1、河北定州中学 20172018 学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1. 已知函数 ，对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 y=ea，则 a=lny，令 y=ln ，可得 b= ，则 b-a= - lny， ，显然， （b-a）是增函数，观察可得当 y= ，时， （b-a）=0 ，故（b-a）有唯一零点故当 y= 时，b-a 取得最小值为2+ln2;故选 D.2. 若正项递增等比数列 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设等比数列的公比为 q（q1）， 1+（a2-a4）+（a3-a5）=0，可得 =
2、 则 a8+a9=a8+令 ，（t0），q 2=t+1，则设 f（t）=当 t 时，f（t）递增；当 0t 时，f（t）递减可得 t= 处，此时 q= ，f（t）取得最小值，且为 ，则 a8+a9 的最小值为 ；故选 C.3. 函数 ，若关于 的方程 有五个不同的零点，则的取值范围（ ）A. （1，2） B. C. D. 【答案】D【解析】作出 f(x)的图象如图所示设 ，则原方程化为 ，由图象可知，若关于 x 的方程 有五个不同的实数解，只有当直线 与函数的图象有 3 个不同的公共点时才满足条件所以 又方程 有两个不等实根，所以 ，解得 ，综上得 且 故实数的取值范围为 选 D点睛：对于已知
3、函数的零点个数（或方程根的个数）求参数取值范围的问题，常借助于函数的图象求解，解题时根据条件构造出两个函数，并在同一坐标系内作出它们的图象，根据两个图象公共点的情况，确定出所求参数的范围或取值，这种解法体现了数形结合在数学解题中的应用4. 已知函数 ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 ，令 ，又 是增函数， 在 上递减，在 上递增，即 的最小值为 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利
4、用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.5. 设是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+2）=f（2x）时，当 x2，0时， ，若（2，6）在区间内关于 x 的方程 xf（x）loga（x+2）=0（a0 且 a1）有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的范围是（ ）A. B. （1，4） C. （1，8） D. （8，+）【答案】D【解析】对于任意的 ，都有 ， ，函数是一个周期函数，且 ，又当 时， ，且函数 是定义在 R 上的偶函数，若在区间 内关于 的方程 恰有 4 个不同的实数解，则函数 与在区间 上有四个不同的交点，
5、如下图所示：又 ，则对于函数 ，由题意可得，当 时的函数值小于 1，即 ，由此解得： ，的范围是 ，故选 D.点睛：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根 的问题转化为函数 和 交点个数问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题.6. 设双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e，过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若F 1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设|AF 1|=|AB|=m，则|BF 1|
6、= m，|AF2|=m-2a，|BF2|= m-2a，|AB|=|AF2|+|BF2|=m，m-2a+ m-2a=m，4a= m, |AF2|=（1- ）m，AF1F2 为 Rt 三角形，|F 1F2|2=|AF1|2+|AF2|24c2=（ ）m2，4a= m4c2=（ ）8a2，e2=5-2 ,故选 B.7. 已知函数 若 a、b、c 互不相等，且 f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是（ ）A. (1，2 017) B. (1，2 018)C. 2，2 018 D. (2，2 018)【答案】D【解析】作出函数的图象，直线 y=m 交函数图象于如图，不妨设 abc
7、，由正弦曲线的对称性，可得（a ，m）与（b，m ）关于直线 x= 对称，因此 a+b=1，当直线y=m=1 时，由 log2017x=1，解得 x=2017，即 x=2017，若满足 f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c 互不相等） ，由abc 可得 1c 2017，因此可得 2a+b+c2018，即 a+b+c（2，2018）故选 D8. 6 个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选 D9. 设函
8、数 在 上存在导函数 ，对于任意实数 ，都有 ，当 时， 若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,设 ，则 为奇函数，又在 上是减函数，从而在 上是减函数，又，等价于 ，即，解得 ，故选 C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两
9、方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.10. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A点睛：用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略（1）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域（2）有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式如若已知 f(a)0，f(xb)0，则 f(xb)f(a)11. F1，F2 分别是双曲线 的左、右焦点，过 F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B 两点若ABF 2 是等
10、边三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，由余弦定理得 选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x) ,则关于 x 的函数 g(x)f(x)a(0a2)的所有零点之和为()A. 10 B. 12 a C. 0 D. 212 a【答案】B【解析】由题意，当 x0 时，f(x) 作出图象有：则函数 g（x）共有 5 个零点 x1x
11、 2x 3x 4x 5，x1+x2=-10，x4+x5=10，x-3，0）时，f（x）=-log 2（1-x） ，令-log2（1-x）+a=0，则 x3=1-2a，关于 x 的函数 g（x）=f（x）+a（0a2）的所有零点之和为 1-2a，故选 B点睛：本题关键是先根据解析式作出函数 f(x)的图象，函数 g（x）的零点转化为函数 f(x)与 的交点，由对称性可得交点之和.二、填空题13. 设 ，若对于任意的正数 ，都有 ，则满足 ，则的取值范围是_【答案】【解析】由 可得： ，故，当且仅当 ，即 时等号成立，所以只需 ，即 . 点睛：解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子
12、，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到条件为 ，且含有 所以把条件构造为 ，从而解决问题.14. 已知函数 若 ，则 的值域是_；若 的值域是 ，则实数的取值范围是_【答案】 (1). . (2). .【解析】c=0 时，f（x）=x 2+x=（x+ , f（x）在-2 ，- 递减，在（- ,0）递增，可得 f（-2）取得最大值，且为 2，最小值为 , 当 0x3 时，f （x）= 递减，可得 f（3）= , 则 f（x） ,+,综上可得 f（x）的值域为 . 函数 y=x2+x 在区间-2，- 上是减函数，在区间（- , ，1上是增函数， 当 x-2，0）时，函数 f
13、（x）最小值为 f（- ）=- , 最大值是 f（-2）=2；由题意可得 c0，当 cx3 时，f（x）= 是减函数且值域为 , 当 f（x）的值域是, 可得 ,故答案为(1). . (2). .15. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，且对于任意的，则实数的取值范围为_【答案】 .【解析】依题意，设等差数列 的公差为 ，因为 ，故 ，故 .又 ，故 ，故 ，故 ，故 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，显然 ，所以 ，又 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .所以 .答案为： .点睛：数值最值的求解方法如下：1邻项比较法，求数列 的最大值，可通过解不等式组 求得 的取
14、值范围；求数列 的最小值，可通过解不等式组 求得 的取值范围；2数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式 对应函数 的特点，借助函数 的图像即可求解；3单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过 差值的正负确定数列的单调性16. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为， ，若 ，则_【答案】 .【解析】 则由正弦定理得 ，整理得 ， .故答案为 .点睛：本题主要是熟练应用正弦定理进行边角转化，利用二倍角公式，切化弦公式进行化简即可得解.三、解答题17. 已知函数 .（1） 时，求 在 上的单调区间
15、；（2） 且 ， 均恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 的单调增区间是 ，单调减区间是 ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出 ，令 在 内求得 的范围，可得函数 增区间，令 在内求得 的范围，可得函数 的减区间；（2） 时， ,即； 时， ,即 , 设,分两种情况研究函数的单调性，并求出 的最值，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1） 时， ，设 ，当 时， ，则 在 上是单调递减函数，即则 在 上是单调递减函数， 时， ； 时，在 上 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；（2） 时， ,即 ；时， ,即 ；设则 时， ， ， 在 上单调递增 时， ； 时， ， 符合题意;时， ，
16、时， ， 在 上单调递减，当 时， ，与 时， 矛盾；舍时，设 为 和 0 中的最大值，当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ，与 时， 矛盾；舍综上，18. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 若椭圆上一点 满足 ，且椭圆过点 ，过点 的直线与椭圆 交于两点 （1）求椭圆 的方程；（2）若点 是点 在 轴上的垂足，延长 交椭圆 于 ，求证： 三点共线【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再通过点在椭圆上求得 ，进而得椭圆方程；（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，直线与椭圆联立得，由题可得直线 方程为 ，由化简直线 方程为 ，令 ，可得直线 过
17、点 ，进而得证 .试题解析：（1）依题意， ，故 ，将 代入 中，解得 ，故椭圆 ；（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为 ，点 ，联立 得 ，即 ，由题可得直线 方程为 ，又 ，直线 方程为 ，令 ，整理得，即直线 过点 ，又椭圆 的右焦点坐标为 ， 三点 在同一条直线上19. 设函数 .（1）当 时，证明： ， ；（2）若 ， 都成立，求实数的取值范围 .【答案】(1)见解析;(2) .学#科#网.学#科#网.学#科#网.学#科#网.学#科#网.学#科#网.则 解得 ，故 ；当 时，同理可得 综上可得实数的取值范围.试题解析：（1）证明：由 知 ，当 时， （当且仅当 时取等号） ，故
18、在 上是增函数，又 ，故 ， ，即：当 时， ， （2）解：当 时， ，符合条件；当 时，设 与 在点 处有公切线 ，则 ，故 ；当 时，设 与 在点 处有公切线 ，同法可得 ；综上所述，实数 a 的取值范围是 点睛：本题利用分类讨论解决不等式恒成立，关键是从函数图象入手分析，对于两条曲线的位置关系，在交点处有公切线是临界状态，注意计算的准确性.20. 数列 ： 满足： ， ， 或 对任意 ，都存在，使得 ，其中 且两两不相等（）若 ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ； ； （）记 若 ，证明： ；（）若 ，求 的最小值【答案】 （1）；（2）见解析；（3） 的最小值为 .【
19、解析】试题分析：（）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件 （）当 时， 都在数列中出现，可以证明 至少出现 4 次，2 至少出现 2 次，这样 （）设 出现频数依次为同（）的证明，可得： ， ， ， ， ， ，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而 的最小值为解析：（）对于， ，对于 ， 或 ，不满足要求；对于，若 ，则 ，且 彼此相异，若 ，则 ，且彼此相异，若 ，则 ，且 彼此相异，故符合题目条件；同理也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为注：只得到 或只得到 给 1 分，有错解不给分（）当 时，设数列 中 出现频数依次为 ，由题意 假设 ，则有 （对任意 ） ，与已知
20、矛盾，所以 同理可证： 假设 ，则存在唯一的 ，使得 那么，对 ，有 （ 两两不相等） ，与已知矛盾，所以 . 综上： ， ， ，所以 （）设 出现频数依次为 同（）的证明，可得： ， ， ， ， ，则 取 得到的数列为：下面证明 满足题目要求对 ，不妨令 ， 如果 或 ，由于 ，所以符合条件； 如果 或 ，由于 ，所以也成立； 如果 ，则可选取 ；同样的，如果 ，则可选取 ，使得 ，且 两两不相等； 如果 ，则可选取 ，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立综上，对任意 ，总存在 ，使得 ，其中 且两两不相等因此满足题目要求，所以 的最小值为 点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值
