1、页 1 第2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的虚部（ ）Ai Bi C1 D12已知集合，则 AB=（ ）A （1，+） B1，+ ） C （ ，0 （1，+） D0，13已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，则 f（ 1）=（ ）A2 B0 C1 D24在区间0，上随机取一个数 x，使的概率为（ ）A B C D5若|+|=| |=2|，则向量+与的夹角为（ ）A B C D6等比数列a n中，a 1+a2=1，a 4+a5=
2、8，则=（ ）A8 B4 C2 D47如果对于任意实数 x，x表示不超过 x 的最大整数例如3.27=3，0.6=0那么“x=y” 是“|xy| 1”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8若实数 x，y 满足时，z=x+y 的最小值为（ ）A4 B3 C2 D无法确定9把函数 y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D10根据如图所示程序框图，若输入 m=42，n=30，则输出 m 的值为（ ）A0 B3 C6 D1211若 （，）且 3cos2=
3、4sin（ ） ，则 sin2的值为（ ）A B C D12已知函数 f（x）的导函数 f（x）=2+sinx ，且 f（0）=1，数列a n是以为公差的等差数列，若 f（a 2）+f（a 3） +f（a 4）=3，则=（ ）页 2 第A2016 B2015 C2014 D2013二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13为贯彻落实教育部等 6 部门关于加快发展青少年校园足球的实施意见 ，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了 20 名学生组成集训队，现统计了这 20 名学生的身高，得到茎叶图
4、如下：这 20 名学生的身高中位数、众数分别为 14函数的单调递增区间为 15为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数 t（天） 3 4 5 6 7繁殖个数 y（千个） 2.5 m 4 4.5 6及 y 关于 t 的线性回归方程，则实验数据中 m 的值为 16已知 x，yR，满足 x2+2xy+4y2=6，则 z=x2+4y2 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m=（a，c） ，n=（1 2cosA，2cosC 1） ，
5、 m n（）若 b=5，求 a+c 值；（）若，且角 A 是ABC 中最大内角，求角 A 的大小18 （12 分）已知各项为正数的数列a n的前S n，满足（）求证：a n为等差数列，并求 an；（）设，求数列b n的前 n 项和为 Tn19 （12 分）11 月 11 日在某购物网站消费不超过 10000 元的 2000 名网购者中有女士 1100 名，男士 900名该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：消费金额 （0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）800
6、0，10000人数 10 25 35 35 x男士消费情况：消费金额 （0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数 15 30 25 y 3（）计算 x，y 的值，在抽出的 200 名且消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者中随机选出 2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（）若消费金额不低于 6000 元的网购者为“网购达人”，低于 6000 元的网购者为“非网购达人” ，根据以上数据填写下面 22 列连表，并回答能否在犯错误率不超过 0.05 的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关” ？女士 男士 总计网购
7、达人非网购达人总计附：页 3 第P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87920 （12 分）已知函数，其中 a，b，cR（）若 a=b=1，求函数 f（x）的单调区间；（）若 a=0，且当 x1 时，f（x）1 总成立，求实数 b 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x） =x2sinx（）求函数 f（x）在0，的最值；（）若存在，不等式 f（x） ax 成立，求实数 a 的取值范围选作题22 （10 分）已知函数 f（x） =|xa|2（）若 a=1，求不等式 f（ x）+|2x3|0 的解集
8、；（）若关于 x 的不等式 f（ x）|x3|恒成立，求实数 a 的取值范围选作题23 （）已知 x2+y2=1，求 2x+3y 的取值范围；（）已知 a2+b2+c22a2b2c=0，求证：页 4 第2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的虚部（ ）Ai Bi C1 D1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=1 i 的虚部为 1故
9、选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合，则 AB=（ ）A （1，+） B1，+ ） C （ ，0 （1，+） D0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；函数思想；定义法；集合【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合，A=x |x0 或 x1，B=y|y1，AB=（1，+） 故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用3已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，则 f（ 1）=（ ）A2 B0 C1 D2【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇函数
10、的性质，f（1）=f（1） ，即可求得答案【解答】解：函数 f（x）为奇函数， x0 时，f （x）=x 2+，f（ 1）=f （ 1）=2，故选 A【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题页 5 第4在区间0，上随机取一个数 x，使的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：0x，x，区间长度为，则对应的概率 P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键5若|+|=| |=2|，则向量+与的夹角为（ ）
11、A B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】作，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则=由|+|=|=2|，可得四边形 OACB 为矩形，利用=即可得出【解答】解：作，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则=|+|=| |=2|，四边形 OACB 为矩形，= ，向量+与的夹角为故选：B【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6等比数列a n中，a 1+a2=1，a 4+a5=8，则=（ ）A8 B4 C2 D4【考点】等比数列的性质【专题】计算题；转化
12、思想；等差数列与等比数列【分析】可设a n的公比为 q，利用 a1+a2=1，a 4+a5=8，可求得 q，从而可求得 a5+a6 与 a7+a8【解答】解：设a n的公比为 q，a 1+a2=1，a 4+a5=q3（a 1+a2）=8，q=2，a 5+a6=q（a 4+a5）= 16，a 7+a8=q3（a 4+a5）=64 ，页 6 第= 4故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式，重点是考查学生对等比数列性质的灵活应用的能力，属于基础题7 （2010崇文区一模）如果对于任意实数 x，x表示不超过 x 的最大整数例如3.27=3，0.6=0那么“ x=y”是“|x y|1”的（ ）A充分
13、而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】阅读型【分析】先根据x的定义可知，x=y|xy|1，而取 x=1.9，y=2.1，此时满足|xy|=0.21，但xy，根据若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件进行判定即可【解答】解：x=y 1xy1 即|x y|1而取 x=1.9，y=2.1，此时|xy|=0.21，而x=1，y=2，xy“ x=y”是“|x y|1”的充分而不必要条件故选 A【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq
14、 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系8若实数 x，y 满足时，z=x+y 的最小值为（ ）A4 B3 C2 D无法确定【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；不等式【分析】由题意作出其平面区域，将 z=3x+y 化为 y=3x+z，z 相当于直线 y=3x+z 的纵截
15、距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出的平面区域：将 z=x+y 化为 y=x+z，z 相当于直线 y=x+z 的纵截距，由，可得，即 B（2，0） 当直线 y=x+z 经过 B 时，z 有最小值，此时 z 的最小值 2+0=2；故选：C页 7 第【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题9 （2016德州二模）把函数 y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D【考点】正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令 x
16、+=即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选 A【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，y=Asin（ x+）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值10 （2016怀化二模）根据如图所示程序框图，若输入 m=42，n=30，则输出 m 的值为（ ）A0 B3 C6 D12【考点】程序框图【专题】计算题；操作型；算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结
17、构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的 m 值为 6，故选：C；【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答11若 （，）且 3cos2=4sin（ ） ，则 sin2的值为（ ）A B C D【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件化简可得
18、3（cos +sin）=2，平方可得 1+sin2=，从而解得 sin2的值【解答】解：（，） ，且 3cos2=4sin（ ） ，3（cos 2sin2）=4 （cos sin） ，化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得 1+sin2=，解得：sin2= ，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题页 8 第12 （2016上饶二模）已知函数 f（x）的导函数 f（x） =2+sinx，且 f（0）=1，数列a n是以为公差的等差数列，若 f（a 2）+f（a 3）+f （a 4）=3 ，则=（ ）A2016 B2015 C2014 D2013【考
19、点】等差数列的通项公式；导数的运算【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】函数 f（x）的导函数 f（x）=2+sinx ，可设 f（x）=2xcosx+c，利用 f（0）=1，可得：f（x）=2xcosx由数列 an是以为公差的等差数列，可得 an=a2+（n2）由 f（a 2）+f （a 3）+f（a 4）=3，化简可得 6a2=利用单调性可得 a2，即可得出【解答】解：函数 f（x）的导函数 f（x）=2+sinx ，可设 f（x）=2x cosx+c，f（0）= 1， 1+c=1，可得 c=0f（x）=2x cosx数列a n是以为公差的等差数列，a n=
20、a1+（n1），f（a 2）+f （a 3）+f （a 4）=3，2（a 2+a3+a4） （cosa 2+cosa3+cosa4）=3 ，6a 2+cosa2=3，6a 2=令 g（x）=6x cos，则 g（x）=6 +sin在 R 上单调递增，又=0a 2=则=2015故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13为贯彻落实教育部等 6 部门关于加快发展青少年校园足球的实施意见 ，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季
21、校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了 20 名学生组成集训队，现统计了这 20 名学生的身高，得到茎叶图如下：这 20 名学生的身高中位数、众数分别为 177，178 页 9 第【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】由茎叶图得这 20 名学生的身高从小到大依次排列，能求出这 20 名学生的身高的中位数和众数【解答】解：由茎叶图得这 20 名学生的身高从小到大依次为：168，174，174，175，175，175，175，176，176，176，178，178，178，178，178，182，185，185，185，188位于中间的两个数是 17
22、6 和 178，这 20 名学生的身高的中位数是：=177，出现次数最多的是 178，这 20 名学生的身高的众数为 178故答案为：177，178【点评】本题考查中位数、众数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用14函数的单调递增区间为 【考点】正弦函数的单调性【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=sin（x+） ，令 2kx+2k+，k Z，即可解得单调递增区间【解答】解：=sinx+sinx+cosx= sin（x+） ，令 2kx+2k+，kZ，解得：2kx2k+，kZ，函数的单调递增区间为
23、：故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题15为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数 t（天） 3 4 5 6 7繁殖个数 y（千个） 2.5 m 4 4.5 6及 y 关于 t 的线性回归方程，则实验数据中 m 的值为 3 【考点】线性回归方程【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出 m 的值【解答】解：=5，= ，这组数据的样本中心点是（5，） ，关于 y 与 x 的线
24、性回归方程，=0.855 0.25，解得 m=3，m 的值为 3故答案为 3【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题16已知 x，yR，满足 x2+2xy+4y2=6，则 z=x2+4y2 的最小值为 4 页 10 第【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；综合法【分析】将 x2+2xy+4y2=（x+2y） 22xy=6，那么（x+2y） 2=2xy+6，z=x 2+4y2=（x+2y） 24xy，利用基本等式的性质，即可求解【解答】解：由题意 x2+2xy+4y2=（x+2y） 2
25、2xy=6，那么（ x+2y） 2=2xy+6，（x+2y） 24x 2y=8xy，当且仅当 x=2y 时取等号则：2xy+68xy解得：xy1z=x2+4y2=（x+2y） 24xy8xy 4yx=4所以 z=x2+4y2 的最小值为 4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m=（a，c） ，n=（1 2cosA，2cosC 1） ， m n（）若 b=5，求 a+c 值；（）若，且角 A 是A
26、BC 中最大内角，求角 A 的大小【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】 （）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解（）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求 sinB，cosB 的值，可求 2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1 即可解得 cosA 的值，结合 A 是最大角，即可得解 A 的值【解答】 （本大题满分 12 分）解：（）因为：，所以，2sinAcosC sinA=sinC2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcos
27、A=2sin（A+C）=sinC+sinA ，所以，sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得 2b=a+c=10.6 分（），又因为 sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（AB） ，则，2sinA+cosA=2，又 sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于 A 是最大角，所以，.12 分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题页 11 第18 （12 分）已知各项为正数的数列a n的前S n，满足（）求证：a n为等差数列，并求 an
28、；（）设，求数列b n的前 n 项和为 Tn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】综合题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】 （）由已知数列递推式可得，进一步得到（n2） ，两式作差可得 anan14=0，求出数列首项，代入等差数列通项公式得答案；（）把a n的通项公式代入，由裂项相消法求数列b n的前 n 项和为 Tn【解答】 （）证明：由，得，n2 时，（n2） ，两式作差得：（a n+an1） （a nan14）=0，又数列a n各项为正数，a nan14=0，即数列a n为等差数列又 n=1 时，a 1=2，通项公式为 an=4n2；（），【点评】本题考查数列递推式，考查
29、了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题19 （12 分）11 月 11 日在某购物网站消费不超过 10000 元的 2000 名网购者中有女士 1100 名，男士 900名该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：消费金额 （0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数 10 25 35 35 x男士消费情况：消费金额 （0，2000）2000，4000）4000，6000）6000，8000）8000，10000人数 1
30、5 30 25 y 3（）计算 x，y 的值，在抽出的 200 名且消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者中随机选出 2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（）若消费金额不低于 6000 元的网购者为“网购达人”，低于 6000 元的网购者为“非网购达人” ，根据以上数据填写下面 22 列连表，并回答能否在犯错误率不超过 0.05 的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关” ？女士 男士 总计网购达人非网购达人总计附：页 12 第P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879【考
31、点】独立性检验【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计【分析】 （）根据分层抽样方法求出 x、y 的值，利用组合数计算基本事件数，即可求得相对应的概率；（）列出 22 列联表，计算得观测值 K2，对照表中数据，即可判断结论是否成立【解答】解：（）根据题意，样本中应抽取女士 200=110 人，男士 200110=90 人；x=110 （10+25+35+35）=5，y=90（ 15+30+25+3）=17；消费金额在8000，10000（单位：元）的网购者有女士 5 人，男士 3 人，从中任选 2 名，基本事件为=28 种，其中选出的 2 名都是男士的基本事件为 3 种，所求的概率为；（）
32、女士 男士 总计网购达人 40 20 60非网购达人 70 70 140总计 110 90 200可以在犯错误率不超过 0.05 的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关 ”【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，考查 22 列联表的应用问题，考查学生的计算能力，属于中档题20 （12 分）已知函数，其中 a，b，cR（）若 a=b=1，求函数 f（x）的单调区间；（）若 a=0，且当 x1 时，f（x）1 总成立，求实数 b 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用【分析】 （）通过 a
33、=b=1，函数 f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间；（）当 x1 时，f（x） 1 总成立，转化为 bx+10 在 x1 恒成立，推出 b0，即证明在 x1 时恒成立，设，求出导函数，函数的最值即可推出结果【解答】解：（），f（ x）0x0 或 x1；f（x）00x1函数 f（x）在（，0） ， （1，+）单调递增，在（0，1）单调递减（）当 x1 时，f（x） 1 总成立，即当 x1 时恒成立，因为 ex0，所以 bx+10 在 x1 恒成立，所以 b0所以只需 x1 时 exbx+1 恒成立，需在 x1 时恒成立，设，则，x1 时，页 13 第所以在1
34、，+）单调递增，x1 时，g（x）g（1）=e1，所以 be 1，综上 0be1【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，开心分析问题解决问题的能力21 （12 分）已知函数 f（x） =x2sinx（）求函数 f（x）在0，的最值；（）若存在，不等式 f（x） ax 成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】压轴题；存在型；综合法；导数的综合应用【分析】 （1）对 f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；（2）存在，x2sinx ax 成立，设 g（x）=f（x）ax=x 2sinxax
35、，根据 g（x）导函数判断 g（x）的单调性即可；【解答】 （1）f（x）=1 cos2x，0，时；函数 f（x）在单调递减，在单调递减增x0，时，f（0）=0，f（）= ，f max（x）=f（）= ；（2）存在，不等式 f（x） ax 成立；存在，x2sinx ax 成立；设 g（x）=f（x）ax=x 2sinxax，则 g（0）=0 且 g（x）=1 a2cosx时，12cosx（1，1） ；所以 g（x）=1 a2cosx（1a ，1a） ；若1 a0，即 a1 时，g（0）=1 a0；因为 g（x）=1 a2cosx 在单调递增，所以存在区间，使 x（0，t）时，g（x）0，所以
36、g（x）在（0，t）单调递减，x（0，t）时，g（x）0 即 f（x）ax；所以：a1【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与最值，以及构造函数的应用，属中等题选作题22 （10 分）已知函数 f（x） =|xa|2（）若 a=1，求不等式 f（ x）+|2x3|0 的解集；（）若关于 x 的不等式 f（ x）|x3|恒成立，求 实数 a 的取值范围页 14 第【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】 （）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可（）设 f（x）=|x a|x3| a3|，转化不等式为 a 的不等式
37、，求解即可【解答】 （本大题满分 10 分）解：（）函数 f（x）=|x a|2若 a=1，不等式 f（x）+|2x3|0，化为：|x1|+|2x 3|2当 x时，3x6解得 x2，当 x（1，）时，可得x+22，不等式无解；当 x1 时，不等式化为：43x2，解得 x不等式的解集为：5（）关于 x 的不等式 f（x） |x3|恒成立，可得|xa |2|x3|设 f（x）= |xa|x3|，因为|xa| |x3|a 3|，所以，f（x） max=|a3|即：|a3|2所以，a 的取值范围为（1，5）10【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中
38、档题选作题23 （）已知 x2+y2=1，求 2x+3y 的取值范围；（）已知 a2+b2+c22a2b2c=0，求证：【考点】不等式的证明【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式【分析】 （）已知 x2+y2=1，由柯西公式（x 2+y2） （4+9）（2x+3y） 2，即可求 2x+3y 的取值范围；（）由柯西公式（a1） 2+（1b） 2+（1c） 2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c） 2，即可证明结论【解答】 （）解：由柯西公式（x 2+y2） （4+9）（2x+3y） 2，则|2x+3y|， 2x+3y（）证明：由 a2+b2+c22a2b2c=0，得（a1） 2+（1 b） 2+（1 c） 2=3，页 15 第由柯西公式（a1） 2+（1b） 2+（1c） 2（4+1+1）2（a+1）+（1b）+（1c） 2得证：18（2abc） 2，所以【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
