1、2017 届广西陆川县中学高三上学期 12 月月考数学（理）试题数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为 ，集合 ，则 （ ）R,1AxBxRACBA B C D1,22,12,2,2. 已知集合 ， 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）,iA B C Di4A1iAiA3. 若函数 定义域为 ，则“函数 是奇函数”是“ ”的（ ）fxRfx0fA必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要4. 已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数
2、，则由该观测数据算得的线性回y 3,2.7xy归方程可能是（ ）A B 0.23yx0.415yxC. D 2865. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A B C. D1215436. 二项式 的展开式的第四项的系数为-40，则 的值为（ ）510ax1axdA3 B C. 7 D937. 执行如图所示的程序框图，当输入的 时，输出的结果不小于 95 的概率为（ ）1,3xA B C. D13123168.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里;驽马初日行九十七里，日减半里;良马先
3、至齐，复还迎驽马，二马相逢，问:几日相逢? （ ）A12 日 B16 日 C. 8 日 D9 日9. 已知在三棱锥 中， 面 ， ，若三棱锥 的外接球的半径是 3，PACABCPPABC，则 的最大值是（ ）ABCSSA36 B28 C. 26 D1810. 已知函数 ( 为常数， )在 处取得最大值，则函数sincosfxabx,a0,xR4是（ ）4yfA奇函数且它的图象关于点 对称 B偶函数且它的图象关于点 对称 ,0 3,02C. 奇函数且它的图象关于点 对称 D偶函数且它的图象关于点 对称3,2 ,11. 过抛物线 的焦点 的直线与双曲线 的一条渐近线平行，并交抛物线于20ypxF2
4、13yx两点，若 ，且 ，则抛物线的方程为（ ）,ABFBAA B C. D2yx23yx24yx2yx12. 函数 ，当 在 上变化时，设关于 的方程 的不同实数23xfxemRx2210fxmfe解的个数为 ，则 的所有可能的值为（ ）nA3 B1 或 3 C. 3 或 5 D1 或 3 或 5第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知点 是边长为 1 的正三角形 的中心，则 OABCOBC14. 若实数 满足不等式组 ，则 的取值范围是 ,xy240xy221xy15. 六张卡片上分别写有数字 0，1，2，3，4，5，从中任取四张排成一
5、排，可以组成不同的四位奇数的个数为 16. 已知数列 的首项 ，且对任意 ， 是方程 的两实根，则na1*nN1,na230nxb21nb三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）如图，在 中， ，垂足为 ，且 .ABCD:2:36BDCA(1)求 的大小；BAC(2)若 在 上，且 ，已知 的面积为 15，求 的长.E3EE18. （本小题满分 12 分）已知从 地到 地共有两条路径 和 ，据统计，经过两条路径所用的时间互AB1L2不影响，且经过 和 所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别为下图(1)和(
6、2).1L2现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于从 地到 地.AB(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到 地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到 地的人数，针对 (1)的选择方案，求 的分布列和数X X学期望.（第 18 题图）19. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 面 ， ，PABCDABCD/,ABD， ， 为 的中点.6DC8,10,45ABCE(1)求证： 面 ；EP(2)线段 上是否存在一点 ，满足 ？若存在，试求出二面角 的余弦值；若不存FBFP在，说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 (常数
7、)的离心率为 ， 是椭圆 上的两2:1xCyaa2,MNC个不同动点， 为坐标原点.O(1)求椭圆 的方程；C(2)已知 ，满足 ( 表示直线 的斜率)，求 取值的范围.,1,AaBOMNAOBkkM21. （本小题满分 12 分）已知函数 .22ln,fxaxg(1)若函数 在 处的切线与函数 在 处的切线互相平行，求 的值；fx2,f a(2)设函数 .Hgx（）当实数 时，试判断函数 在 上的单调性；0ayHx1,（）如果 是 的两个零点， 为函数 的导函数，证明： .122,xHx120x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 1
8、0 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是 ( 为参数) ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建1C2cosinxy x立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .24i(1)求曲线 与 交点的坐标；1(2) 两点分别在曲线 与 上，当 最大时，求 的面积( 为坐标原点).,AB1C2ABOAB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .26fx(1)求不等式 的解集；(2)若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围.x1fxaa试卷答案一、选择题1.B 2.C3.B 当函数 的定义域为 时， “函数 是奇函数” “ ”成立，而“ ”时，fxRfx0f0f函
9、数 不一定是奇函数，所示“函数 是奇函数”是“ ”的充分不必要条件.f4.A 因为变量 与 负相关，所以回归方程中的回归系数为负，排除 B，C，有样本平均数xy适合 A，不适合 D，故选 A.3,2.7xy5.D 6.A 二项式 的展开式的第四项为 ，其系数为510ax23324510TCaxax，又因为 ， ， ，故选 A.21042a211axd7.C 由程序框图可知，当输入 时，输出结果为 ，所以当x432615fxx， ，所以输出结果不小于 95 的概率 .,3x1,3fx 9823P8.D 良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为 ，驽马每日所行走1030nan里数也构成一等差数
10、列，其通项公式为 ，二马相逢时所走路程之和为59722nb，所以有 ，即215011502a，解之得 ，故选 D.957392nn9n9.D 因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，所以PABC,PABCPABPAC，所以有 ，则由基本不等式可得B22236221118ACBPACSS C当且仅当 时等号成立，所以 的最大值是 36.S10.B 因为 在 处取得最大值，所以2sincossinfxabxabx4，即 ，所以函数24kZ2 2i sin4f kabx，故函数 是偶函数，且关于22sincosyfxabxabxyf对称.3,0211.A 抛物线 的焦点 的坐标为 ，准线方程
11、，与双曲线 的渐近线方2ypxF,02p2px213yx程为 ，由于过抛物线 的焦点 的直线与双曲线 的一条渐近线平行，并交3yx2ypxF213yx抛物线于 两点，且 ，所以可设直线 方程为： ，设,ABFBAB2p，则 ，由 可得 ，所以 ，00,2pxy002,ppx0x032yp则 得 或 (舍去)，所以抛物线方程为 .3132yx12.A 因为 ，所以由方程 可得 或 ，且2480me2210fxmfe1fxt2fxt，不妨设 ，则 ，又因为12te1t210tet.由 得 或 ，2333xxxxfee0f3x1当 时， ，函数 在区间 上单调递增，且 .当 时，30ff,，所以函数
12、 在区间 上单调递减. 当 时， ，所以函数 在区间0fx fx,11xfx fx上单调递，且 ， .1,36, 2fffee最 大 值 最 小 值 21e最 大 值 最 小 值当 时， ，此时，由图象可知 无解， 有三个解；当 时，2te236te1xtxt1t，此时，由图象可知 有一个解， 有两个解，即方程共有三个解；当361fxt2f时， ，此时，由图象可知 有两个解， 有一个解，方程有三个不同10et23te1xt2fxt的解，综上所述，关于 的方程 共有三个不同的解.x220fxmfe二、填空题13. 由正三角形的性质可知， ，所以16 3,3OBCOC321cos36OBC14.
13、在坐标系中作出可行域如下图所示，设9,412，则 ，由图可知，当点 与可行域内的点 重合时，,0,MxyP2221xyPM 4,C取得最大值，此时 ，点 到直线 的距离的平方为 最小值，即2 452xy2PM最小值为 ，所以 的取值范围是 .2291221xy9,4115.144 当所取四位数字不含 0 时，不同的四位奇数的个数为 ，当所取四位数字含 0 时，不同13472CA的四位奇数的个数为 ，所以不同的四位奇数共有 144 个.12347CA16. 因为 是方程 的两实根，所以 ，由3n1,na230nxb113,nnnaab得，当 时， ，两式作差得 ，所以数列 的奇数项1a21n1n
14、与偶数项分别构成以 3 为公差的等差数列，且 ，所以 ，2,a22.2 212,3n nnb三、解答题故 ， ，2,3,6BDCA15,2103EACB在 中，由余弦定理得 ， .E22cos25BEABE18.(1)用 表示事件“甲选择路径 时，40 分钟内赶到 地”, 表示事件“乙选择路径 时，50 分钟i iLi iL内赶到 地”, .B1,2由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得1 20.2.031.6,0.140.5PAPA ，故甲应选择L，1 2.8,10.9BB ，故乙应选择21P2(2)用 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到 地，由(1)知 ，,MN
15、B0.6PM，又由题意知， 相互独立.0.9,N ，0.41.PXPM， 1 04.960.142PN2.69.5N的分布列为 x0 1 2？ 0.04 0.42 0.54 .4.0.541EX19.（1）取 的中点 ，连 和 ，过点 作 ，垂足为PBMECNAB ， ，又 ，四边形 为平行四边形，,CNAD/NDA/BCD ，在直角三角形 中，8,6221086N ，而 分别为 的中点，且 且 ，又12BE,P/EMA6/AB 且 ，四边形 为平行四边形， /MCC/C平面 ， 平面 ， 平面DB/DPB(2)由题意可知， 两两互相垂直，如图，以,A,AD分别为 轴建立空间直角坐标系 ，则,
16、xyzxyz.假设 上存在一点 使 ，设 坐标为 ，8012,0,60,8ABCPBFCBF8,0t则 ，由 ，得 ，又平面 的一个法向量为,CFtD0FD23tDP，D设平面 的法向量为 ，又 ，FPC,nxyz160,68,03PCF由 ，得 ，即 不妨设 ，有0n68013xy342yx12y8,129n则 228cos, 1719DAn又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，故二面角 的余弦值为 .FPCD81720.(1)由题意得 ，得 ，椭圆 的方程为 .21cae2aC21xy(2)方法一： ,AB当 的斜率不存在时，不妨设 ，且 ，MN11,MxyN10,xy则 ，化简得 ，由
17、在椭圆上得 ，212OOABykkx211,M21xy联立得 ，得 (定值),2NN当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，MMykxt11,yNx由 2221410xykxtkt则 ，即22248tkt210*kt，212124,tktxxk221212112+1tkykxttkxtx又 ，得 ，即12OMNOABy1220y220tk解得 ，代入 得 ，且 ，故 ，且2tk*20t21tk2t21t2221 2,1tNxkkt综上所述， M解法二：由条件得： ，两边平方得 ，即12yxa22221114xyx21x又 ，得 ，设 ，221,yxy21y12cos,iny则 2222111
18、112123sinMNxxyy当 时； ；当 时， ，sinmaxsinminMNMN21.(1)由 得，在 处切线互相平行时，切线斜率相等，于是,2fg2x.14,3a(2)(1) 易知 在 上单调递减，2Hxa Hx1,当 时， ；当 时， 在 上恒成立.,xa00Hx1,当 时，函数 在 上单调递减.0ay,(2)因为 是 的两个零点，故 122,xHx2111lnxxa 由-得： ，222ln0Ha21211l 0解得 211lnxa因为 ，将 代入得12121224,xxHxaHa211lnx 22 21112111222121lnln4 lnlnxxxxx 设 ，构造 ， ，21x
19、t2241thtt21,tx20th 在 单调增且 ， ， 又he,e0he210 .2112221lnxxHx22.(1)由 ，得 ，所以 ，2cosinxy2cosinxy24xy又由 ，得 ，得 ，把两式作差得， ，代入 得交4s24i24yx24y点为 .0,(2)如图，由平面几何知识可知，当 依次排列且共线时，12,ACB最大，此时 ， 到 的距离为 ， 的面积为AB24OOAB.124s23.(1)由 得 ， 或 ，解得 或fx26x260x260x36x23不等式 的解集为 .f(2)令 ，则 ，21621gxfxx4,183,xgmin4gx存在 使不等式 成立， ， .famina4
