1、2018 届河南省南阳市第一中学高三第十九次考试数学(文)试题第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 UR,集合 0Ax, 3Bxy,则 UCAB等于( )A 0,3 B 0,5 C D ,2.若复数 z满足 12izi,则复数 z的虚部为( )A 2 B 3 C 3 D 32i3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )A B C D 4.公元 263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的
2、面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n的值为( )(参考数据: sin150.28, sin7.5013)A 12 B 18 C.24 D 325.设实数 x, y满足条件0xy那么 xy的最大值为( )A 3 B 2 C.1 D 26.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为 5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是( )A 14 B 12 C. 7 D 167.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的
3、最大棱长为( )A 5 B 6 C. 7 D 28.函数 23ln4xf的图象可能是( )A B C. D9.已知函数 12xf,若 1fxf,则 x的取值范围是( )A 1, B , C. ,2 D 1,210.已知抛物线 2:8Cyx的焦点为 F,准线为 l, M是 l上一点, Q是直线 MF与 C的一个交点,若3FMQ,则( )A 8 B 52 C.3 D 211.已知底面半径为 1,高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O的球面上,则此球的表面积为( )A 327 B 4 C.163 D 1212.已知函数 2sinfxx, cos4gx的图象在区间 ,2m上有且只有9个交点,记为 ,1
4、,9iy ,则91iiiy( )A 2 B 8 C. 82 D 92第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.已知向量 1,2a, ,1bx,若 /ab,则 a14.已知 tn,则 cosin2 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数; 1,235,8 ,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列 na称为“斐波那契数列”.那么22213015015aa是斐波那契数列中的第 项16.在 ABC中,三个内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若 1osin2AB,且 23a
5、,6bc,则 的面积为 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 na的前 项和为 nS,且对任意正整数 n,都有 432naS成立.记 2lognnba.()求数列 和 b的通项公式;()设 143nnc,数列 nc的前 项和为 nT,求证: 134nT18. 如图已知棱锥 SABCD中,底面 AB是边长为 2的菱形, 60BAD, 5S,7SB,点 E是棱 的中点,点 F在 S棱上,且 FC, /S平面 EF.()求实数 的值;()求三棱锥 FEBC的体积.19. 传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国
6、诗词大会火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中制取了 10名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.()若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的 2列联表,并据此资料你是否有 95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?优秀 合格 合计大学组中学组合计注: 22nadbcKd,其中 nabcd.20Pk0.10 0.05 0.00502.706 3.841 7.879()若参赛选手共 6万人 ,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;()在优秀等级的选手中取 名,依次编号为 1, 2, 3, 4, 5,
7、 6,在良好等级的选手中取 6名,依次编号为 1, 2, 3, 4, 5, ,在选出的 6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为 a,在选出的6名良好等级的选手中任取一名,记其编号为 b,求使得方程组 32axby有唯一一组实数解 ,xy的概率.20. 如图,已知椭圆 2:10xyCab,其左右焦点为 1,0F及 21,,过点 1F的直线交椭圆 于 A, B两点,线段 A的中点为 G, AB的中垂线与 x轴和 y轴分别交于 D, E两点,且 1A、12F、 2构成等差数列.(1)求椭圆 C的方程;(2)记 1GFD的面积为 1S, OED( 为原点)的面积为 2S,试问:是否存在直线 AB,使
8、得1S?说明理由.21. 已知函数 2lnfxax, ( aR).(1)若 在 1处取到极值,求 的值;(2)若 0fx在 ,上恒成立,求 的取值范围;(3)求证:当 2n时, 1ln3ln .请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.以平面直角坐标系 xOy的原点为极点, x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线 l的参数方程为 21t( 是参数) ,圆 C的极坐标方程为 42sin.()求直线 l的普通方程与圆 C的直角坐标方程;()设曲线 与直线 l的交于 A, B两点,若 P点的直角坐标为 2,1,求 PAB的值.23.
9、已知函数 21fxx.(1)解不等式 3;(2)记函数 fx的最小值为 m,若 a, b, c均为正实数,且 12abcm,求 22abc的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DBACC 6-10: DBCAA 11、12:CD二、填空题13. 52 14.1 15.2016 16.23三、解答题17.()在 432naS中,令 n得 1a.因为对任意正整数 ,都有 432S成立, n时, 1432naS,两式作差得, 1nn,所以 14n,又 10a,所以数列 a是以为首项, 为公比的等比数列,即 14nn, 212loglnnnb() , 14411321322nncbnnn . 24521
10、nTL11312nn对任意 N, 4T.又 0nc,所以, n为关于 的增函数,所以 13nTc,综上, 1318.()连接 AC,设 BEG,则平面 SAC平面 EFBG, /SA平面 EFB,/SFG. E , 12, 123SC, 3.() 5AD, EAD, S,又 2ABD, 60BA, 3E, 2SE, S, 平面 C,所以 11432sin60339FBESBSABCDVV.19.解:()由条形图可知 2列联表如下优秀 合格 合计大学组 45 10 55中学组 30 15 45合计 75 25 1002210451033.0.8417K没有 9%的把握认为优秀与文化程度有关.()
11、由条形图知,所抽取的 1人中,优秀等级有 75人,故优秀率为 753104.所有参赛选手中优秀等级人数约为 364.万人.() a从 1, 2, 3, 4, 5, 中取, b从 1, 2, 3, 4, , 6中取,故共有 36种 ,要使方程组 xby有唯一组实数解,则 a,共 种情形.故概率 3162P.20.解析:(1)因为 1AF、 2、 2构成等差数列,所以 124a,所以 a,又因为 c,所以 3b,所以椭圆 C的方程为2143xy.(2)假设存在直线 AB,使得 12S,显然直线 AB不能与 x, y轴垂直.设 AB方程为 ykx,将其代入2143,整理得 22438410kxk,设
12、 1,Axy, 2,By,所以212,故点 G的横坐标为 1243xk,所以243,kG.因为 DAB,所以2143Dkx,解得24Dkx,即2,0k. 1RtGF和 tOE相似,若 12S,则 GOD,22 234343kkk整理得 2890,因此此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 12S.21.(1) 2fxax, 在 处取到极值, 0f即 1a, 11a时,令 21fxx f在 0,上减,在 ,上增,所以 f在 处取到极小值.(2) 21axf,令 21gxax, ( )1当 0时, 0f, f在 ,上单调递减,又 10f, 1x时, 0fx,不满足 0fx在 1,上恒成立.2当 a
13、时,二次函数 g开口向上,对称轴为 4x,过 0,1当 g即 1时, x在 ,上恒成立, f,从而 fx在 1,上单调递增,又 10f x时, 0f成立,满足 fx在 ,上恒成立.当 即 a时,存在 1x,使 0,时, 0gx, fx单调递减,0,x时, gx, f单调递增, 1ff,又 , 0f故不满足题意.3当 a时,二次函数 开口向下,对称轴为 4x, g在 ,单调递减,10g, 0gx, fx在 1,上单调递减,又 10f, 1x时, 0fx,故不满足题意.综上所述, a.(3)证明:由(1)知令 1,当 ,x时, 2ln0x(当且仅当 1x时取“=” )当 2x时, 2lnx.即当
14、,4, ,有 22211ln3l3n 1123 114nn.22. 解()直线 l的普通方程为: yx,42sin4sincos,所以 24sincos.所以曲线 C的直角坐标方程为20xy(或写成 228xy).()点 ,1P在直线 l上,且在圆 C内,由已知直线 l的标准参数方程是21xty代入240xy,得 7t,设两个实根为 1t, 2,则 12t, 170t,即 1t, 2异号.所以 12PABt.23.(1) 3,2121,.xfx 3fx等价于123x或 1x或 3.解得 1或 .原不等式的解集为 ,1,.(2)由(1) ,可知当 2x时, fx取最小值 32,即 m 3abc.由柯西不等式,有 2 22 211abcabc. 2237abc.当且仅当 ,即 1a, 27b, 4c时,等号成立. 22c的最小值为 .