1、2018 届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检数学（理）试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共 23 题，满分 150 分，考试时间为 120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分
2、，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已知集合 A=x|2x4，B=x|x3 或 x5，则 A RB=（ ）Ax|2x5 Bx|x4 或 x5 Cx|2x3 Dx|x2 或 x52.欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知函数 y=f（x） ，将 f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来
3、的 2 倍，然后把所得的图象沿着 x 轴向左平移 个单位，这样得到的是 的图象，那么函数 y=f（x）的解析式是（ ）A B C D4.已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm| 1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log 2 ） ，b=f（log 25） ，c=f（2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Abc Bacb Ccab Dcba5.已知 Sn是数列a n的前 n 项和，a 1=1，a 2=3，数列a nan+1是公比为 2 的等比数列，则 S10=（ ）A1364 B C118 D1246.执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为（ ）A10
4、5 B16 C15 D17.篮球比赛中每支球队的出场阵容由 5 名队员组成，2017 年的 NBA 篮球赛中，休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有 8 名队员有机会出场，这 8 名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（ ）种出场阵容的选择A16 B28 C84 D968.设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，且当 x2，0时，f（x）=（ ） x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数
5、根，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，2） B （ ，2） C ，2） D （ ，29.已知四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 ，则球 O 的体积等于（ ）A B C D10.已知定义在 R 上的函数 f（x） ，其导函数为 f（x） ，若 f（x）f（x）2，f（0）=3，则不等式f（x）e x+2 的解集是（ ）A （，1） B （1，+） C （0，+） D （，0）11.椭圆 + =1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF=a，且 a
6、， ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ，1 B ， C ，1） D ， 12.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨，硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨，硝酸盐 15 吨现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐 66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 12 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 7 000 元，那么可产生的最大利润是 ( )A29 000 元 B31 000 元 C38 000 元 D45 000 元第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5
7、 分，共 20 分）13.已知向量 =（2m，3） ， =（m1，1） ，若 ， 共线，则实数 m 的值为 14.已知（x+a） 2（x1） 3的展开式中，x 4的系数为 1，则 a= 15.已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 是边长为 2 的正三角形， 为球 的直径，SABCOABCSCO且 ，则此三棱锥的体积为_.416.在数列a n中，若存在一个确定的正整数 T，对任意 nN *满足 an+T=an，则称a n是周期数列，T 叫做它的周期已知数列x n满足 x1=1，x 2=a（a1），x n+2=|xn+1x n|，若数列x n的周期为 3，则x n的前 100项的和为 三.解答题（
8、共 8 题，共 70 分）17.（本题满分 12 分）已知数列a n中，a 1=2， ，数列b n中， ，其中 nN *；（1）求证：数列b n是等差数列；（2）若 Sn是数列b n的前 n 项和，求 的值 18.（本题满分 12 分）在如图所示的圆锥中，OP 是圆锥的高，AB 是底面圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点，D是线段 PB 的中点，且 PO=2，OB=1（1）试在 PB 上确定一点 F，使得 EF面 COD，并说明理由；（2）求点 A 到面 COD 的距离19.（本题满分 12 分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排
9、出前 n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组75，80） ，第二组80，85） ，第三组85，90） ，第四组90，95） ，第五组95，100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为 60（）请在图中补全频率分布直方图；（）若 Q 大学决定在成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试若 Q 大学本次面试中有 B、C、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为 、 ， ，求甲同学面试成功的概率；若 Q 大学决
10、定在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，第 3 组中有 名学生被考官 B 面试，求 的分布列和数学期望20.（本题满分 12 分）如图，椭圆 的离心率为 ，x 轴被曲线 截得的线段长等于 C1的短轴长C 2与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2相交于点 A、B，直线 MA，MB 分别与 C1相交于点 D、E（1）求 C1、C 2的方程；（2）求证：MAMB（3）记MAB，MDE 的面积分别为 S1、S 2，若 ，求 的取值范围21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）= （k0）（1）若对任意 x（0，+），不等式 f（x） 恒成立，求实数 k
11、的取值范围；（2）若对任意的 a，b，cR +，均存在以 ， ， 为三边边长的三角形，求实数 k 的取值范围选做题：考生从 22、23 题中任选一题作答，共 10 分。22.（选修 4-4.坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 （ab0， 为参数） ，以 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线 C1上的点 M（2， ）对应的参数 = = 与曲线 C2交于点 D（ ， ） （1）求曲线 C1，C 2的直角坐标方程；（2）A（ 1，） ，B（ 2，+ ）是曲线 C1上的两点，求 + 的值23.（选修 4-5.不等式选讲）设
12、函数 f（x）=|x1|+ |x3|（1）求不等式 f（x）2 的解集；（2）设 g（x）= ，若对于任意的 x1，x 23，5都有 f（x 1）g（x 2）恒成立，求正实数 m 的取值范围衡阳八中 2018 届高三年级实验班第三次质检参考答案理科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D D C D C B B B D B C13.314.2 15. 42316.6717.（1）证明：数列a n中，a 1=2，a n+1=2 ，数列b n中，b n= ，其中 nN *b 1=1，b n+1= = = （2 分）b n+1b n =1=常数， （4 分）数列b
13、n是等差数列，首项为 1，等差为 1 （6 分）（2）解：b n=1+n1=n， （7 分）Sn=（1+2+3+4+n）= ， = =2（ ） ， （9 分） = + +=2 = （12 分）18.（1）连接 BE，设 BEOC=G，由题意 G 为ABC 的重心， =2，连接 DG，EF平面 COD，EF平面 BEF，平面 BEF平面 COD=DG，EFDG， = =2，又 BD=DP，DF=PF= PB点 F 是 PB 上靠近点 P 的四等分点 （6 分）（2）由 PO平面 ABC，OC平面 ABC，OCPO，又点 C 是弧 AB 的中点，OCAB，OC平面 POBOD平面 POB，OCOD
14、SCOD = OCOD= = （8 分）V AOCD =VDAOC ， SCOD d= PO， d= ，点 A 到面 COD 的距离 （12 分）19.（）第四组的人数为 60，总人数为：560=300，由直方图可知，第五组人数为：0.025300=30 人，又 为公差，第一组人数为：45 人，第二组人数为：75 人，第三组人数为：90 人。 （3 分）（）设事件 A=甲同学面试成功，则 P（A）= 。 （6 分）由题意得，=0，1，2，3，分布列为： 0 1 2 3P（12 分）20.（1）椭圆 C1的离心率 e= ，a 2=2b2又x 轴被曲线 截得的线段长等于 C1的短轴长 ，得 b=1
15、，a 2=2，可得椭圆 C1的方程为而抛物线 C2的方程为 y=x21；（3 分）（2）设直线 AB 方程为 y=kx，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则由 消去 y，得 x2kx1=0x 1+x2=k，x 1x2=1，可得 y1+y2=k（x 1+x2）=k 2，y 1y2=kx1kx2=k2x1x2=k 2M 坐标为（0，1） ，可得 ， =x1x2+y1y2+y1+y2+1=1k 2+k2+1=0因此， ，即 MAMB（7 分）（3）设直线 MA 方程为 y=k1x1，直线 MB 方程为 y=k2x1，且满足 k1k2=1 ，解得 ，同理可得因此， =再由 ，解得 ，同理
16、可得=，即 = 的取值范围为 ，+） （12 分）21.（1）函数 f（x）= （k0），对任意 x（0，+），不等式 f（x） 恒成立，即有 x2+2kx+12x 2+2，即为 2kx+ 对 x0 恒成立，由 x+ 2 =2，（x=1 取得等号），则 02k2，即 0k1则实数 k 的取值范围为（0，1；（5 分） （2） =1+ =1+ ，由 x+ 2 =2，（x=1 取得等号），可得 （ 1，1+k对任意的 a，b，cR +，均存在以 ， ， 为三边边长的三角形，即有 + 恒成立，即有 2 + 2k+2 ，1 k+1，所以 2k+1，即 k1，则 0k1则实数 k 的取值范围为（0，1（
17、12 分）22.（1）将曲线 C1上的点 M（2， ）对应的参数 = 代入曲线 C1的参数方程为 （ab0， 为参数） ，得：解得： ，曲线 C1的方程为： （ 为参数） ，即： （3 分）设圆 C2的半径 R，则圆 C2的方程为：=2Rcos，将点 D（ ， ）代入得： =2R ，R=1圆 C2的方程为：=2cos 即：（x1） 2+y2=1 （6 分）（2）将 A（ 1，） ，（ 2，+ ）代入 C1得： ， + =（ ）+（ ）= （10 分）23.（1）函数 f（x）=|x1|+ |x3|= ，如图所示：令 =2，求得 x= ，故结合图象，由 f（x）2 可得 x ，或 x3（5 分）（2）设 g（x）= ，若对于任意的 x1，x 23，5，都有 f（x 1）g（x 2）恒成立， 故当 x3，5时，f（x） maxg（x） min由于当 x3，5时，f（x） max=52=3，故 g（x）的最小值大于或等于 3m0，g（x）=x+ 2 ，当且仅当 x= 3，5时取等号，显然满足 2 3，故有 m9，25当 （0，3），即 0m9 时， 3，g（x）=x+ 在3，5上单调递增，g（x）的最小值为 g（3）=3+ 3，满足条件 当 5，即 m25 时， 5，g（x）=x+ 在3，5上单调递减。（10 分）
