ ）A B1 C D11.设 12,F分别
5、是双曲线2:1(0,)xyCab的左、右焦点， P是 C的右支上的点，射线 PT平分 12P,过原点 O作 PT的平行线交 1F于点 M,若 12|3F,则 的离心率为（ ）A3B 3 C D 312.设函数 yfx是 yfx的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数320fxabcda都有对称中心 0,xf，其中 0x满足 0f.已知函数32151fx，则23216.717ffff（ ）A 0 B 04 C 05 D 0第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.（x ） 4（x2）的展开式中， x2的系数为 14.已知三棱锥 SABC的顶点都在球
6、O的球面上， ABC是边长为 2 的正三角形， SC为球 O的直径，且 ，则此三棱锥的体积为_.15.已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一点 P（x，y），则点P 的坐标满足不等式 x2+y22 的概率为 16.已知双曲线 =1（a0，b0），F 1（c，0）是左焦点，圆 x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是 P，若直线 PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 三.解答题（共 8 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）已知数列a n、b n满足：a 1= ，a n+bn=1，b n+1= （）求 b1，b 2，b 3，b 4；（）设 cn= ，求数列c
7、n的通项公式；（）设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1，不等式 4aSnb n恒成立时，求实数 a 的取值范围18.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE（I）求证：平面 EAC平面 PBC；（）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值19.（本题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果
8、备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求 X 的分布列；（II）若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？20.（本题满分 12 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，其左、右顶
9、点分别为 A1（2，0），A2（2，0）过点 D（1，0）的直线 l 与该椭圆相交于 M、N 两点（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 A1M 与 NA2的斜率分别为 k1，k 2，试问：是否存在实数 ，使得 k2=k 1？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由21.（本题满分 12 分）已知函数2()1)ln,fxaxaR.（1）当 4时，求函数 ()yf的单调区间；（2）当a时，令1()3ln2hxfx，求 ()hx在 1,e的最大值和最小值；（3）当 1,x时，函数 ()yfx图像上的点都在不等式组,1xy所表示的区域内，求实数 a 的取值范围.选做题：考生从 22、23 题中任选一题作
10、答，共 10 分。22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1，C 2的直角坐标方程；（2）已知点 P，Q 分别是线 C1，C 2的动点，求|PQ|的最小值23.已知函数 f（x）=|x|， g（x）=|xa|+m（1）解关于 x 的不等式 gf（x）+2m0；（2）若函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，求实数 m 的取值范围衡阳八中 2017 届高三年级第三次质检参考答案理科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D
11、B D C B D B B A D13.1614.42315.16.（ ，+）17.（） ，lg（S nm）+lg（S n+2m）=2lg（S n+1m）， （） ， ，数列c n是以4 为首项，1 为公差的等差数列c n=4+（n1）（1）=n3（）由于 ，所以 ，从而 . 由条件知（a1）n 2+（3a6）n80 恒成立即可满足条件，设 f（n）=（a1）n 2+（3a6）n8，当 a=1 时，f（n）=3n80 恒成立当 a1 时，由二次函数的性质知不可能成立，当 a1 时，对称轴 ，f（n）在（1，+）为单调递减函数f（1）=（a1）n 2+（3a6）n8=（a1）+（3a6）8=4a
12、150， ，a1 时 4aSnb n恒成立综上知：a1 时，4aS nb n恒成立18.（I）证明：PC底面 ABCD，AC平面 ABCD，PCACAB=2，AD=CD=1，AC=BC= ，AC 2+BC2=AB2，ACBC，又 BCPC=C，AC平面 PBC，又 AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC（II）解：取 AB 的中点 F，两角 CF，则 CFAB，以点 C 为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0），设 P（0，0，a）（a0），则 E ，=（1， 1，0）， =（0，0，a）， = ，取 =（1， 1，0），则 =0， 为平面 P
13、AC 的法向量设 =（x，y，z）为平面 EAC 的法向量，则 ，即 ，取 =（a，a，4），二面角 PACE 的余弦值为 ， = = = ，解得 a=4， =（4，4，4）， =（1，1，4）设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin=| |= = = ，直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 19.（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X=16)=0.20.2=0.04；P(X=17)=20.20.4=0.16；P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24；
14、P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24；P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2；P(X=21)=20.20.2=0.08；P(X=22)=0.20.2=0.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04（）由（）知 P(X18)=0.44，P( X19)=0.68，故 n 的最小值为 19.（）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 n=19 时，EY=192000.68+(19200+500) 0.2+(19200+2500) 0.08+(19200+3500) 0.04=4040.当 n=20 时，EY=202000.88+(20200+500) 0.08+(20200+2500) 0.04=4080.可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值，故应选 n=19.
