1、河北定州中学 20172018 学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1. 已知函数 ，下列说法中错误的是（ ）A. 的最大值为 2B. 在 内所有零点之和为 0C. 的任何一个极大值都大于 1D. 在 内所有极值点之和小于 55【答案】D【解析】 项， ，又 的最大值为 ， 故 项正确； 项，即 是个偶函数， 零点关于 轴对称成对出现， 在的零点之和为 ，故 项正确； 项，因为 是偶函数， 的极值点关于 轴对称，并且 有唯一最大值点 时， 也是极大值点，此时极值 只要考虑 时的情况即可，当 时， ， ，记 的解从小到大排列为 ，且，当 时 ， ，当 时， 的极大值点为 ，极大值为 ， ，
2、令 ，则 ，设 ，令 ，得 ，当 时， 单调増， 当 时， 单调减，也就是说 的极大值都大于 ，故 项正确，故选 D.2. 已知球 与棱长为 4 的正方形 的所有棱都相切，点 是球 上一点，点 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为 ，如图，球心为正方体的中心，球心与 的外接圆上的点的距离为 ，其长为体对角线的一半，故 ，故，也就是 ，选 C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.3. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（
3、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记函数 在 上的最小值为 : 的定义域为 .令 ，得 或 . 时，对任意的 , ， 在 上单调递增， 的最小值为当 时，的最小值为 ;当 时，对任意的 , 在 上单调递减， 的最小值为 .由可知易知 在 上单调递减，且 ,故实数 的取值范围为 .故选 C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.4. 老师在四个不同的盒子里面放了 4 张不同的扑克牌，分别是红桃 ，梅花 ，方片 以及黑桃 ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第 1 个盒子
4、里面放的是梅花 ，第 3 个盒子里面放的是方片 ；小红说：第 2 个盒子里面饭的是梅花 ，第 3 个盒子里放的是黑桃 ；小张说：第 4 个盒子里面放的是黑桃 ，第 2 个盒子里面放的是方片 ；小李说：第 4 个盒子里面放的是红桃 ，第 3 个盒子里面放的是方片 ；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半 ”则可以推测，第 4 个盒子里装的是（ ）A. 红桃 或黑桃 B. 红桃 或梅花C. 黑桃 或方片 D. 黑桃 或梅花【答案】A【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：（1）当小明猜对第 1 个盒子里面放的是梅花 A 时，第 3 个盒子里面放的不是方片 A，则小李猜对第
5、 4 个盒子里面放的时红桃 A，小张猜对第 2 个盒子里面放的是方片 A，小红猜对第 3 个盒子里面放的是黑桃 A；（2）若小明猜对的是第 3 个盒子里面放的是方片 A，则第 1 个盒子里面放的不是梅花 A,小红猜对第 2 个盒子里面放的是梅花 A，小张猜对第 4 个盒子里面放的是黑桃 A，小李猜对第 3 个盒子里面放的是方片 A,则第一个盒子只能是红桃 A,故选 A.5. 已知函数 ，若在区间 上存在 ，使得 ，则的取值不可能为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】作出函数 的图象如图所示，故问题转化为 的图象的交点个数问题，观察可知，的取值为 1，2，3，故选 D.
6、6. 若对圆 上任意一点 ， 的取值与 无关，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】D【解析】设 z=|3x4y+a|+|3x4y9|=5（ ），故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点 P 到直线 m：3x4y+a=0 与直线 l：3x4y9=0 距离之和的 5 倍，取值与 x，y 无关，这个距离之和与 P 无关，如图所示：可知直线 m 平移时，P 点与直线 m，l 的距离之和均为 m，l 的距离，即此时与x，y 的值无关，当直线 m 与圆相切时， =1，化简得|a1|=5，解得 a=6 或 a=4（舍去） ，a6故选：D点睛：本题类比点到直线距离公式， 其几何意义
7、为动点到直线 m：3x4y+a=0 与直线 l：3x4y9=0 距离之和的 5 倍，从而把问题转化为直线与圆的位置关系问题.7. 已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作图如下：，直线 的方程为：椭圆 整理得：设直线 上的点则，令则由 得 ,整理得： ，又 ，又椭圆的离心率故椭圆的离心率的平方为故选8. 已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于 轴的两侧，而且 （ 为坐标原点） ，若 与 的面积分别为 和 ，则 最小值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】设直线
8、 的方程为 ，点 ，直线 与 轴交点为联立 ，可得 ，根据韦达定理得 。 ，即 位于 轴的两侧设点 在 轴的上方，则当且仅当 ，即 时取等号 的最小值是 6故选 B点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的
9、求法，确定参数的取值范围9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题： 当 时， ； 函数 的单调递减区间是 ； 对 ，都有 .其中正确的命题是A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于， 时， ，错误 ；对于， 时， ，令 ，得 ，即 在 上递减，由奇函数的性质可知， 在 上递减，故正确；对于，结合， 在 上递减， 在 上递增， 时， ； 时， ； 时， 任意 ， ，故正确，故选 B.10. 已知函数 ，设方程 的四个不等实根从小到大依次为 ，则下列判断中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 方程 的四个实根从小到大依次为 函数 与函数 的图象有
10、四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为 ，作函数与函数 的图象如下，由图可知， ，故 ， ， 易知，即 ，即 ，即 ，即 ，又 ，故 ，故选 C.【方法点睛】已知函数零点(方程根 )的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .1
11、1. 已知函数 ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 ，令 ，又 是增函数， 在 上递减，在 上递增，即 的最小值为 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.12. 已知函数 ，实数 满足 ， ，则 （ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】A【解析】设函数 图象的对称
12、中心为 ，则有 ，整理得 ，比较系数可得 所以函数 图象的对称中心为 又 ， ，且 ，点 关于 对称， 选 A点睛：本题难度较大，考查三次函数图象的对称性任意三次函数的图象通过平移后都可以得到一个奇函数的图象，故任意的三次函数的图象都是中心对称图形，并且有以下结论，即三次函数图象的对称中心为 ，并且对称中心在导函数图象的对称轴上二、填空题13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，且对于任意的，则实数的取值范围为_【答案】【解析】依题意，设等差数列 的公差为 ，因为 ，故 ，故 .又 ，故 ，故 ，故 ，故 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，显然 ，所以 ，又 ，当
13、且仅当 时，等号成立，所以 .所以 .答案为： .14. 若对于任意的正实数 都有 成立，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】原不等式等价于 .令 ，则 ，因 在上是单调减函数，且 ，故当 ， ， 在 内是单调增函数；当 ，当 ， ， 在 内是单调减函数， 所以 ，所以 ，解得 ，填点睛：不等式有较多的参数，变形化简后就是函数的最值问题，利用导数可以求出函数的单调性从而得到函数的最值，也就得到参数的取值范围15. 三棱锥 中，底面 是边长为 的等边三角形， 面 ， ,则三棱锥 外接球的表面积是_ .【答案】【解析】由题意可知三棱锥外接球，即为以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球 是边长为 的
14、正三角形 的外接圆半径 ，球心到 的外接圆圆心的距离为球的半径为外接球的表面积为故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.16. 已知实数 满足 ，且 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】 ，令 ，则 ，由图可知，当 时， ，当过 时， ，所以原式的取值范围是 。三、解答题17. 已知函数 ，其中 .（1）设 ，讨论 的单调性；（2）若函数 在 内存在零点，求
15、的范围.【答案】 （1）见解析；（2）的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）求出 ，对分三种情况讨论，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间，求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）设 ,，设 ，分三种情况讨论： , ，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象以及零点定理，可得的范围 .则 .试题解析：（1）定义域 故 则 若 ，则 在 上单调递减；若 ，则 .（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当 时， ，因而在 上有 ，在 上有 ；因此 在 上单调递减，在 单调递增.（2）设 ,，设 ，则 . 先证明一个命题：当 时， .令 ， ，故 在上是减函数，从而
16、当 时， ，故命题成立.（i）若 ,由 可知， . ，故 ，对任意 都成立，故 在 上无零点，因此 .（ii）当 ，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设 在 的第一个零点为 ，则当 时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此 ，令 时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.（iii）若 ，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此 ，即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在 上无解.综上可知，的取值范围是 .18. 已知椭圆 的离心率为 是它的一个顶点，过点 作圆 的切线为切点，且
17、 .（1）求椭圆 及圆 的方程；（2）过点 作互相垂直的两条直线 ，其中 与椭圆的另一交点为 ， 与圆交于 两点，求 面积的最大值.【答案】 （1） ，椭圆方程为 ;（2 ） 的面积最大值为 .【解析】试题分析：（1）依据基本量求出椭圆方程和圆的方程；（2）设出直线 方程为 ，利用韦达定理求出 的坐标以及弦长 （用 去表示） ，从而得到面积关于 的函数关系，求出其最大值即可.解析：（1）由 ，得 ，故所求椭圆方程为由已知有 , 圆 的方程为： .（2）设直线 方程为 ，由 得 ， ,又 .直线 的方程为 ，即 ，当且仅当 时取等号.因此 的面积最大值为 .点睛：椭圆中如果动直线过椭圆上一个定点
18、，那么我们可以用其斜率表示另一个交点的坐标，进而讨论与直线相关的问题.对于解析几何的最值问题，往往需要利用函数或基本不等式求其最值.19. 已知 （1）若关于 的方程 在 上恒成立，求 的值；（2）证明：当 时， 【答案】 （1） ;（2）见解析【解析】试题分析：（1）令 ，讨论 的取值，只需 即可；（2）由（1）知 时， ，即 恒成立，令 ，即，一次赋值 ，再累加得，再取对数即可.试题解析：（1）令 ，若 ，与已知矛盾，若 ，则 ，显然不满足在 上 恒成立，若 ，对 求导可得 ，由 解得 ，由 解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 要使 恒成立，则须使 成立，即 恒成立，两边取对数
19、得， ，整理得 ，即须此式成立，令 ，则 ，显然当 时， ，当 时， ，于是函数的 上单调递减，在 单调递增， ，即当且仅当 时， 恒成立， 满足条件，综上所述， （2）由（1）知 时， ，即 恒成立，令 ，即 ，即 ，同理， ，将上式左右相加得： ，即 ，即 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）.20. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 若椭圆上一点 满足 ，且椭圆过点 ，过点 的直线与椭圆 交于两点 （
20、1）求椭圆 的方程；（2）若点 是点 在 轴上的垂足，延长 交椭圆 于 ，求证： 三点共线【答案】 （1） ;（2）见解析【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再通过点在椭圆上求得 ，进而得椭圆方程；（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，直线与椭圆联立得，由题可得直线 方程为 ，由化简直线 方程为 ，令 ，可得直线 过点 ，进而得证.试题解析：（1）依题意， ，故 ，将 代入 中，解得 ，故椭圆 ；（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，联立 得 ，即 ，由题可得直线 方程为 ，又 ，直线 方程为 ，令 ，整理得，即直线 过点 ，又椭圆 的右焦点坐标为 ， 三点 在同
21、一条直线上21. 设函数 .（1）当 时，证明： ， ；（2）若 ， 都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由 知 ，当 时， （当且仅当时取等号） ，故 在 上是增函数，又 ， ， 即得证；（2）分情况讨论当 时， ，符合条件；当 时，设 与 在点 处有公切线，则 解得 ，故 ；当 时，同理可得 综上可得实数的取值范围.试题解析：（1）证明：由 知 ，当 时， （当且仅当 时取等号） ，故 在 上是增函数，又 ，故 ， ，即：当 时， ， （2）解：当 时， ，符合条件；当 时，设 与 在点 处有公切线 ，则 ，故 ；当 时，设 与 在点 处有公切
22、线 ，同法可得 ；综上所述，实数 a 的取值范围是 点睛：本题利用分类讨论解决不等式恒成立，关键是从函数图象入手分析，对于两条曲线的位置关系，在交点处有公切线是临界状态，注意计算的准确性.22. 已知函数（1）求曲线 在点 处的切线方程; （2）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.【答案】 （1）y=1;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出 的值可得切点坐标，求得 ,求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程；（ 2）依题意得，可得 ， ，则，函数 在 R 上单调递增，分四种情况讨论： 时， 时， 时， 时，分别利用导数研究函数的单调性，令 求得 的
23、范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性可得函数的极值.试题解析：（1） 则切线方程为 （2）依题意得 令 ，则函数 在 R 上单调递增 时， ； 时， 当 时， ，则 时， ，函数 在（ 0，+）单调递增； 时， ，函数在（ ， 0）单调递减 时，函数 取得极小值， ，无极大值 当 时，令 ，则 ， 时， 时， ， ，函数 单调递增；时， ， ，函数 单调递减；时， ， ，函数 单调递增当 时，函数 取得极小值， 当 时，函数 取得极大值， 时， ， 时， 函数 在 上单调递增，无极值 时， ， 时， ， ，函数 单调递增；时， ， ，函数 单调递减；时， ， ，函数 单调递增当 时，函数 取得极大值， ，当 时，函数 取得极小值, 综上所述：当 时，函数 在（0，+）单调递增，在（ ，0）单调递减， 极小值为12 a，无极大值；当 时，函数 在 ， （0，+）上单调递增，在 上单调递减， 极小值为，极大值为当 时，函数 在 上单调递增，无极值当 时，函数 在（ ，0） ， 上单调递增，在 上单调递减， 极大值为极小值为
