1、2016-2017 学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1已知集合 M=x|1x1，N=x|x 22，xZ，则（ ）AMN BNM CM N=0 DM N=N2复数 z 满足 zi=3i，则在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c 若 a=2，c=2 ，cosA= 且 bc，则 b=（ ）A3 B2 C2 D4已知 m，n 为不同的直线， ， 为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）A若 m，n，则 m nB若 m，n，且 m，n，则 C若 ，m，则 mD若 ，m
2、 ，m，则 m5将函数 y=sin2x 的图象先向左平移 个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应函数解析式为（ ）A By=2cos 2x Cy=2sin 2x Dy=cosx6某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A8 B C4 D7如果关于 x 的方程 正实数解有且仅有一个，那么实数 a 的取值范围为（ ）Aa|a0 Ba |a0 或 a=2 Ca |a0 Da |a0 或 a=28设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间 a，b上的两个函数，若函数 y=f（x）g（x） （f （x）为函数f（x）的导函数）在a，b上有且只有两个不
3、同的零点，则称 f（x）是 g（x）在a，b上的“关联函数”若 f（x）= +4x 是 g（x）=2x+m 在0，3上的“关联函数” ，则实数 m 的取值范围是（ ）A B1，0 C （ ，2 D二、填空题9设复数 z 满足（1i）z=2+2i ，其中 i 是虚数单位，则|z|的值为 10若| |=3， | |=2，且 与 的夹角为 60，则| |= 11命题 p：“xR ，x 2x+10”，则 p 为 12已知 ，则 cos2x= 13已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 为偶函数，对于函数 y=f（x）有下列几种描述：y=f（x）是周期函数x= 是它的一条对称轴；（ ，0）是它图
4、象的一个对称中心；当 时，它一定取最大值；其中描述正确的是 14若对任意 xA，yB， （A R，B R）有唯一确定的 f（x，y）与之对应，则称 f（x，y）为关于 x、y的二元函数现定义满足下列性质的二元函数 f（x，y）为关于实数 x、y 的广义“ 距离”；（1）非负性：f（x，y）0 ，当且仅当 x=y 时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（ y，x） ；（3）三角形不等式：f（x， y）f （x，z）+f（z，y）对任意的实数 z 均成立今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离” 的序号：f（x，y）=|x y|；f （x ，y）=（xy） 2； 能够成为
5、关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是 三、解答题15已知函数 （）求 f（x）的单调递减区间；（）设 是锐角，且 ，求 f（）的值16在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 = （）求角 B 的大小；（）若 b= ，a+c=4，求ABC 的面积17如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD= ，求三棱锥 EACD 的体积18已知函数 f（x）= x3+ax2+bx+c 图象上的点 P（1，2）处的切线方程为 y=3x+1（1）若函数 f（x
6、）在 x=2 时有极值，求 f（x）的表达式（2）若函数 f（x）在区间2，0上单调递增，求实数 b 的取值范围19已知函数 f（x）=cos ，g（x）=e xf（x） ，其中 e 为自然对数的底数（1）求曲线 y=g（x）在点（0，g（0） ）处的切线方程；（2）若对任意 时，方程 g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由20已知集合 A=a1，a 2，a 3，a n，其中 aiR（1in，n2） ，l （A ）表示和 ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数（）设集合 P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求 l（P）和 l（Q） ；（）若集合 A=2，4，8，2 n，求证：
7、；（）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？2016-2017 学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1已知集合 M=x|1x1，N=x|x 22，xZ，则（ ）AMN BNM CM N=0 DM N=N【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】N= x|x22，xZ =1，0，1，从而解得【解答】解：N=x|x 22，x Z=1，0，1，故 MN=0，故选：C2复数 z 满足 zi=3i，则在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复
8、数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【解答】解：由 zi=3i，得 ，复数 z 对应的点的坐标为（ 1，3） ，位于第三象限故选：C3设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c 若 a=2，c=2 ，cosA= 且 bc，则 b=（ ）A3 B2 C2 D【考点】正弦定理【分析】运用余弦定理：a 2=b2+c22bccosA，解关于 b 的方程，结合 bc ，即可得到 b=2【解答】解：a=2，c=2 ，cosA= 且 bc，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即有 4=b2+124 b，解得 b=2 或 4，由 bc，可得 b=2故选：C4已知 m，n
9、为不同的直线， ， 为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）A若 m，n，则 m nB若 m，n，且 m，n，则 C若 ，m，则 mD若 ，m ，m，则 m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例【解答】解：A 错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B 错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C 错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D 对，由 ，在 内作交线的垂线 c，则 c，因 m，m，所以 m故选 D5将函数
10、y=sin2x 的图象先向左平移 个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应函数解析式为（ ）A By=2cos 2x Cy=2sin 2x Dy=cosx【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换步骤，进行解答即可【解答】解：函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，得 y=sin2（x+ ）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 y=cosx 的图象所以函数的解析式为 y=cosx故选：D6某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A8 B C4 D
11、【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为 2 的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为 2，利用体积公式可得结论【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为 2 的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为 2，则该几何体的体积是 =故选 D7如果关于 x 的方程 正实数解有且仅有一个，那么实数 a 的取值范围为（ ）Aa|a0 Ba |a0 或 a=2 Ca |a0 Da |a0 或 a=2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由函数的定义域为（，0）（0，+） ，故我们可将关于 x 的方程 有且仅有一个正实数解，转化为方程 ax33x2+1=0 有且仅有一个正
12、实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案【解答】解：由函数解析式可得：x0，如果关于 x 的方程 有且仅有一个正实数解，即方程 ax33x2+1=0 有且仅有一个正实数解，构造函数 f（x）=ax 33x2+1，则函数 f（x）的图象与 x 正半轴有且仅有一个交点又f（x）=3x（ax2）当 a=0 时，代入原方程知此时仅有一个正数解 满足要求；当 a0 时，则得 f（x）在（ ，0）和（ ，+）上单调递增，在（0， ）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有 x= 时，f（x）取到极小值 0，x= 入原方程得到正数解 a=2，满足要求；当 a0 时，同理 f（x）在
13、（ ， ）和（0，+）上单调递减，在（ ，0）上单调递增f（0）=10，所以函数 f（x）的图象与 x 轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a0 或 a=2故答案为：a|a 0 或 a=28设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间 a，b上的两个函数，若函数 y=f（x）g（x） （f （x）为函数f（x）的导函数）在a，b上有且只有两个不同的零点，则称 f（x）是 g（x）在a，b上的“关联函数”若 f（x）= +4x 是 g（x）=2x+m 在0，3上的“关联函数” ，则实数 m 的取值范围是（ ）A B1，0 C （ ，2 D【考点】导数的运算【分析】先对 f（x）求导，由题意可得
14、 h（x）=f（x）g （x）=x 25x+4m 在0，3上有两个不同的零点，故有 ，由此求得 m 的取值范围【解答】解：f（x）=x 23x+4，f（x）与 g（x）在0，3上是 “关联函数”，故函数 y=h（x）=f（x） g（x）=x 25x+4m 在0，3上有两个不同的零点，故有 ，即 ，解得 m 2，故选：A二、填空题9设复数 z 满足（1i）z=2+2i ，其中 i 是虚数单位，则|z|的值为 2 【考点】复数求模【分析】变形可得复数 z= ，化简可得 z=2i，可得其模【解答】解：（1i）z=2+2i，z= = =2i，|z|=2故答案为：210若| |=3， | |=2，且 与
15、 的夹角为 60，则| |= 【考点】向量加减法的应用【分析】向量求模的运算，要求向量的模，一般用求模的公式，先求向量的平方运算，题目中给的条件能让我们先求数量积，进而求向量的模【解答】解：| |=3，| |=2，且 与 的夹角为 60，| |= ，故答案为： 11命题 p：“xR ，x 2x+10”，则 p 为 xR，x 2x+10 【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：“xR ，x 2x+10”，则 p 为： xR，x 2x+10故答案为： xR，x 2x+1012已知 ，则 cos2x= 【考点】二倍角的
16、余弦【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得 cosxsinx= ，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合 2x 的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解【解答】解：sin（ x） = （cosx sinx）= ，解得：cosx sinx= ，两边平方可得：1sin2x= ，可得：sin2x= ，x（ ， ） ，2x（ ，） ，cos2x= = 故答案为： 13已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 为偶函数，对于函数 y=f（x）有下列几种描述：y=f（x）是周期函数x= 是它的一条对称轴；（ ，0）是它图象的一个对称中心；当 时，它一定取最大值；其中描述正确的是
17、【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可【解答】解： 为偶函数f（ x+ ）=f（x+ ） ，对称轴为而 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数f（ x+ ）=f（x ）=f（x+ ）即 f（x+ ）=f（x ） ，f （x+）=f（x） ，f （x+2）=f（x）y=f（x）是周期函数，故正确x= （kZ）是它的对称轴，故不正确（，0）是它图象的一个对称中心，故 正确当 时，它取最大值或最小值，故 不正确故答案为：14若对任意 xA，yB， （A R，B R）有唯一确定的 f（x，y）与之对应，则称 f（x，y）为关于 x、y的二元函数现定义满足下列
18、性质的二元函数 f（x，y）为关于实数 x、y 的广义“ 距离”；（1）非负性：f（x，y）0 ，当且仅当 x=y 时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（ y，x） ；（3）三角形不等式：f（x， y）f （x，z）+f（z，y）对任意的实数 z 均成立今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离” 的序号：f（x，y）=|x y|；f （x ，y）=（xy） 2； 能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是 【考点】函数的概念及其构成要素【分析】利用函数 f（x，y）为关于实数 x、y 的广义“ 距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质【解
19、答】解：对于，f（x，y）=|xy|0 满足（1） ，f（x，y）=|xy|=f（y，x）=|yx|满足（2） ；f（x，y）= |xy|=|（xz）+（z y）|xz|+|z y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数对于不满足（3）对于不满足（2）故答案为三、解答题15已知函数 （）求 f（x）的单调递减区间；（）设 是锐角，且 ，求 f（）的值【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数【分析】 （） = cos2x，由 2k2x2k +，kz，求得 f（x）的单调递减区间（）由 是锐角，且 ，得 = ，= ，故 f（）= cos2x= c
20、os 【解答】解：（） = cos2x sin2x= cos2x 由 2k2x2k+，kz，可得 kxk+ ，故求 f（x）的单调递减区间为 k，k+ ，kz（） 是锐角，且 ， = ，= f（）= cos2x= cos = = 16在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 = （）求角 B 的大小；（）若 b= ，a+c=4，求ABC 的面积【考点】解三角形【分析】 （1）根据正弦定理表示出 a，b 及 c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据 sinA 不为 0，得到 cosB 的值，由 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数；
21、（2）由（1）中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值，根据余弦定理表示出 b2，利用完全平方公式变形后，将 b，a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC 的面积，把 ac 与sinB 的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理 得：a=2RsinA，b=2RsinB ，c=2RsinC，将上式代入已知 ，即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即 2sinAcosB+sin（B +C）=0，A+B+C= ，sin（B +C）=sinA，2sinAcosB+sinA=0 ，即 sinA（2cosB+1）=0 ，sinA0， ，B 为三角形的内角， ；（II）将 代入余弦定理 b2=a2+c22accosB 得：b2=（a+c） 22ac2accosB，即 ，ac=3， 17如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD= ，求三棱锥 EACD 的体积
