1、2016-2017 学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 x20，1，x，则实数 x 的值是 2将函数 y=sin（2x ）1 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 3在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81，则 an= 4已知集合 A=x|x5，集合 B=x|xa，若命题“xA”是命题“ xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 5已知 为锐角，且 tan（）+3=0 ，则 sin 的值是 6已知ABC 中，角 A，B，C
2、 的对边分别为 a，b，c ，且 5tanB= ，则 sinB的值是 7在等差数列a n中，a 1=3，11a 5=5a8，则前 n 项和 Sn 的最大值为 8设 为锐角，若 sin（+ ）= ，则 cos（2 ）= 9设 a0，若 an= 且数列a n是递增数列，则实数 a 的取值范围是 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD= ，E 为 BC 中点，若 =3，则 = 11已知函数 f（x）在定义域 2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（ m2 ）f（ m2+2m2） ，则 m 的取值范围是 12若曲线 y=alnx 与曲线 y= x2 在它们的
3、公共点 P（s，t ）处具有公共切线，则 = 13如图，在APC 中，点 B 是 AC 中点，AC=2，APB=90，BPC=45 ，则 = 14设函数 f（x）=e x（2x1）ax +a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，则 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，三个内角分别为 A，B ，C，已知 sin（A+ ）=2cosA （1）求角 A 的值；（2）若 B（0， ） ，且 cos（AB ）= ，求 sinB16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为
4、 a，b，c ，cosC= （）若 ，求 c 的最小值；（）设向量 ， ，且 ，求sin（BA）的值17已知函数 f（x）= ， （其中 m、n 为参数）（1）当 m=n=1 时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果 f（x）是奇函数，求实数 m、n 的值；（3）已知 m0，n0，在（ 2）的条件下，求不等式 的解集18如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为1 百米的扇形，ABC= 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、 N 两点） ，过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ问：点 P 选择在何处时，才能使得
5、修建的小路 与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由19已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a1=2，a nan+1=2（S n+1） （nN *） （1）求 a2017 的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）若数列b n满足 b1=1，b n= （n2，nN *） ，求b n的前 n 项和 Tn20已知函数 f（x）= x2，g（x）=alnx（1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有2 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若在1，
6、e上存在一点 x0，使得 f（x 0）+ g（x 0）g （x 0）成立，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 x20，1，x，则实数 x 的值是 1 【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据集合元素和集合的关系确定 x 的值，注意元素的互异性的应用【解答】解：x 21，0，x ，x 2=1，x 2=0，x 2=x，由 x2=1 得 x=1，由 x2=0，得 x=0，由 x2=x 得 x=0 或 x=1综上 x
7、=1，或 x=0当 x=0 时，集合为1，0，0不成立当 x=1 时，集合为1，0，1不成立当 x=1 时，集合为1，0，1，满足条件故答案是：12将函数 y=sin（2x ）1 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 y=sin（2x+ ） 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得到答案【解答】解：函数 y=sin（2x ）1，向左平移 个单位，可得：y=sin2（x+ ） 1=sin（2x+ ）1，再向上平移 1 个单位，可得：y=sin（ 2x+ ） 1+1=sin（2x+ ） 所以所得图象的函
8、数解析式为 sin（2x+ ） 故答案为 y=sin（2x+ ） 3在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81，则 an= 3 n1 【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出an【解答】解：在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81， ，解得 a1=1，q=3，a n=3n1故答案为：3 n14已知集合 A=x|x5，集合 B=x|xa，若命题“xA”是命题“ xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 a5 【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“xA ”是命题“
9、xB”的充分不必要条件，则AB，集合 A=x|x5，集合 B=x|xa，结合集合关系的性质，不难得到 a5【解答】解：命题“xA” 是命题“ xB”的充分不必要条件AB故 a5故选 A55已知 为锐角，且 tan（）+3=0 ，则 sin 的值是 【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解： 为锐角，且 tan（）+3= tan+3=0， tan= =3再根据 sin2+cos2=1，可得 sin= ，故答案为： 6已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 5tanB= ，则 sinB的值是 【考点】余弦定理；余
10、弦定理的应用【分析】利用余弦定理可得 cosB= ，代入已知 ，化简后即可得结果【解答】解：cosB= ， = =5sinB=3sinB=故答案为7在等差数列a n中，a 1=3，11a 5=5a8，则前 n 项和 Sn 的最大值为 4 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式可得 an，令 an0，解得 n，再利用求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n公差为 d，a 1=3，11a 5=5a8，11（3+4d）=5（3+7d） ，解得 d=2a n=32（n1） =52n，令 an0，解得 n ，因此取 n=2 时，前 n 项和 Sn 取得最大值，为 3+1=4故答
11、案为：48设 为锐角，若 sin（+ ）= ，则 cos（2 ）= 0 【考点】三角函数的化简求值【分析】利用整体构造思想，将 cos（2 ）=cos（ + ）+（ ）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解【解答】解：0 ， ， sin（+ ）=sin（+ ）=故 ， cos（+ ）= ；又 ，sin（+ ）=cos （ + ）=cos（ ）= ，sin（ ）= cos（2 ）=cos（+ ）+（ ）=cos（ + ） cos（ ）sin（+ ）sin（ ）= =0故答案为：09设 a0，若 an= 且数列a n是递增数列，则实数 a 的取值范围是 2，3） 【考点】数列的函数特性【分析】首先
12、，根据数列a n是递增数列，得到 ，然后，求解实数a 的取值范围即可【解答】解：a n= 且数列a n是递增数列，则，2a3，a（2，3） ，实数 a 的取值范围是（2，3） 故答案为：（2，3） 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD= ，E 为 BC 中点，若 =3，则 = 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】以 A 为坐标原点， AB，AD 所在直线为 x，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值【解答】解：以 A 点为原点， AB 所在的直线为 x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示的坐标系，AB=3，AD= ，E 为 BC
13、 中点，A（0，0） ，B（3，0） ，D（0， ） ，设 C（x， ） ， =（3，0） ， =（x， ） ， =3，3x=3，解得 x=1，C（1， ） ，E 为 BC 中点，E（ ， ） ，即为（2， ） ， =（2， ） ， =（2， ） ， =2（2）+ =4+1=3故答案为：311已知函数 f（x）在定义域 2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（ m2 ）f（ m2+2m2） ，则 m 的取值范围是 【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性的定义先求出 a 的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：因为函数 f（x）在定义域 2a
14、，3上是偶函数，所以 2a+3=0，所以 a=5所以 f（ m2 ）f（ m2+2m2） ，即 f（m 21）f （ m2+2m2） ，所以偶函数 f（x）在3，0上单调递增，而m 210，m 2+2m2=（m1） 210，所以由 f（ m21）f（ m2+2m2）得 ，解得 故答案为 12若曲线 y=alnx 与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t ）处具有公共切线，则 = 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出 a 的值【解答】解：曲线 y=alnx 的导数为：y= ，在 P（s，t ）处的斜
15、率为：k= 曲线 y= x2 的导数为：y= ，在 P（s，t ）处的斜率为：k= 由曲线 y=alnx（a0）与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t ）处具有公共切线，可得 = ，并且 t= =alns，得 lns= ，s 2=e则 a=1，t= ，s= ，即 故答案为： 13如图，在APC 中，点 B 是 AC 中点，AC=2，APB=90，BPC=45 ，则 = 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知可得 = （2 ）=2 2= 2=| |2，根据三角形外角平分线定理及勾股定理求出 AP 长，可得答案【解答】解：在APC 中，点 B 是 AC 中点， + =2 ，即 =2 ，
16、故 = （2 ）=2 2，APB=90， =0，即 = 2=| |2，BPC=45， AC=2，由三角形外角平分线定理得：PA：PB=AC：BC，故 AP=2PB，AB=1，解得：AP= ，故 = ，故答案为：14设函数 f（x）=e x（2x1）ax +a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，则 a 的取值范围是 ，1） 【考点】函数恒成立问题【分析】设 g（x）=e x（2x1 ） ，y=ax a，则存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 y=axa的下方，由此利用导数性质能求出 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）=e x（2x1）ax +a，其中 a1
17、，设 g（x）=e x（2x1） ，y=axa，存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 y=axa 的下方，g（x）=e x（2x+1） ，当 x 时， g（x）0，当 x= 时，g（x） min=g（ ）=2e 当 x=0 时，g（0）= 1，g（1）=e0，直线 y=axa 恒过（1，0） ，斜率为 a，故ag（0）= 1，且 g（1 ）= 3e1a a，解得 a 的取值范围是 ，1） 故答案为： ，1） 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，三个内
18、角分别为 A，B ，C，已知 sin（A+ ）=2cosA （1）求角 A 的值；（2）若 B（0， ） ，且 cos（AB ）= ，求 sinB【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】 （1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA= cosA，结合 A（0，） ，可求 tanA= ，进而可求 A 的值（2）由已知及（1）可求 AB= B（0， ） ，利用同角三角函数基本关系式可求sin（AB ）的值，利用 B=A（A B） ，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 10 分）解：（1）因为 sin（A+ ）=2cosA，得 sinA+ co
19、sA=2cosA，即 sinA= cosA，因为 A（0，） ，且 cosA0，所以 tanA= ，所以 A= （2）因为 B（0，） ，cos（ AB）= ，所以 AB= B（0， ） ，因为 sin2（AB）cos 2（AB）=1，所以 sin（AB ）= ，所以 sinB=sinA（A B）=sinAcos（AB ）cosAsin（A B）= 16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，cosC= （）若 ，求 c 的最小值；（）设向量 ， ，且 ，求sin（BA）的值【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理【分析】 （）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求 c 的最小
20、值；（）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论【解答】解：（） ，abcosC=ab = ，ab=15 ，c ，即 c 的最小值为 ；（） ， ，即 ， ，即 tan2B= ，2B= 或 ，即 B= 或 cosC= ，C ，sinC= B= 或 （舍去） =17已知函数 f（x）= ， （其中 m、n 为参数）（1）当 m=n=1 时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果 f（x）是奇函数，求实数 m、n 的值；（3）已知 m0，n0，在（ 2）的条件下，求不等式 的解集【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法【分析】 （1）当 m=n=1 时，根据函数奇偶性的定义进行判
21、断即可；（2）如果 f（x）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数 m、n 的值；（3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：（1） ， ， ，f（ 1）f（1） ，f（x）不是奇函数； （2）f（x）是奇函数时 f（ x）= f（x） ，即 对定义域内任意实数 x 成立化简整理得关于 x 的恒等式（2m n）2 2x+（2mn 4）2 x+（2m n）=0， 即 或 10 分（注：少一解扣 2 分）（3）由题意得 m=1，n=2， ，易判断 f（x）在 R 上递减， ， ， ，2 x3，xlog 23，即 f（x）0 的解集为（，log 23）18如图，某广场中
22、间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为1 百米的扇形，ABC= 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、 N 两点） ，过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ问：点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路 与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】连接 BP，过 P 作 PP1BC 垂足为 P1，过 Q 作 QQ1BC 垂足为 Q1，设PBP 1=，MBP= ，则总路径长 f（）= +4cos sin， （0） ，求导，可得函数的最小值点【解答】解：连接 BP，过 P 作 PP1B
23、C 垂足为 P1，过 Q 作 QQ1BC 垂足为 Q1，设PBP 1= ，MBP= 若 ，在 RtPBP 1 中，PP 1=sin，BP 1=cos，若 ，则 PP1=sin，BP 1=cos，若 ，则 PP1=sin，BP 1=cos（ ）=cos， 在 Rt QBQ1 中，QQ 1=PP1=sin，CQ 1= sin，CQ= sin， 所以总路径长 f（）= +4cos sin， （0 ） ，令 f（）=0， 当 时，f（ ）0 当 时，f（ ）0 所以当 时，总路径最短答：当 BPBC 时，总路径最短19已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a1=2，a nan+1=2（S
24、n+1） （nN *） （1）求 a2017 的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）若数列b n满足 b1=1，b n= （n2，nN *） ，求b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）由 anan+1=2（S n+1） ，可得 n2 时，a n1an=2（S n1+1） ，相减可得：an+1an1=2，利用等差数列的通项公式即可得出（2）由 anan+1=2（S n+1） （nN *） ，n=1 时，a 1a2=2（a 1+1） ，即 2a2=23，解得 a2，由an+1an1=2，可得数列a n的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为 2即可得出（3）数列b
25、 n满足 b1=1，b n= = = ，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）a nan+1=2（S n+1） ，n2 时，a n1an=2（S n1+1） ，相减可得：anan+1an1an=2an，a n0a n+1an1=2，又 a1=2，a 2017=2+2=2018（2）由 anan+1=2（S n+1） （nN *） ，n=1 时，a 1a2=2（a 1+1） ，即 2a2=23，解得 a2=3，由 an+1an1=2，可得数列a n的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为 2a 2k1=2+2（k 1）=2k ，a 2k=3+2（k1）=2k+1a n=n+1（3）数列b n
26、满足 b1=1，b n= = = ，b n的前 n 项和 Tn= + + =1 20已知函数 f（x）= x2，g（x）=alnx（1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有2 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若在1，e上存在一点 x0，使得 f（x 0）+ g（x 0）g （x 0）成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）求出函数 y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得
27、a 的方程，解得 a 即可；（2）由题意可得即为 0，令 m（x）=h（x） 2x，可得 m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围；（3）原不等式等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx0+ 0，设 m（x）=xalnx+，求得它的导数 m（x） ，然后分 a0、0ae1 和 ae1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最后综上所述可得实数 a 的取值范围是（，2）（，+） 【解答】解：（1）y=f（x）g（x）= x2alnx 的导数为 x ，曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线
28、斜率为 k=1a，由切线的方程为 6x2y5=0，可得 1a=3，解得 a=2；（2）h（x）=f（x）+g（x）= x2+alnx，对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，即为0，令 m（x）=h（ x） 2x，可得 m（x）在（0，+）递增，由 m（x）=h （x）2=x + 20 恒成立，可得 ax（2x）的最大值，由 x（2x）=（x1） 2+1 可得最大值 1，则 a1，即 a 的取值范围是1，+ ） ；（3）不等式 f（x 0）+ g（x 0）g（x 0）等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx0+ 0，设 m（x）=xalnx+ ，则由题意可知只需在1，
29、e上存在一点 x0，使得 m（x 0）0对 m（x）求导数，得 m（x）=1 = = ，因为 x0，所以 x+10，令 x1a=0，得 x=1+a若 1+a1，即 a0 时，令 m（1）=2+a0，解得 a2若 11+a e，即 0ae 1 时，m（x）在 1+a 处取得最小值，令 m（1+a）=1+a aln（1+a ）+10，即 1+a+1aln（1+a） ，可得 ln（a +1）考察式子 lnt，因为 1te ，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立当 1+ae，即 ae 1 时，m（x）在1，e上单调递减，只需 m（e）0，得a ，又因为 e1 = 0，则 a 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ，2） （ ，+ ） 2017 年 1 月 8 日
