1、浙江省名校新高考研究联盟 2019届第一次联考数学试题卷命题：德清高级中学 审题：瑞安中学 元济高级中学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则2|1, |30AxBxABA B |1C D|2x|21xx或2. 设复数 满足 （ 为虚数单位），则z()2iizA B C Di 13. 设函数 ，则 的值为ln|,() xfe(2)fA B C D1e214. 已知 是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是,mn,A若 ，则,/,/n/B若 ，则,/C若 ，则m/D若 ，则,n5. 已知
2、实数 满足约束条件 ，则 的最大值为,xy20yxxyA B C D142326. 已知双曲线 ，则“ ”是“双曲线 的焦点在 轴上”的2:1(0,)xyababCxA充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 函数 的图像可能是2sin()()1xfA. B. C. D.8. 已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆交于 12,F21(0)xyab1F,AB两点，且满足 ，则该椭圆的离心率是112|, |ABFAA B C D1233539. 已知正实数 满足 ，则 的最小值是,abcd1, bcd1abcdA B C D1094210. 已知三棱锥
3、的所有棱长为1, 是底面 内部PAMABC一个动点（包括边界），且 到三个侧面 , P的距离 成单调递增的等差数列. 记 与123, h ,所成的角分别为 ，则下列正确的是AC,A B C D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36 分.11. 已知随机变量 的分布列如下表所示，则 ， .ED12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 .13. 若 的展开式中， 的系数为6，则 ，常数项的值为 .621()ax3xa14. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 外接圆半径为 ，则ABC, ,bc60ABC3，若 ，则 的面积为 .a3bcBC15
4、. 沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有 种.16. 已知向量 满足 ，则 的取值范围为 .,ab|2|, |2baab17. 设函数 ，当 时，记 的最大值为2()|(,R)fxx2,x()fx，则 的最小值为 .,Mab,)三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. 已知函数 2()3sini.fxx（I）求 的最小正周期及单调递增区间；（II）求 在区间 上的最大值.()fx0,219. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，PABCDABCD/4CPAB， 为棱 上的一点
5、，且2BCQ1.3PQ（I）证明：平面 平面 ；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.DPBC20. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .nanS21(,RN*)naban（I）当 时，求数列 的前 项和为 ；1,bnT（II）若 是等比数列，证明：na2311 .nSS21. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ，且2(0)ypxF(2,8)M|45.F（I）求抛物线方程；（II）设 是抛物线上的两点，当 为 的垂心时，求直线 的方程.,ABABAB22. 设 ，已知函数Ra2()ln(1), (1,).fxaxx（I）若 恒成立，求 的范围；()0fx（II）证明：存在实数 使得 有唯一零点.a
6、()fx浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考数学参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C D B A A B B D二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 3，8912. 24， 60 13. 1， 5 14. 3， 215. 21 16. ,17. 28三、解答题18.（1）()=3sin1cosin()16fxx3分则2T， 5分令2,6kxkZ得,3所以 ()fx的单调递增区间为,63kkZ. 7分（2）0,2时5,69分1sin(),x12分所以 f最大值为3 14分19.
7、 解法一：（）连接 ,ACBD交于点 O,则由 ABCDO:,得13AC,由于13PQ,则有 /P，由 平 面 ，有 O平 面 .4分又 B平 面 ,所以平面 Q平面 AB .7分（） 过 D作平面 C的垂线，垂足为 H则 H即为所求的线面角 设 =h因为 QBCDQV 即1133BCSOSh:代入有422=7.9分解得17h， 11分又因为22=QDO,83.13分所以1sin415分解法二：（）以 A为原点，分别以射线 ABP为 x,z轴的正半轴，过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴建立空间直角坐标系 -y 由题意知各点坐标如下：(0,)A, B(20,), (3,0)C, (13,0)D
8、, (,2)P, 34(1,)Q 因此 D,24Q3分设平面 的一个法向量为 1n，平面 ABC的一个法向量为 2n则10nB:，取 1(,30)同理可取 2,) 5分所以 10:n所以平面 QBD平面 AC 7分（）设 与平面 P所成角为 .234(,)， (2,0)， (3,2)P. 9分设平面 B的一个法向量为 n，则0nPC:，取3(1,)12分所以21sico,4:DQn所以 QD与平面 PB所成角的正弦值为315分20. （）当 =1,ab时， 21nS122S. .21nnnT1(+)(.)n2分1 122(2n5分（）当 时， 1aSb，当 2n时，12nna，要使得 成等比数
9、列，则 0b， 7分此时1na，且需满足当 1n时， 21=ba，即 ， 9分此时： 21nS，1na.11分111=()2nnnna2312 2311 2+. .()()1() nnaSS2231=.nnn.15分21. （）2()645pMF，解得： 4 所以2:8Cyx5分（）由 (,)，设 12(,)(,)AyBx因为 F是 的垂心，所以 MFA，有 1MFABk，故 2ABk7分所以设 :xyn与 8C联立得21680令 0，有 由韦达定理 12， 12n 10分因为 F是 ABM的垂心，所以 AFB即 12+480xxy 同理 2112 得 ()y 13分所以 860n，解得 n又
10、因为 所以 :241ABxy 15分22. 解法一：（）令 ()1ln()fxgax则原问题转化为 0在 ,)恒成立 221()agxx， 2分当 0a时， 21() 在 (,)x恒成立，即 ()x在 1,上单调递增， )1=0g； 4分当 14a时，则21()0axg恒成立，则 ()1=0gx；当 0时，令 的两根为 12,x，此时 2a， ()a，当1(,)x时， ()x，则 ()=g.综上： a 7分（）由（），原问题等价于证明 0x有唯一零点.设存在 0,x，使得 0()g即2001ln()aax9分则 20，且有 2031lnx， .11分令 2()lFx则2233()xF则 在 1
11、,上单调递减，在 ,上单调递增，304，则存在 034x 13分此时 a存在，且 2(,)916 此时14，由（）可知，当 0(,x时, 0()max(1),gg;当 0(+)x， 时, 0()gx;故存在实数 a使得 f有唯一零点 . 15分解法二：（1） ()fx=ln2ax- 2分因为 0， f恒成立所以 ()f所以 4分又当 a时, ()fx所以 f递增，有 (1)=0f综上 0 7分（2）设 ()fx的零点为 0有 10lna2-9分则2000lnln()l(1)2xxfx令 1=-2lgl则 (e)0所以 x（ 在 ,上存在零点，设为 x 11分取 1lna-，则()(1)12lnlnxfx=+-所以()1lfxl2x-1n-13分设 ()fx的零点为 则 ()f在 1,上递增， 1(,)x上递减所以 存在两个零点 2x， 所以 f在 2,)， ,上递减，在 2,上递增所以 (x存在唯一零点 ，综上，存在 1lnxa-符合题意 15分
