1、张家口市 2017-2018 学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ， 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ， ， ， ，故选 A.2. 设复数满足 （是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ，故选 C.3. 将函数 的图像向左平移 个周期后，所得图像对应的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 函数 的周期为 函数 的向左平移 个周期后，所得图象
2、对应函数是 ，故选 B.4. 已知函数 的图像关于原点对称，且周期为 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 函数 的图象关于原点对称，且周期为 ， 为奇函数， ，故选 C.5. 体积为 的正方体 内有一个体积为 的球，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使球的体积 最大，则球为正方体的内切球， 正方体的体积为 ， 正方体的棱长为 ， 内切球的半径为 ，体积为 ，故选 D.6. 若抛物线 的焦点坐标 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 化为标准方程为 ，因为抛物线 的焦点坐标 ，所以 ，故选 C.7. 有一位同学开了一个
3、超市，通过研究发现，气温 与热饮销售量 （杯）的关系满足线性回归模型（是随机误差） ，其中 .如果某天的气温是 ，则热饮销售量预计不会低于（ ）A. 杯 B. 杯 C. 杯 D. 杯【答案】C【解析】 气温 与热饮销售量 （杯）的关系满足线性回归模型 （是随机误差） ，当 时，预计 ， ，热饮销售量预计不会低于 杯，故选 C.8. 张丘建算经卷上第 题为 “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 天织了 尺布，现在一月（按 天计算）共织 尺布，则该女子第 天织布（ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D.
4、 尺【答案】B【解析】由题意，该女子每天织的布的长度成等差数列，且 ，设公差为 ，由，可得 ， ，故选 B.9. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】执行程序框图， ，退出循环，输出 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按
5、照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，且满足，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， ，可得， ， ， 由得 ，的周长为 ，故选 C.11. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成的，正方形边长为 ，俯视图由边长为 的正方形及其一条对角线组成，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面是一个棱锥（相当于棱长为 的正方体的一角） ，
6、下面是一个棱长为 的正方体，其表面积为 ，故选 D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 定义域为 的可导函数 的导函数为 ，且满足 ，则下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，则 在 上递减， ，即，化为 ，故选 A.【方法点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属
7、于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 _【答案】【解析】 ， ， ，故答案为 .14. 已知变量 ， 满足约
8、束条件 ，目标函数 的最小值为 ，则实数 _【答案】【解析】画出 表示的可行域，如图，由 ，得 ，平移直线 ，由图知，当直线经过点 时， 有最小值为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 将正整数对作如下分组，第 组为 ，第 组为 ，第 组为 ，第组为 则第 组第 个数对为_【答案】【解析】根据
9、归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为 ，第二组每一对数字和为 ，第三组每对数字和为 ，第 组每一对数字和为 ， 第 组第一对数为 ，第二对数为，第 对数为 ，第 对数为 ，故答案为 .16. 已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，若 ， ，且 ，则 _【答案】 或三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 是数列 的前 项和，已知 ， .（）求数列 的通项公式；（）令 ，数列 的前 项和为 ，求 .【答案】() ；() .【解析】试题分析：() 由 ，得 ，两式相减，化简可得 ，根据等比数列的通项
10、公式可数列 的通项公式；（）由（）得 ，利用裂项相消法即可求得数列 的前 项和为 ，从而可得 .试题解析：（）当 时，由 ，得 ，两式相减，得 ， .当 时， ， ，则 .数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.；（）由（）得 .【方法点晴】本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某企业为了了解职工的工作状况，随机抽取了一
11、个车间对职工工作时间的情况进行暗访，工作时间在小时及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成 组画出频率分布直方图（如图所示） ，但由于工作疏忽，没有画出最后一组，只知道最后一组的频数是 .（）求这次暗访中工作时间不合格的人数；（）已知在工作时间超过 小时的人中有两名女职工，现要从工作时间在 小时以上的人中选出两名代表在职工代表大会上发言，求至少选出一位女职工作代表的概率.【答案】()14；() .【解析】试题分析：()根据各矩形面积和为 可得第 组的频率为，从而总人数为 ，进而可得工作时间不合格的人数为；（）工作时间超过 小时得共有 人，利用列举法列举出 人选出两人的情况共有 种，其中至少选
12、出一位女职工作代表的有 种，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（） 第 组的频率为 ，本车间总人数为 .工作时间不合格的人数为 ；（）由已知，工作时间超过 小时得共有 人，分别记为： ，其中 为男职工， 为女职工.从中任选 人有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种情况，其中至少有一名女职工得情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，所求概率为 .【方法点睛】本题主要考查直方图的应用及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件
13、个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 为等边三角形， ， 分别是 ，的中点， .（）求证：平面 平面 ；（）求点 到平面 的距离.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：()根据正三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；（）根据 平面 ，可得 ，结合 ，可得 平面 ，故 为三棱锥 的高，根据平面几何知识分
14、别算出 与 的面积，由 得， 可得点到平面 的距离.试题解析：（）由题意知，正 的边长为 ， 点 为 的中点，.， . 在正方形 中， 为 的中点，边长为 ，则 .在 中， ， .又 ， 平面 . 又 平面 ， 平面 平面 ；（）由题意得， ， 为等边三角形，则 ， .平面 ， .， 平面 .故 为三棱锥 的高.又 是 的中点， .在正方形 中， ，则在 中，满足 ， 为直角三角形，.设点 到平面 的距离为 ，由 得， ，解得 .20. 过椭圆 ： 的上顶点 作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点 ，（点 ， 与点 不重合）（）设椭圆的下顶点为 ，当直线 的斜率为 时，若 ，求 的值；（
15、）若存在点 ， ，使得 ，且直线 ， 斜率的绝对值都不为 ，求 的取值范围.【答案】() ；() .【解析】试题分析：() 直线 的方程为 ，联立 解得 .同理，根据 ，可得 ，将 ，代入得 ；（）由（1）利用韦达定理及弦长公式可得 ， ，由 ，得有不为 的正根.只要 解得 .试题解析：（）设 ， 记直线 的斜率为 ，则由条件可知，直线 的方程为 ，于是 消去 ，整理得 ， .同理 .由 ，得 ，于是 ，即 ，其中 ，代入得 ；（）容易得 ，.由 ，得 ，即 ，整理，得 .不妨设 ，且则 有不为 的正根.只要 解得 .的取值范围是 .21. 已知函数 . （）讨论 的单调性并求极值；（）若点
16、在函数 上，当 ，且 时，证明： （是自然对数的底数）【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：() 当 时， ， 在 上单调递增，无极值，当 时，令求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性可得函数的极值；（）由点 在函数 上，可得 ，利用导数研究函数 的单调性，从而可得 ，得 恒成立，取 ， ，化简可得结果.试题解析：（）由题，得 .当 时， ， 在 上单调递增，无极值；当 时，令 ，得 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.的极小值为 ，无极大值；（） ，代入点 ， .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.恒成立，
17、即 恒成立.，令 .，即 ，.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数） ；在以直角坐标系的原点 为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .（）求曲线 的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与曲线 相交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 的值.【答案】()曲线 的直角坐标方程为 ，直线的普通方程为 ；() . . . . .试题解析：（） ，.消去参数，可得 .曲线 的直角坐标方程为 ，直线的普通方程为 ；（）把 代入 ，得 .整理，得 .， .23. 已知函数 的最小值为 .（）求实数的值；（）若 ，且 ， ，求证： .【答案】() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()将函数 写成分段函数形式，判断分段函数的单调性，根据单调性可得 ，从而可得实数的值；（） ，根据绝对值不等式的性质可得 ，从而可得结果 .试题解析：（）在 上递减，在 上递减，在 上递增，.；（）证明：由（）得 ， .又 ，.
