1、2018 届江苏省苏州市高三调研测试（理）数学试题（解析版） 20181注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题） 、解答题（第 15 题 第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5.
2、请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔参考公式：球的表面积公式 S=4r2，其中 r 为球的半径一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1. 已知 i 为虚数单位，复数 的模为_【答案】【解析】 ，故答案为 .2. 已知集合 ， ，且 ，则正整数 _【答案】2【解析】 ， ，且 ， ，故答案为 .3. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点坐标为_【答案】【解析】 抛物线方程为 ， 抛物线方程为 的焦点坐标为 ，故答案为 .4. 苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中
3、，列车在车站停留 0.5 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为_【答案】【解析】 每 分钟一班列车，其中列车在车站停留 分钟， 根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ，故答案为 .5. 已知 ， ，则正实数 _【答案】【解析】 ，则 ，得 ，故答案为 .6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法右边的流程图是秦九韶算法的一个实例若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为_【答案】48【解析】输入 ，第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环，结束循环，输出
4、 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知变量 x，y 满足 则 的最大值为 _【答案】-9【解析】画出 表示的可行域， 如图，平移直线 ，当直线经过点 时，直线截距最小，最大，最大值为 ，故答案为 .
5、【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 的值为_【答案】【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，即 ，得 ，解得 ，故答案为 .9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的
6、正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_ （容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ）【答案】【解析】该球形容器最小时，正四棱柱与球内接，此时球直径 等于正四棱柱的对角线，即，球形容器的表面积为 ，故答案为 .10. 如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9m 和 15m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角，则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 _m【答案】18【解析】试题分析：过 作 于 ,设 ,显然此时 ,记 ;将放入 中利用 建立关于 的关系;将 放入 中,利用
7、建立关于 的关系最后根据 的关系,解出其中的 如图，过 作 于 ， 设 ,记 ,则 ，在 中， , ,在 中， , , ,解得： 或 （舍去） 所以建筑物 和 底部之间的距离 为 考点：直角三角形中,正切表示边;正切和角公式11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 的圆 和直线 相切，且圆心在直线 上，则圆 C 的标准方程为_【答案】【解析】 圆心在 上， 可设圆心坐标为 ，又 圆过 ，圆 和直线 相切，解得 圆半径 ，圆心坐标 圆方程为，故答案为 .12. 已知正实数 a，b，c 满足 ， ，则的取值范围是_【答案】【解析】由 ，可得 ，由 ，得 ， 或， ， ， ，故答案为 .13.
8、 如图，ABC 为等腰三角形， ， ，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交 AB，AC与点 E，F，点 P 是劣弧 上的一点，则 的取值范围是_【答案】【解析】以 为原点，以 的垂线平行线为 轴，建立直角坐标系，由 ， ，可得， 可设 ， ， ,故答案为 .【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: 配方法（适合二次函数） ； 换元法（代数换元与三角换元） ； 不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等” ）； 三角函数法（注意恒等变形） ； 图像法（根据图象的最高和最低点
9、求解）； 函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法 解答的. 14. 已知直线 y a 分别与直线 ，曲线 交于点 A， B，则线段 AB 长度的最小值为_【答案】【解析】 ，设与 平行的 的切线的点为 ，则切线斜率为 ，切线方程为 ， 则 与， 被直线与切线截得的线段长，就是 被直线 和曲线 截得线段 的最小值，因为取任何值时， 被两平行线截得的线段长相等，所以令 ，可得，线段 的最小值 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及最值问题以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要
10、的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将 被直线 和曲线 截得线段 的最小值转化为， 被直线 和曲线 截得线段 的最小值，是解题的关键.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知函数 （1）求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量 x 的取值集合；（2）若 ，求函数 的单调增区间【答案】
11、 （1） 取得最小值 0， （2）单调增区间是 和 【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质可得当 ，即 时， 取得最小值 ；（2）令 ， 解得 ，结合 ，分别令， 可得函数在 的单调增区间是 和 .试题解析：（1） 当 ，即 时， 取得最小值 0此时， 取得最小值时自变量 x 的取值集合为 （2）因为 ，令 ， 解得 ，又 ，令 ， ，令 ， ，所以函数在 的单调增区间是 和 【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函数的图像与性质，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若 ,
12、把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16. 如图，在正方体 中， 已知 E，F，G，H 分别是 A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点（1）求证：EF平面 ABHG；（2）求证：平面 ABHG平面 CFED【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由 是 的中点，可得 ，从而可得 ，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据线面垂直的性质可得 ，根据相似三角形的性质可得 ，从而根据线面垂直的判定定理可得 平面
13、 ，进而根据面面垂直的判定定理可得结论.试题解析：（1）因为 E，F 是 A1D1，B1C1 的中点，所以 ，在正方体 中，A1B1AB，所以 又 平面 ABHG，AB 平面 ABHG，所以 EF平面 ABHG， （2）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CD 平面 BB1C1C，又 平面 ，所以 设，BCH ，所以 ，因为 HBC+PHC=90，所以 +PHC=90所以 ，即 由 ，又 ，DC，CF平面 CFED，所以 平面 CFED又 平面 ABHG，所以平面 ABHG平面 CFED【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题 . 证明线面平行的常用方法：
14、利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.17. 如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50 处从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 角（ ，其中锐角 的正切值为 ）航行到海岸公路 P 处登陆，再换乘汽车到城市 C已知船速为 25km/h，车速为 75
15、km/h. （1）试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由【答案】 （1） ，定义域为 （2）17.68 【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得 ， ，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得 ， ，所以 ，则由 经 到 所用时间与的函数关系为 ，可得函数 的定义域为 ，其中锐角 的正切值为 ；（2）利用导数研究函数 的单调性，可得 在 上递减，在 上递增， （ ） ，所以可得 时函数 取得最小值，此时 17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为 ，所以 ， ，则 ， 由 A 到 P 所用的时间为，由
16、 P 到 C 所用的时间为 ，所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 函数 的定义域为 ，其中锐角 的正切值为 . （2）由（1）， ， ， ，令 ，解得 ，设 0 ，使00减函数 极小值 增函数所以，当 时函数 f()取得最小值，此时 BP= 17.68 ，答：在 BC 上选择距离 B 为 17.68 处为登陆点，所用时间最少18. 在平面直角坐标系 xOy 中 ，椭圆 的离心率为 ，椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由【答案】 （1
17、） （2）存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为 【解析】试题分析：（1）根据椭圆 的离心率为 ，椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ，结合 ，列出关于、 、的方程组，求出、 、即可得结果；（2）设过点的直线的方程为 与椭圆 交于 ,则 整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将 表示为 的函数，消去 可得，从而可得 ，存在以 为直径的圆恒过定点 ，且定点 的坐标为 .试题解析：（1）由题意 ，故 ， 又椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ，所以，解得 ， ，所以 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 . （2）当直线 l 的斜率为 0 时，令 ，则 ，此时以 AB 为
18、直径的圆的方程为 当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 ， 联立 解得 ，即两圆过点 猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 对一般情况证明如下：设过点 的直线 l 的方程为 与椭圆 C 交于 ,则 整理得 ，所以 因为，所以 所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法： 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先
19、探求定点，再证明与变量无关.19. 已知各项是正数的数列 的前 n 项和为 （1）若 （nN*，n2），且 求数列 的通项公式；若 对任意 恒成立，求实数的取值范围；（2）数列 是公比为 q（q0， q1）的等比数列，且a n的前 n 项积为 若存在正整数 k，对任意nN*，使得 为定值，求首项 的值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）当 时，由 可得 两式相减得 ，即 ， ，数列 为等差数列，可得 ，由知， ，所以 ，可得 对一切 恒成立，记， ，判断数列 的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设 （） ， ，两边取常用对数， 令，则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
20、若 为定值，令 ，化为. 对 恒成立，问题等价于 ，从而可得结果.试题解析：（1）当 时，由 则 两式相减得 ，即 ， 当 时， ，即 ，解得 或 （舍） ，所以 ，即数列 为等差数列，且首项 ，所以数列 的通项公式为 . 由知， ，所以 ，由题意可得 对一切 恒成立，记 ，则 ， ，所以 ， ， 当 时， ，当 时， ，且 ， ， ，所以当 时， 取得最大值 ，所以实数的取值范围为 . （2）由题意，设 （ ）， ，两边取常用对数， 令 ，则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 若 为定值，令，则 ，即 对 恒成立，因为 ，问题等价于 将 代入 ，解得 .因为 ，所以 ，所以 ，又 故
21、.20. 已知函数（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若方程 在区间(0,+)上有实数解， 求实数 a 的取值范围；（3）若存在实数 ，且 ，使得 ，求证： 【答案】 （1）函数 的单调减区间为 和 ，单调增区间为 （2） （3）见解析【解析】试题分析：（1） 时， ,分段求出导函数，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）设 ，则 ，所以在区间 上有解，等价于 在区间 上有解，设，对利用导数研究函数 的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的的取值范围即可；（3）先排除 的情况，到 ，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值
22、，问题转化为 解得 ，所以 .试题解析：（1）当 时，当 时， ，则 ，令 ，解得 或 （舍） ，所以 时， ， 所以函数 在区间 上为减函数. 当 时 ， ， ，令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，且 . 综上，函数 的单调减区间为 和 ，单调增区间为 （2）设 ，则 ，所以 ，由题意， 在区间 上有解，等价于 在区间 上有解. 记 ，则 ， 令 ，因为 ，所以 ，故解得 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 ，故函数 在 处取得最小值 . 要使方程 在区间 上有解，当且仅当 ，综上，满足题意的实数 a
23、 的取值范围为 . （3）由题意， ，当 时， ，此时函数 在 上单调递增，由 ，可得 ，与条件 矛盾，所以 . 令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.若存在 ， ，则 介于 m，n 之间， 不妨设 ，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，所以当 时， ，由 ， ，可得 ，故 ，又 在 上单调递减，且 ，所以 所以 ，同理 即 解得 ，所以 . 三 【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 选修 4-1：几何证明选讲如图， ， 与圆 O 分别切于
24、点 B，C，点 P 为圆 O 上异于点 B，C 的任意一点， 于点 D，于点 E， 于点 F. 求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：连 根据同弧上的圆周角与弦切角相等，可得 . 再由， ，可得 ，从而得 . 同理， ，又 ， ，因此 ，故 ， 从而可得 ，即.试题解析：连 PB，PC，因为 分别为同弧 BP 上的圆周角和弦切角，所以 . 因为 ， ，所以PDB PFC，故 . 同理， ，又 ， ，所以 PFBPEC，故 . 所以 ，即 . 22. 选修 4-2：矩阵与变换已知 ， ，求 【答案】【解析】试题分析：矩阵 的特征多项式为 ， 令 ，解得，解得属于 1 的一个特征向量为 ，属于
25、 2 的一个特征向量为 令，即 ，所以 解得 ，从而可得结果.试题解析：矩阵 的特征多项式为 ， 令 ，解得 ，解得属于 1 的一个特征向量为 ，属于 2 的一个特征向量为 令 ，即 ，所以 解得 所以23. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积【答案】12【解析】试题分析：（1）先根据极坐标与直角坐标的互化公式得到 的直角坐标方程，利用代入法将直线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线距
26、离公式求得三角形的高，将直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何意义可求得 ，从而根据三角形面积公式可得结果.试题解析：由曲线 C 的极坐标方程是 ，得 2sin2=2cos所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2=2x 由直线 l 的参数方程 (t 为参数)，得 ，所以直线 l 的普通方程为 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y2=2x，得 ，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，所以 ， 因为原点到直线 的距离 ，所以AOB 的面积是 24. 选修 4-5：不等式选讲已知 a，b，cR ， ，若 对一切实数 a，b，c 恒成立，求实数 x
27、 的取值范围【答案】【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可得 ，对一切实数 a， b， c 恒成立，等价于 ，对 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：因为 a，b，cR ， ，由柯西不等式得 ， 因为 对一切实数 a，b，c 恒成立，所以 当 时， ，即 ；当 时， 不成立；当 时， ，即 ；综上，实数 x 的取值范围为 【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25. 如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB，且AB BP 2，A
28、D=AE=1，AEAB，且 AEBP（1）求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点 N的位置；若不存在，请说明理由【答案】 （1） （2）当点 N 与点 D 重合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角 的正弦值等于 。【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得 平面 ，所以直线 ，两两垂直，以 为原点，分别以 为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系, 为平面的一个法向量，利用向量垂直的性质列方程组求出平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）设 ， 由
29、（1）知，平面的一个法向量为 ，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可 .试题解析：（1）因为平面 ABCD平面 ABEP，平面 ABCD平面 ABEP AB，BPAB，所以 BP平面 ABCD，又 ABBC，所以直线 BA，BP，BC 两两垂直， 以 B 为原点，分别以 BA，BP ，BC 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 P（0，2，0） ，B（0，0，0） ，D（ 2，0，1） ，E（2，1，0） ，C（0，0， 1） ，因为 BC平面 ABPE，所以 为平面 ABPE 的一个法向量，设平面 PCD 的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 ，故 ，设平面 PCD 与
30、平面 ABPE 所成的二面角为，则 ，显然 ，所以平面 PCD 与平面 ABPE 所成二面角的余弦值 （2）设线段 PD 上存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 的正弦值等于 设 ， 由（1）知，平面 PCD 的一个法向量为 ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去） 当点 N 与点 D 重合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 26. 在正整数集上定义函数 ，满足 ，且 （1）求证： ；（2）是否存在实数 a，b，使 ，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由 ，整理得 ，根 ，根据递推关系先求出 ， ，进而可得结果；（2）由 ， ，可得 ，再利用数学归纳法证明即可.试题解析：（1）因为 ，整理得 ，由 ，代入得 ， ，所以 （2）由 ， ，可得 以下用数学归纳法证明存在实数， ，使 成立 当 时，显然成立 当 时，假设存在 ，使得 成立，那么，当 时，即当 时，存在 ，使得 成立由，可知，存在实数， ，使 对任意正整数 n 恒成立
