1、河北定州中学 2017-2018 学年第一学期高四数学期末考试试题一、单选题1. F1，F2 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B 两点若ABF 2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，由余弦定理得 选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2. 如图，AOB 为等腰直角三角形，OA 1， OC 为斜边 AB 上的高，点 P 在射线 OC
2、 上，则 的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 AOB 为等腰直角三角形， OA1，所以| | |1， 0，又因为 OC 为斜边AB 上的高， C 是 AB 的中点，所以 . 设 ，则 ( 1) ， 所以 ( 1) ( ) ( 1)| |2( )2| |2 ( 1)( )2 ( )2 ， 所以 的最小值为 .故选：D点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.3. 设函数 f(x)e x(2x1) a
3、xa，其中 af(sinx 1m)恒成立，则实数 m 的取值范围为_【答案】. . . . .即答案为16. 若对于任意的正实数 都有 成立，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】原不等式等价于 .令 ，则 ，因 在上是单调减函数，且 ，故当 ， ， 在 内是单调增函数；当 ，当 ， ， 在 内是单调减函数，所以 ，所以 ，解得 ，填点睛：不等式有较多的参数，变形化简后就是函数的最值问题，利用导数可以求出函数的单调性从而得到函数的最值，也就得到参数的取值范围三、解答题17. 设 （l）若 a0，f（x）0 对一切 xR 恒成立，求 a 的最大值；（2）是否存在正整数 a，使得 1n+3n+（2
4、n1）n （an）n 对一切正整数 n 都成立？若存在，求 a 的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 存在正整数 .【解析】试题分析：（1）由 ，知 ，故 ，再由 对一切恒成立，能求出最大值；（2）设 ，则 ，从而得到 ，取 ，用累加法得到 ，由此能够推导出存在正整数 ，使得结论成立.试题解析：（1） ， ， ， 的解为 ， 对一切 恒成立， ， ， （2）设 ，则 ，令 得： ，在 时 ， 递减；在 时 ，递增， 最小值为 ，故 ，取 ， 得 ，即 ，累加得 ，故存在正整数 ，使得18. 设直线的方程为 ，该直线交抛物线 于 两个不同的点.（1）若点 为线段 的中点，求直线
5、的方程；（2）证明：以线段 为直径的圆 恒过点 .【答案】(1)直线的方程为 ;(2) 以线段 为直径的圆横过点 .【解析】试题分析：（1）联立直线方程和抛物线方程，消去 得到 ，从而中点坐标可以用 表示，从而求出 并得到直线的方程.（2）设 ，则，利用韦达定理可以得到 ，从而以线段 为直径的圆恒过点 .解析：（1）联立方程组 ，消去 得 .设 ，则.因为 为线段 的中点，所以 ，解得 ，所以直线的方程为 .（2）证明：因为设 ，则 ，所以 ，即，所以 ，因此 ，即以线段 为直径的圆恒过点 .19. 已知函数 .（1）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；（2）设函数 ，若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用导数可得 的增区间为 ，从而 ，所以 .（2）存在，使得 等价于存在 ，使得 ，故考虑 的最小值即可.解析：（1）由 ，得 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所
