1、2016-2017 学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合 A=1，a，B=x|x 25x+40，xZ，若 AB，则 a 等于（ ）A2 B3 C2 或 4 D2 或 32下列函数中，在区间（1 ，1）上为减函数的是（ ）Ay=ln（x+1） By=2 x Cy= Dy=cosx3等差数列a n中，公差 d0，若 lga1，lga 2，lga 4 也成等差数列， a5=10，则a n的前 5 项和 S5=（ ）A40 B35 C30 D254 “be1xd”是“函
2、数 f（x）= 是在 R 上的单调函数” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 e5已知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ）A B C D46若函数 f（x）= ，若 f（a）f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， 0）（0，1） B （ ，1）（1，+） C （ 1，0） （1，+） D （，1）（0，1）7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A32 B18 C16 D108已知 x=2 是函数 f（x）=x 33ax+2 的极小值点，那么函数 f（x）的极大值为（ ）A15
3、 B16 C17 D189过点 M（2，0）的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P 2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1（k0） ，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为（ ）A2 B2 C D10若函数 f（x）=x 312x 在区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ）Ak3 或 1k1 或 k3 B不存在这样的实数 kC2k2 D3k 1 或 1k311如图，F 1，F 2 是双曲线 C： =1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线 y=x 与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心
4、率为（ ）A2+ B2+ C D12若存在两个正实数 x，y，使得等式 3x+a（2y 4ex） （lny lnx）=0 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0） B C D二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分.13若存在正数 x，使 2x（xa ）1 成立，则 a 的取值范围是 14如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6，若 E，F 分别是棱 BB1，CC 1 上的点，且 BE=B1E，C 1F= CC1，则异面直线 A1E 与 AF所成角的余弦值为 15已知数列 1，a 1，a
5、2，4 成等差数列，数列 1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，则 a2b2 的值是 16如果对定义在 R 上的函数 f（x） ，对任意两个不相等的实数 x1，x 2，都有x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1） ，则称函数 f（x）为“H 函数” 给出下列函数：y=ex+x；y=x2；y=3xsinx；f（x）= 以上函数是“H 函数” 的所有序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明或验算步骤17 （10 分）设 p：实数 a 满足不等式 3a9，q：函数 f（x）= x3+ x2+9x 无极值点（1）若“pq”为假命
6、题， “pq”为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）已知“pq” 为真命题，并记为 r，且 t：a 2（2m + ） a+m（m+ ）0，若 r 是t 的必要不充分条件，求正整数 m 的值18 （12 分）已知函数 f（x） =x2+2ax+1（aR ） ，f （x）是 f（x）的导函数（1）若 x2， 1，不等式 f（x）f （x）恒成立，求 a 的取值范围；（2）解关于 x 的方程 f（x） =|f（x）|19 （12 分）各项均为正数的数列a n的前 n 次和 Sn，已知 S1=2，a 7=20，且2（a+b）S n=（a n+a） （a n+b） ， nN+，b a（1）求 a 和
7、b 的值；（2）b n= ，记数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn20 （12 分）如图 1 在 RtABC 中，ABC=90，D、E 分别为线段 AB、AC 的中点，AB=4，BC=2 以 DE 为折痕，将 RtADE 折起到图 2 的位置，使平面 ADE平面 DBCE，连接AC，AB，设 F 是线段 AC 上的动点，满足 = （）证明：平面 FBE平面 ADC；（）若二面角 FBEC 的大小为 45，求 的值21 （12 分）设函数 f（x）=x 2mlnx，h（x）=x 2x+a（）当 a=0 时，f（x）h （x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围；（）当 m=2 时，
8、若函数 g（ x）=f（x） h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，若以 F2 为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT |的最小值不小于 （1）求椭圆的离心率 e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为 1，圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q，过点 Q 作斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若 OAOB，求直线 l 被圆 F2 截得的弦长的最大值2016-2017 学年辽宁省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题
9、共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知集合 A=1，a，B=x|x 25x+40，xZ，若 AB，则 a 等于（ ）A2 B3 C2 或 4 D2 或 3【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】解不等式求出集合 B，进而根据 AB，可得 b 值【解答】解：B=x|x 25x+40，xZ=2，3，集合 A=1，a，若 AB，则 a=2 或 a=3，故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2下列函数中，在区间（1 ，1）上为减函数的是（ ）Ay=ln（x+1） By=2 x C
10、y= Dy=cosx【考点】函数单调性的性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】逐一判断各个选项中函数在区间（1，1）上的单调性，从而得出结论【解答】解：由于 y=ln（x+1 ）在区间（ 1，1）上为增函数，故排除 A；由于函数 y=2x = 在区间（1，1）上为减函数，故满足条件；由于函数 y= = 在区间（1，1）上为增函数，故排除 C；由于函数 y=cosx 在区间（1， 1）上没有单调性，例如 cos（ ）=cos ，故排除 D，故选：B【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题3等差数列a n中，公差 d0，若 lga1，lga 2，lga 4 也成等差数列，
11、 a5=10，则a n的前 5 项和 S5=（ ）A40 B35 C30 D25【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】由 lga1，lga 2，lga 4 也成等差数列，可得 2lga2=lga1+lga4，因此 =a1a4，又 a5=10=a1+4d，联立可得 a1，d，z 再利用求和公式即可得出【解答】解：lga 1，lga 2，lga 4 也成等差数列，2lga 2=lga1+lga4， =a1a4，即 =a1（a 1+3d） ，d0，d=a 1又 a5=10=a1+4d，联立解得 a1=d=2则a n的前 5 项和
12、 S5= 2=30，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 “be1xd”是“函数 f（x）= 是在 R 上的单调函数” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 e【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】先根据定积分的计算法则求出 b 的范围，再根据分段函数的单调性得到 b 的范围，根据充分必要条件的定义即可求出，【解答】解：b dx=lnx| =1+1=2，函数 f（x）= 是在 R 上的单调函数，0+23 0+b，解得 b1，b
13、dx”是“函数 f（x）= 是在 R 上的单调函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题 中要注意分段函数的端点处的函数值的处理5已知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ）A B C D4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的4 倍，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知
14、当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得即 A（1，1） ，此时 z=21+1=3，当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 B（a ，a ） ，此时 z=2a+a=3a，目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，3=43a，即 a= 故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6 （若函数 f（x）= ，若 f（a）f（a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， 0）（0，1） B （ ，1）（1，+） C （ 1，0） （1，+） D （，1）（0，1）【考点】
15、对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论【解答】解：由题意故选 C【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A32 B18 C16 D10【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为 4，计算几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是正方体
16、的一半，如图：已知正方体的棱长为 2，几何体的体积 V= 43=32故选：A【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量8已知 x=2 是函数 f（x）=x 33ax+2 的极小值点，那么函数 f（x）的极大值为（ ）A15 B16 C17 D18【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；导数的综合应用【分析】求出导数，由题意得，f（2）=0，解出 a，再由单调性，判断极大值点，求出即可【解答】解：函数 f（x）=x 33ax+2 的导数 f（x）=3x 23a，由题意得，f （ 2）=0，即 123a=0，a=4f（x）=x 3
17、12x+2，f （x）=3x 212=3（x 2） （x+2） ，f（x）0，得 x2 或 x2；f（x）0，得2x2，故 x=2 取极小值，x= 2 取极大值，且为8+24+2=18故选 D【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题9过点 M（2，0）的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1、P 2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1（k0） ，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为（ ）A2 B2 C D【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】点斜式写出直线 m 的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公
18、式求出 P 的横坐标，再代入直线 m 的方程求出 P 的纵坐标，进而求出直线 OP 的斜率 k2，计算 k1k2 的值【解答】解：过点 M（ 2，0）的直线 m 的方程为 y0=k1（x+2 ） ，代入椭圆的方程化简得（2k 12+1）x 2+8k12x+8k122=0，x 1+x2= ，P 的横坐标为 ，P 的纵坐标为 k1（x 1+2 ）= ，即点 P（ ， ） ，直线 OP 的斜率 k2= ，k 1k2= 故选 D【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段中点公式的应用，根据题意，求出点 P 的坐标是解题的关键和难点10若函数 f（x）=x 312x 在区间（k1，k+1）上不是单
19、调函数，则实数 k 的取值范围（ ）Ak3 或 1k1 或 k3 B不存在这样的实数 kC2k2 D3k 1 或 1k3【考点】函数单调性的判断与证明【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】由题意得，区间（k1，k+1）内必须含有导函数的零点 2 或 2，即 k12k+1 或 k1 2k+1，解之即可求出实数 k 的取值范围【解答】解：由题意可得 f（x）=3x 212 在区间（k1，k+1）上至少有一个零点，而 f（x）=3x 212 的零点为2，区间（k1，k+1）的长度为 2，故区间（k1， k+1）内必须含有 2 或 2k1 2k+1 或 k12k+1，1k3 或3k
20、 1，故选 D【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，把函数在区间上不是单调函数转化为导函数在区间上有零点是解决问题的关键，属中档题11如图，F 1，F 2 是双曲线 C： =1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线 y=x 与双曲线 C 交于 P、Q 两点，且四边形 PF1QF2 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A2+ B2+ C D【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x 代入 =1，可得 x= ， =c，2
21、a 2b2=（b 2a2）c 2，2a 2（c 2a2）=（c 22a2）c 2，2（e 21）=e 42e2，e 44e2+2=0，e1，e 2=2+ ，e= 故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定 a，c 的关系是关键12若存在两个正实数 x，y，使得等式 3x+a（2y 4ex） （lny lnx）=0 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0） B C D【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的
22、关系进行求解即可【解答】解：由 3x+a（2y4ex） （lny lnx）=0 得 3x+2a（y2ex）ln =0，即 3+2a（ 2e）ln =0，即设 t= ，则 t0，则条件等价为 3+2a（t2e ）lnt=0，即（t2e）lnt= 有解，设 g（t）=（t2e ）lnt，g（t）=lnt +1 为增函数，g（e ）=lne+1 =1+12=0，当 te 时， g（t）0，当 0te 时， g（t）0，即当 t=e 时，函数 g（t）取得极小值为：g（e）=（e 2e） lne=e，即 g（t）g（e ）=e，若（t2e）lnt= 有解，则 e，即 e，则 a0 或 a ，故选：D【
23、点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分.13若存在正数 x，使 2x（xa ）1 成立，则 a 的取值范围是 a1 【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】由不等式将参数 a 进行分离，利用函数的单调性进行求解【解答】解：由 2x（xa ）1，得 x2xa2x1， ，设 ，则 f（x）在0，+）上单调递增，当 x0 时，f（x）f （0）=1，若存在正数 x，使 2x（xa ）1 成立，则 a1故答案为：a1
24、【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强14如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6，若 E，F 分别是棱 BB1，CC 1 上的点，且 BE=B1E，C 1F= CC1，则异面直线 A1E 与 AF所成角的余弦值为 【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角【分析】以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 A1E 与 A
25、F 所成角的余弦值【解答】解：以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过作 AC 的垂线为 y 轴，CC 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6，E，F 分别是棱 BB1，CC 上的点，且 BE=B1E，C 1F= CC1，A 1（4，0，6） ，E（2，2 ，3） ，F （0，0，4） ，A （ 4，0，0） ，=（ 2，2 ，3） ， =（ 4，0，4） ，设异面直线 A1E 与 AF 所成角所成角为 ，则 cos=| = 异面直线 A1E 与 AF 所成角的余弦值为 ；故答案为： 【点评】本题
26、考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15已知数列 1，a 1，a 2，4 成等差数列，数列 1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，则 a2b2 的值是 6 【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求得 a2 及 b2，即可得出 a2b2 的值【解答】解：由题意可知：数列 1，a 1，a 2，4 成等差数列，设公差为 d，则 4=1+3d，解得 d=1，a 2=1+2d=3数列 1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，设公比为 q，则 4=q4，解得 q2=2，b
27、2=q2=2则 a2b2=32=6故答案为：6【点评】本题考查了等比数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16如果对定义在 R 上的函数 f（x） ，对任意两个不相等的实数 x1，x 2，都有x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1） ，则称函数 f（x）为“H 函数” 给出下列函数：y=ex+x；y=x2；y=3xsinx；f（x）= 以上函数是“H 函数” 的所有序号为 【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】不等式 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）等价为（x 1x2）f（x
28、1）f（x 2）0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：对于任意给定的不等实数 x1，x 2，不等式 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）恒成立，不等式等价为（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0 恒成立，即函数 f（x）是定义在 R 上的增函数y=ex+x 为增函数，满足条件函数 y=x2 在定义域上不单调不满足条件y=3xsinx，y=3 cosx0，函数单调递增，满足条件f（x）= 当 x0 时，函数单调递增，当 x0 时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H 函数 ”的函数为 ，故答案为：【点评】本题主要考查函
29、数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明或验算步骤17 （10 分）设 p：实数 a 满足不等式 3a9，q：函数 f（x）= x3+ x2+9x 无极值点（1）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）已知“pq” 为真命题，并记为 r，且 t：a 2（2m + ） a+m（m+ ）0，若 r 是t 的必要不充分条件，求正整数 m 的值【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；转化法；简易逻辑【分析】分别求出命题 p，q 为真时，实数 a 的取值范围；（1）若“pq”为假命
30、题， “pq”为真命题，则 p 与 q 只有一个命题是真命题，进而得到答案；（2）求出“pq” 为真命题，实数 a 的取值范围，结合 r 是t 的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m 的值【解答】解：由 3a9，得 a2，即 p：a2（1 分）函数 f（x）无极值点，f（x）0 恒成立，得=9 （3a） 2490，解得 1a5，即 q：1a5（3 分）（1）“pq”为假命题， “pq”为真命题，p 与 q 只有一个命题是真命题若 p 为真命题，q 为假命题，则 若 q 为真命题，p 为假命题，则 （6 分）于是，实数 a 的取值范围为a|a 1 或 2a5（7 分）（2）“pq”为真命题，
31、（8 分）又 ， ，am 或 ，（10 分）即 t：am 或 ，从而t ： r 是 t 的必要不充分条件，即 t 是 r 的充分不必要条件， ，解得 ，m N*，m=1 （12 分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档18 （12 分）已知函数 f（x） =x2+2ax+1（aR ） ，f （x）是 f（x）的导函数（1）若 x2， 1，不等式 f（x）f （x）恒成立，求 a 的取值范围；（2）解关于 x 的方程 f（x） =|f（x）|【考点】函数恒成立问题；导数的运算【专题】分类讨论；分析法；函数的性
32、质及应用；导数的综合应用【分析】 （1）用分离参数法转化为求最值；（2）通过平方去掉绝对值：（x+a） 22|x+a|+1a2=0，则|x+a|=1+a 或| x+a|=1a求解【解答】解：（1）因为 f（x ）f （x） ，所以 x22x+12a（1x） 又因为 2x1，所以 a在 x2，1时恒成立因为 ，所以 a （2）因为 f（x）=|f（x）|，所以 x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a） 22|x+a|+1a2=0，则|x+a|=1+a 或|x+a|=1a当 a1 时，|x+a |=1a，所以 x=1 或 x=12a；当 1a1 时，|x+a |=1a 或|x+a|=1+a，
33、所以 x=1 或 x=12a 或 x=（1+2a） ；当 a1 时， |x+a|=1+a，所以 x=1 或 x=（1+2a） 【点评】本题考查了用分离参数法处理恒成立问题、解绝对值不等式，属于中档题19 （12 分）各项均为正数的数列a n的前 n 次和 Sn，已知 S1=2，a 7=20，且2（a+b）S n=（a n+a） （a n+b） ， nN+，b a（1）求 a 和 b 的值；（2）b n= ，记数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn【考点】数列递推式【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】 （1）n=1 时，由 2（a+b）a 1=（a 1+a） （a 1+b）
34、，S 1=2，可求得 b=2；由 2（a+b）S n=（a n+a）（a n+b）n2 时，2（a+b）S n1=（a n1+a） （a n1+b） ，两式相减，整理得 an=2+（n1） （2+a） ，再利用a7=20，可求得 a 的值；（2）由（1）知 an=3n1，于是 bn= ， n= +2 +3 +（n 1） +n ，利用错位相减法即可求得数列b n的前 n 项和为 Tn【解答】解：（1）n=1 时，2（a+b）a 1=（a 1+a） （a 1+b） ，a 1=2，4（a +b）= （a +2） （2+b） ，即（a 2） （b2）=0，b a，b=2；n2 时，2（a+b）S n1
35、=（a n1+a） （a n1+b） ，则有 =（a +b） （a n+an1） （n2） ，a n0，a n=an1+（a+b） （n2）a n=2+（n 1） （2+a ） ，a 7=20，a=1（2）由（1）a n=2+3（n1）=3n 1，b n= T n= +2 +3 +（n 1） +n ， Tn= +2 +（n1） +n ， Tn= + + + n =1 nT n=2 【点评】本题考查数列的求和，考查递推关系的应用，求得 a 和 b 的值是关键，突出错位相减法求和的应用，属于难题20 （12 分）如图 1 在 RtABC 中，ABC=90，D、E 分别为线段 AB、AC 的中点，A
36、B=4，BC=2 以 DE 为折痕，将 RtADE 折起到图 2 的位置，使平面 ADE平面 DBCE，连接AC，AB，设 F 是线段 AC 上的动点，满足 = （）证明：平面 FBE平面 ADC；（）若二面角 FBEC 的大小为 45，求 的值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （）由平面 ADE平面 DBCE，ADDE ，可得 ADBE在直角三角形 DEB 中，tanBED=，tanCDE= 可得BED+CDE=90，可得 BEDC可得 BE平面 ADC，即可证明结论（II）以 D 为坐标原点 DB，DE，DA分
37、别为 OX，OY，OZ 轴建立空间直角坐标系，设平面 BEF 的法向量为 =（x，y，z） ，利用 即可得出取平面 BEC 的法向量为 =（0，0，1） ，利用向量夹角公式即可得出【解答】解：（）平面 ADE平面 DBCE，ADDE，AD平面 DBCE，ADBE D，E 分别为中点，DE= BC= ，BD= AB=2在直角三角形 DEB 中，tanBED= = ，tanCDE= = tanBEDtanCDE=1 BED+CDE=90 ，可得 BEDCBE平面 ADC，又 BE平面 FEB平面 FBE平面 ADC（II）以 D 为坐标原点 DB，DE，DA分别为 OX，OY，OZ 轴建立空间直角
38、坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0） ，A（0，0，2） ，B （2，0，0） ，C（2，2 ，0） ，E（0， ，0） （ 2，2 ，2） ， = ， =（2，2 ， 2） ，F ，设平面 BEF 的法向量为 =（x，y，z） ， = ， = ，取 = 又平面 BEC 的法向量为 =（0，0，1） ，cos45= = ，化为 326+2=0，解得 =1 ，又01， =1 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分） （2010 大祥区校级模拟）设函数 f（x）=x 2mlnx，h（x）=x 2x+
39、a（）当 a=0 时，f（x）h （x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围；（）当 m=2 时，若函数 g（ x）=f（x） h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点【专题】压轴题【分析】 （I）由 a=0，我们可以由 f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，得到 mlnx x，即 在（1，+）上恒成立，构造函数 ，求出函数的最小值，即可得到实数 m 的取值范围；（） 当 m=2 时，我们易求出函数 g（x）=f（x） h（x）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为 x2lnx=a，在1，3上恰有两个相异实根，利用
40、导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于 a 的不等式组，解不等式组即可得到答案【解答】解：（I）由 a=0，f（x）h（x）可得 mlnxx，即记 ，则 f（x）h（ x）在（1，+）上恒成立等价于 m（x） min （3 分）求得 （4 分）当 x（1，e）时； （x） 0；当 x（e，+）时，（x）0故 （x）在 x=e 处取得极小值，也是最小值，即 （x） min=（e）=e，故 me （6 分）（II）函数 k（x）=f （x）h（x）在1，3上恰有两个不同的零点等价于方程 x2lnx=a，在1，3上恰有两个相异实根 （7 分）令 g（x）=x 2lnx，则 （8 分）当
41、 x1，2）时，g（x）0 ，当 x（2，3时，g（x） 0g（x）在1，2上是单调递减函数，在（2，3上是单调递增函数故 g（x） min=g（2）=2 2ln2（10 分）又 g（1）=1，g（3）=3 2ln3g（1）g（3） ，只需 g（2）ag（3） ， （12 分）故 a 的取值范围是（22ln2，32ln3（13 分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题， （II）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于 a 的不等式组22 （12 分） （2010 黄冈校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为
42、 F1，F 2，若以 F2 为圆心， bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小值不小于 （1）求椭圆的离心率 e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为 1，圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q，过点 Q 作斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若 OAOB，求直线 l 被圆 F2 截得的弦长的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用；椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）可设且显得的长，当且仅当|PF 2|取得最小值时 |PT|取得最小值，进而求得|PF 2|的最小值，进而判断出 ，求得 e 的范围
43、（2）依题意求得 Q 点坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立消去 y，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，进而表示出 x1+x2 和 x1x2，代入直线方程求得 y1y2 的表达式和 x1x2+y1y2，进而根据 OAOB，判断出=0 求得 k 和 a 的关系，表示出圆心到直线度的距离，根据（1）中 e 的范围确定 c 的范围，进而确定 S 的范围，则其最大值可求【解答】解：（1）依题意设切线长 ，当且仅当|PF 2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF 2|min=ac， ， ，从而解得 ，故离心率 e 的取值范围是 ；（2）依题意 Q 点的坐标为（ 1，0） ，则直线的方程为 y=k（x1） ，联立方程组 ，得（a 2k2+1）x 22a2k2x+a2k2a2=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 ， ，代入直线方程得 y1y2=k2x1x2（x 1+x2）+1= ， ，又 OAOB， ，x 1x2+y1y2=0，k 2=a2， k=a，直线的方程为 axya=0，圆心 F2（c，0）到直线 l 的距离 ，由图象可知 ， ， ， ，所以 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生数形结合的思想，转化和化归思想的运用
