1、页 1 第2018 届辽宁省实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题 （解析版）一、选择题:本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 ，则 在复平面内对应的点位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】z 1+z2=3-4i+（-2+3i）=1-i，则 z1+z2 在复平面内对应的点（1，-1）位于第四象限故答案为：D。2. 命题“ ”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】全称性命题的否定是特称性命题,所以选 C.3. 已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，
2、那么 （ ）A. B. C. 4 D. 13【答案】A【解析】， 均为单位向量， |=1，| |=1又 两向量的夹角为 60， =| |cos60= . = 故答案为： .4. 等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则A. 7 B. 8 C. 15 D. 16【答案】C【解析】试题分析：设等比数列 的公比为 ， 成等差数列，则 即 ，解得 ， ，则 ；页 2 第考点：等比数列；等差中项；5. 对任意的非零实数 a，b，若 ab 的运算原理如图所 示，且 mina，b，c表示 a，b，c 中的最小值，则2min1，log 0.30.1，3 0.1的值为 （ ）A. -1 B.
3、C. 1 D. 23 0.1【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 y= 函数值，30.11 ，log0.30.11，可得：min1 ，log0.30.1，30.1=1，2 1，y=21=1故答案为：C。6. 数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，a n+1=3Sn（n1） ，则 a6= （ ）A. 44+1 B. 344+1 C. 45 D. 344【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，即 ，所以 是以 为首项的等比数列，其通项公式 ，所以 ，故选 A考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、数列
4、前 项和与通项关系7. 函数 的单调递增区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C页 3 第【解析】：f（x）= （x-2）ex，令 f（x）0，解得：x2，f（x）在（2，+ ）递增，故答案为：C8. 已知函数 的图象一部分如图（ ） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据函数 y=Asin（x+）+B 的图象知，A=2，B=2，A、C 错误；又 T= = ，T= =，解得 =2，B 错误；由五点法画图知 x= 时，x+=2 += ，解得 = ，D 正确；故答案为：D。9. 已知角的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 的值为A. B. C.
5、D. 【答案】B【解析】角的终边经过点 ， ， 。选 D。 10. 已知定义在 上的奇函数 的图象如图所示，则， ，的大小关系是（ ）页 4 第A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数过原点，f（0）= ,，b=0，由图象知函数的定义域为 R，则 c0，又 f（1）=1，即 f（1）= =1, 则 a=1+cc，ac b，故选：B 11. 在ABC 中，AB=2，AC=3， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 1，且 AB2，1 | | |cos(B)，| |cosB .在ABC 中，| AC|2|AB| 2|BC| 22| AB|BC|cosB，即 94|BC |2
6、22 .|BC| .12. 定义在（0，+）上的单调函数 f（x） ，x（0，+ ） ，ff（x）lnx=1，则方程 f（x）f（x）=1 的解所在区间是 （ ）A. （2，3） B. C. D. （1，2）【答案】D【解析】令 f（x）lnx=t，由函数 f（x）单调可知 t 为正常数，则 f（x）=t+lnx，且 f（t）=1，即 t+lnt=1，解：根据题意，对任意的 x（0，+） ，都有 ff（x）lnx=1，又由 f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则 f（x）lnx 为定值，设 t=f（x）lnx，则 f（x）=lnx+t，又由 f（t）=1，即 lnt+t=1，解得：t=1，
7、页 5 第则 f（x）=lnx+1，f（x）= ，f（x）f（x）=lnx+1 =1，即 lnx =0，则方程 f（x）f（x）=1 的解可转化成方程 lnx =0 的解，令 h（x）=lnx ，而 h（2）=ln2 0，h（1）=ln1 10，方程 lnx =0 的解所在区间为（ 1，2），方程 f（x）f（x）=e 的解所在区间为（1，2），故答案为：D点睛：本题考查函数的单调性和方程的根的综合应用，这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函
8、数，注意让非常函数式子尽量简单一些。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如图，函数 的图象在点 P 处的切线方程是 ，则 _.【答案】2【解析】试题分析：函数 的图象在点 P 处的切线方程是 ， ， .故答案为：2考点：导数的概念及其几何意义；导数的运算.14. 已知点（x，y）满足不等式组 ，则 z=x2y 的最大值为_页 6 第【答案】1【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数 经过点 时取得最大值，所以 ，故选 C考点：简单的线性规划问题15. 已知 ， ，则 _【答案】7【解析】已知 ，由两角和差公式展开得到 结合恒等式 ，联立方
9、程组得到 故 7.故答案为：7.16. 设直线 y=t 与曲线 C：y=x（x3） 2的三个交点分别为 A（a，t） ，B（b，t） ，C（c，t） ，且abc现给出如下结论：abc 的取值范围是（0，4） ；a 2+b2+c2为定值；a+b+c=6其中正确结论的为_【答案】【解析】设 y=f（x）=x（x3）2=x36x2+9x，则 f（x）=3x212x+9，令 f（x）=0，解得 x=1 或 x=3；当 x1 或 x3 时，f（x）0，当 1x3 时，f（x）0；页 7 第f（x）在（，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（ 3，+）上是增函数；当 x=1 时，f （x）取得极大值
10、 f（1）=4，当 x=3 时，f （x）取得极小值 f（3）=0；作出函数 f（x）的图象如图所示：直线 y=t 与曲线 C：y=x（x3）2 有三个交点，由图象知 0t4，正确；令 g（x）=x（x3）2t=x36x2+9xt，则 a，b，c 是 g（x）=0 的三个实根x36x2+9xt=（xa）（xb）（xc），即 x36x2+9xt=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabc，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，abc=t，正确；a2+b2+c2=（a+b+c）22（ab+bc+ac）=18，正确；综上，正确的命题序号是 故答案为：点睛：本题考查了导数与函数的单调性，函数
11、的图象以及三次方程根与系数的关系问题，是中档题.其中应用到了图像的交点和函数的零点，方程的根的转化。还有就是利用导数研究函数的单调性和极值。三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数 f（x）=sin 2xcos 2x2 sinx cosx（xR） （1）求 f（ ）的值（2）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间【答案】 （1）2；（2）【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为 2 ,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得 f（ x）的最小正周期为
12、 ，令 2 解不等式可求出函数的单调减区间.页 8 第试题解析：（）f（x ）= 2 则 f（ ）= 2 （）f（x）的最小正周期为 .令 2 函数 f（x）的单调递减区间为【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性与周期性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.18. 已知数列a n满足 a1=3，且 an+13a n=3
13、n， （nN *） ，数列b n满足 bn=3n an（1）求证：数列b n是等差数列；（2）设 ，求满足不等式 的所有正整数 n 的值【答案】 （1）见解析；（2）2,3,4解析：（1）证明：由 bn=3n an得 an=3nbn，则 an+1=3n+1bn+1代入 an+13a n=3n中，得 3n+1bn+13 n+1bn=3n，即得 。所以数列b n是等差数列（2）解：因为数列b n是首项为 b1=31 a1=1，公差为 等差数列，则 则 an=3nbn=（n+2）3 n1 从而有 。页 9 第故 则 ，由 得 .即 33 n127，得 1n4故满足不等式的所有正整数 n 的值为 2，
14、3，419. 已知等差数列a n中，a 2=5，S 5=40等比数列b n中，b 1=3，b 4=81，（1）求a n和b n的通项公式 （2）令 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Tn【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出 和 联立方程求得和 和 ，则数列的通项公式可得,求出首项与公比，即可得 的通项公式；（2）由（1）得的 代入 ，利用错位相减求和即可.试题解析：（1）设公差为 d，则由 a2=5，S 5=40，得： ，解得 ，则 an=3n1 q=3 （2） ： 【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错
15、位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解 , 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.20. 在 中， 分别是角 的对边，且 ， （1）求 的值；（2）若 ，求 的面积.页 10 第【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理利用 可得由 ，再由正弦定理可得 ，从而可得 ，再利用三角形内角和定理、诱导公式、 及两角和的正弦公式可得 的值；（2）由 及 可得出 ，利用（1）的结论以及三
16、角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由 得出： ， 由 及正弦定理可得出： ，所以 ， 再由 知 ，所以 为锐角， ， 所以 （2）由 及 可得出 ，所以 .21. 已知函数 ， ， （其中 ，为自然对数的底数， ）.（1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值.【答案】 （1）1；（2）2【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求出 h（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出 a 的值即可；（2）得到 1+xe x，令x= （nN *， k=0，1，2， 3
17、，n1） ，则 01 ，得到 累加，通过放大不等式，证明即可解析：（1）因为 ，所以 ，由 对任意的 恒成立，即 ，由 ， （i）当 时， ， 的单调递增区间为 ，页 11 第所以 时， ，所以不满足题意.(ii)当 时，由 ，得时， ， 时， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 的最小值为 . 设 ，所以 ， 因为 ，令 得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 ，由得 ，则 . （2）由（1）知 ，即 ，令 （ ， ）则 ，所以 ，所以，所以 ，又 ，所以 的最小值为点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式恒成立求参的问题，对于这类综合性较强的题
18、目常用策略：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般要用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于导数中的数列不等式的证明，解题时常常要用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后通过取特值的方法转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和。22. 在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数） 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ，与直线的交点为 ，求线段 的长【答案】 （1） ；（2）2页 12 第【解析】试题分析：（I）把 cos2+sin2=1 代入圆 C 的参数方
19、程为 （ 为参数） ，消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐标方程 （II）设 P（1，1） ，联立，解得 1，1；设 Q（2，2） ，联立 ，解得 2，2，可得|PQ|解析：（1）圆 的普通方程为 ，又 ，所以圆 的极坐标方程为（2）设 ，则由 解得 ，设 ，则由 解得 ，所以23. 已知函数 ， （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为 2f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。解析：（1）当 a=3 时，f（x）=|x3|+|x1|，即有 f（x）=不等式 f（x）4 即为 或 或 .即有 0x1 或 3x4 或 1x3，则为 0x4，则解集为0，4；（2）依题意知，f（x）=|xa|+|x1|2 恒成立，2f（x） min；由绝对值三角不等式得：f（x）=|xa|+|x1|（xa）+（1x）|=|1a|，即 f（x） min=|1a|，|1a|2，即 a12 或 a12，页 13 第解得 a3 或 a1实数 a 的取值范围是3，+）（，1
