1、苏州市 2017 届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1、已知集合 ， ，则集合 1xA3xBBA2、已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为 iz2iz3、在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为 xOy1632yx4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为 的样本，其中高一年级抽4520人，高三年级抽 人，已知该校高二年级共有学生 人，则该校学生总数为 1005、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为 ，目标未受损的概率为 ，则目标受损2. 40.但未完全击毁的概率为 6、阅读下面的流程图，如果输出的函数 的值在区间 内
2、，那么输入的实数 的)(xf,214x取值范围是 7、已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值是 yx,431xyxz8、设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 的值是 nSna72Sa,a9、在平面直角坐标系 中，已知过点 的直线 与xOy)(1Ml圆 相切，且与直线 垂直，则实数 5212)()(x 0yx10、一个长方体的三条棱长分别为 ，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面983,积没有变化，则圆孔的半径为 11、已知正数 满足 ，则 的最小值为 yx,1124yx12、若 ，则 832tant )t(813、已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个不同的0542xexf,)( x05ax
3、f)(开始输入 2,x()2fx()xf结束Y输出 fN实数解，则满足条件的所有实数 的取值集合为 个a14、已知 是半径为 的圆 上的三点， 为圆 的直径， 为圆 内一点（含CBA,1OABOP圆周） ，则 的取值范围为 PCP二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、已知函数 2123xxfcossin)(（1）求函数 的最小值，并写出取得最小值时的自变量 的集合f x（2）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ，若ABC, cba,30)(Cf，求 的值siniba16、如图，已知直四棱柱 的底面是菱形， 是 的中点， 是线1DCBAF1
4、BM段 的的中点1AC（1）求证：直线 平面 ；（2）求证：平面 平面 /MF1AC1A17、已知椭圆 的离心率为 ，且过点 )(:012bayxC23),(12P（1）求椭圆 的方程；（2）设点 在椭圆 上，且 与 轴平行，过 点作两条直线分别交椭圆 于QPQxPC),(1yxA两点，若直线 平分 ，求证：直线 的斜率是定值，并求出这个定2BABAB值18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图 1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图 2）如下：其中，点 为 轴上关于原点对称的两点，曲线 是桥的主体， 为桥顶，且曲线EA,xBCD段 在图纸上的图形对应函数的解析式为 ，曲线段 均BCD
5、 ,2482xyDEAB,为开口向上的抛物线段，且 分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各EA,衔接处 的切线的斜率相等),(B（1）求曲线段 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；A（2）车辆从 经 到 爬坡定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能力为：CPPM（该点 与桥顶间的水平距离） （设计图纸上该点 处的切线的斜率） ，其中 的单P位：米若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力； 内燃机动力，它们的爬坡能力分别为 米， 米， 米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度80.51.02.米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？119、已知数列 的前 项和为 ，且
6、（ ） nanS2naN（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的nb 1212123nn bbba)( nb通项公式；（3）在（2）的条件下，设 ，问是否存在实数 ，使得数列nnbc（ ）ncN是单调递增数列？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明你的理由20、已知函数 （ ） xkxf)(ln)1R（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；f（2）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；,2exxfln)(4k（3）若 ，且 ，证明： 21)(21xfke21附加题21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分 .解答
7、时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .A. 选修 4-1:几何证明选讲如图,E 是圆 O 内两条弦 AB 和 CD 的交点,过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG,G 为切点,已知 EF=FG,求证:EF CB.(第 21-A 题)B. 选修 4-2:矩阵与变换已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 C,使得 AC=B.2130C. 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点 O 为极21xy点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 sin2-4cos =0,已知直线 l 与曲线 C 相交于
8、A,B 两点,求线段 AB 的长.D. 选修 4-5:不等式选讲已知 a,b,x,y 都是正数,且 a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay) xy.【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,共 20 分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字 1,三张标有数字 2,两张标有数字 3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为 .(1) 为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量 的数学期望 E().23.在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知两点
9、M(1,-3),N(5,1),若点 C 的坐标满足 =t +(1-t)(tR),且点 C 的轨迹与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点.(1) 求证:OA OB;(2) 在 x 轴上是否存在一点 P(m,0),使得过点 P 任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出 m 的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市 2017 届高三第一学期期末考试答案1.(,3)2.-思 路 分 析 先 化 z=a+bi(, R)的 形 式 或 设 z=a+bi(, R),再 去 分 母 .解 法 1z=(-i)21+i-21i,所 以 z的 虚 部 是 -12.解 法 设 abi(
10、, R),则 2i(a+bi)=-i,即 b+2ai=1-,所 以 -2b=1,得 -12.易 错 警 示 复 数 z=+i(a,b )的 虚 部 是 ,不 是 i.3.思 路 分 析 先 求 出 2 c2.由 已 知 ,得 a2 b c23 6 9,得 e2=3,所 以 e=3.4.90思 路 分 析 根 据 分 层 抽 样 的 特 点 ,建 立 比 例 式 .设 该 校 学 生 总 数 为 n,则 3045-201,得 n90.5.04设 “目 标 受 损 但 未 完 全 击 毁 ”为 事 件 A,则 其 对 立 事 件 是 “目 标 未 受 损 或 击 毁 目标 ”.P(A)=1-()1
11、-(0.4+.2)=0.4解 后 反 思 在 数 学 中 ,“但 ”与 且 的 意 义 本 质 上 是 相 同 的 .6.-2,1流 程 图 表 示 输 出 分 段 函 数 f(x)=2, -2,的 值 .令 f(x) 14,2得-,1421解 得 -2x-1.7.5思 路 分 析 先 画 出 可 行 域 ,并 解 出 .可 行 域 是 以 A(3,1)B(,2)C(.5,1)为 顶 点 的 ABC及 它 的 内部 .z=2x-y(,-)x,y,-3,=.解 后 反 思 利 用 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义 一 个 向 量 的 模 与 另 一 个 向 量 在 该 向 量 上 的 投影
12、 的 乘 积 ,比 平 移 直 线 更 直 观 .8.-13思 路 分 析 可 先 求 出 基 本 量 a1,d再 求 a7;也 可 利 用 S7=a4先 求 出 a4.在 等 差 数 列 an中 ,S7=a4-,所 以 4=-.又 2,所 以 公 差 d-,从 而a7=4+3d-12-3.9.12思 路 分 析 可 用 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 求 解 ;也 可 用 垂 直 条 件 ,设 切 线 方 程(x-)a(y-)=0,再 令 圆 心 到 切 线 的 距 离 等 于 半 径 .因 为 点 M在 圆 上 ,所 以 切 线 方 程 为 (1+)(x1)(-2)y=5,即 2x
13、-y1=0.由 两 直 线 的 法 向量 (2,-1)与 (a,)垂 直 ,得 2a-1=0,即 a2.思 想 根 源 以 圆 (x)+(yb)r上 一 点 T(x0,y)为 切 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(+(y0-b)r2.1.3思 路 分 析 先 不 考 虑 在 哪 个 面 上 钻 孔 ,考 察 圆 柱 半 径 与 高 的 关 系 ,再 检 验 .设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r,高 为 h,该 长 方 体 上 面 钻 孔 后 其 表 面 积 少 了 两 个 圆 柱 底 面 ,多 了 一个 圆 柱 侧 面 .由 题 意 ,得 2+=r,得 h.经 检 验 ,只 有 r=
14、3符 合 要 求 ,此 时 在 89的 面 上 打孔 .易 错 警 示 实 际 应 用 问 题 须 检 验 .1.94解 法 1令 x+2=a,y1b,则a+b=(2,b),4()445+414(5+)=94,当 且 仅 当 a=83,b4,即 x=23,y1时取 等 号 .解 法 2(幂 平 均 不 等 式 )设 a=x2,by1,则 4+21421(+2)94.解 法 3(常 数 代 换 )设 +,则 1=+4=5,当 且 仅 当 a=2b时取 等 号 .思 想 根 源 (权 方 和 不 等 式 )若 a,bxy (0,+),则 2(+)2,当 且 仅 当 =时 取 等 号 .12.+52
15、49思 路 分 析 可 先 记 t=an8,最 后 再 代 入 化 简 .解 法 记 t=an81-cos4i2-1,则 t32t.所 以tan-832-1+32-162=(-)(+6)49=1549.解 法 2tan-82tan8-1+32=tan82+32si8co23in28sin421co31-cos4=10-25-1=+529.解 后 反 思 有 时 ,“硬 做 ”也 是 必 须 的 .13.-e,5ln,2思 路 分 析 化 为 定 曲 线 与 两 条 动 直 线 共 有 三 个 公 共 点 .关 键 是 两 条 动直 线 关 于 x轴 对 称 ,其 交 点 在 x轴 上 .方 程
16、 |f()-a5=0f()a+5或 f(x)=-a5.所 以 曲 线 C:y=f(x)与 两 条 直 线 l:y=ax+5和m:y=-ax5共 有 三 个 公 共 点 .由 曲 线 的 形 状 可 判 断 直 线 l与 曲 线 总 有 两 个 交 点 ,所 以 可 有 情 况是 :直 线 与 曲 线 C相 切 ,直 线 m与 曲 线 C相 交 两 点 但 其 中 一 点 是 l,m的 交 点 -5,0.由 m与C相 切 ,得 当 a0时 ,y=-ax5与 f(x)图 像 在 x0的 一 侧 相 切 .设 切 点 为 (x0,y)则f(x0)=20-,x-2.又 切 线 方 程 为 y-0=a(
17、-),得y-a+0y-a+-24-x-24-x5,得 a=2.同 理 当 a时 ,交 点 位 于 f(x)图 像 在 x的一 侧 ,此 时 有 f-52-40,52;当 0,.(2)利 用 正 弦 、 余 弦 定 理 ,列 出 关 于 边 a,b的 方 程 组 .规 范 解 答 (1)因 为 f(x)=32sinx-12(+cosx)-12(分 )=sin2-6,(4分 )所 以 函 数 fx)的 最 小 值 是 -2,(5分 )此 时 2-6k-2, Z,得 x=k6, Z,即 x的 取 值 集 合 为 =-6, Z.(7分 )()由 f(C)=0,得 sin-1.又 C (0,)所 以 2
18、C-6,得 3.(9分 )由 sinB2siA及 正 弦 定 理 ,得 b=2a.1分由 余 弦 定 理 ca2+b-cos,得 +2-b=3.(1分 )由 =,2-3,解 得 1,=2.(4分 )16.思 路 分 析 (1)要 证 MF 平 面 ABCD,只 要 证 MF与 平 面 ABCD内 的 某 直 线 平 行 .当 F沿 移 到 B时 ,恰 好 移 到 AC的 中 点 E.也 可 以 找 所 在 的 平 面 1F与 底 面 ABCD的 交线 .(2)只 要 先 证 F 平 面 1,只 要 证 平 面 AC1.规 范 解 答 (1)证 法 如 图 ,连 结 AC,取 的 中 点 E,连
19、 结 M,EB.因 为 M,E分 别 是 AC1,的 中 点 ,所 以 ME 12.(2分 )又 F是 B1的 中 点 ,且 B1 C1,得 FB C1,所 以 E F,四 边 形 MFE是 平 行 四 边 形 ,(4分 )所 以 M .因 为 平 面 ABCD,平 面 ABCD,所 以 F 平 面 .(7分 ) 图 1证 法 2如 图 ,延 长 C1F,B相 交 于 点 G,连 结 A.因 为 FB 12,所 以 是 1的 中 点 .(2分 )又 因 为 M是 A1的 中 点 ,所 以 MF A.4分因 为 F平 面 BCD,G平 面 BCD,所 以 平 面 .(7分 ) 图 2(2)如 图
20、 1,因 为 底 面 ABCD是 菱 形 ,得 BA=C,又 E是 AC的 中 点 ,所 以 EB AC.因 为 1A 平 面 ABCD,E平 面 ,所 以 1 E.(9分 )由 (1)知 ,MF ,所 以 MF , 1.分又 因 为 1A=,1,AC平 面 AC,所 以 MF 平 面 AC1.(13分 )因 为 平 面 ,所 以 平 面 1 平 面 A1.(4分 )17.思 路 分 析 (1)由 e求 得 a b c.(2)最 简 单 直 接 的 解 法 是 :利 用 PA,B的 斜 率 互 为 相 反 数 ,直 接 求 出 A,B的 坐 标 .规 范 解 答 (1)由 e=32,得 a b
21、 c=2 1 3,椭 圆 C的 方 程 为 24+=1.(2分 )把 P(2,-)的 坐 标 代 入 ,得 ,所 以 椭 圆 C的 方 程 是 28+=1.(5分 )(2)由 已 知 得 PA,B的 斜 率 存 在 ,且 互 为 相 反 数 .(6分 )设 直 线 的 方 程 为 y+1=k(x-2),其 中 k0.由 +1=(-2),248消 去 ,得 24-(+1)2=8,即 (k)x2-(k+1)x4(k1)2-80.(分 )因 为 该 方 程 的 两 根 为 2,A所 以 xA=4(+1)2-8,即 xA=82+-14.从 而 yA=42-1+.(0分 )把 k换 成 -k,得 xB=
22、8-1+42,yB42-+1.(2分 )计 算 ,得 A-6,是 定 值 .(4分 )解 后 反 思 利 用 直 线 PA与 椭 圆 C已 经 有 一 个 交 点 P(2,-1)可 使 得 解 答 更 简 单 .由 +1=(-2),248得 +1=(-2),4(2-)4当 (x,y)(,-1)时 ,可 得 (-),(-1)2.解 得 =82+-41,-2.以 下 同 解 答 .下 面 介 绍 一 个 更 优 雅 的 解 法 .由 A,B在 椭 圆 C:x2+4y=8上 ,得 (x1+2)(1-x2)4(y1+2)(1-y2)=0,所 以 kAB=1-241+2.同 理 kP=1-241-,kP
23、B2-42-1.由 已 知 ,得 kPA-B,所 以 1+-2-,且 1-2-1,即 x1y2+1(y1)(x1+2),且 x1y+=(x12)-(y1+2)4.从 而 可 得 x12=(y1+2).所以 kAB-421-,是 定 值 .8.思 路 分 析 (1)首 先 B(-2,1).设 曲 线 段 AB对 应 函 数 的 解 析 式 为 f(x),则 f(-2)1且f(-2)=1.先 算 出 MP的 最 大 值 .规 范 解 答 (1)首 先 B(-2,1)由 y=-16(4+2),得 曲 线 段 BCD在 点 B处 的 切 线 的 斜 率 为 12.(分 )设 曲 线 段 AB对 应 函
24、 数 的 解 析 式 为 yf(x)a(-m)2(x ,-2),其 中 m0.由 题 意 ,得 (-2)=(-)21, =解 得 =6,1.(4分 )所 以 曲 线 段 AB对 应 函 数 的 解 析 式 为 y16(x+)2( -6,2).(5分 )(2)设 P(x,y)记g(x)=MP(0-x)y=-18(+6), -6,22(4), ,0.(7分 ) 当 x -6,时 ,gx的 最 大 值 为 g(-3)=98;(10分 ) 当 -2,0时 ,()-2)=-(24)+0,即 (x)g-2)=,得 g(x)的 最 大 值 为 g(x)ma98.(13分 )综 上 所 述 ,(x)ma=98
25、.(14分 )因 为 0.80对 n N*恒 成 立 .考 虑 分 离 出 .规 范 解 答 ()a1=S2.由 an+1=Sn1-(2an+1-)(2an-),得 an+12n.(分 )所 以 数 列 n是 首 项 为 ,公 比 为 的 等 比 数 列 ,=.(4分 )(2)由 12+,得 b132.(5分 )当 n时 ,-1=(-)n+1,得 bn=(-)n2+.(8分 )所 以 bn32,1,(-1)+1,2.(9分 )(3)假 设 数 列 cn是 单 调 增 数 列 ,则 cn+1-=2n(bn+1-)0对 n N*恒 成 立 . 当 n=1时 ,由 2+54-320,得 -12(-)
26、+32-(1)恒 成 立 ,而 -12(-)+32-(1)单 调 递 减 ,当 n=时 取 最 大 值 -12835,得 -12835.(分 )综 上 所 述 ,存 在 实 数 ,且 的 取 值 范 围 是 -,19.(6分 )解 后 反 思 特 别 要 注 意 对 n=1时 的 单 独 处 理 .20.思 路 分 析 (1)只 要 注 意 对 k的 讨 论 .()分 离 出 k,转 化 为 kK(x)恒 成 立 问 题 .(3)先 说 明 01.(分 ) 若 k0,则 1时 ,f()0恒 成 立 ,f)在 1,+上 单 调 递 增 ,无 极 值 ;(2分 ) 若 ,则 f(x)在 ,ek上
27、单 调 递 减 ,在 ek,)上 单 调 递 增 ,(4分 )有 极 小 值 fek=-k,无 极 大 值 .(5分 )(2)问 题 可 转 化 为 k1-4lnx-1对 e,2恒 成 立 .(7分 )设 K(x)=1-4lnx-,则 K()=2l+-41=2(lnx-1)+.当 e,2时 ,()10,所 以 (x)在 e,上 单 调 递 增 ,K(x)ma=(e2)1-8e2.(9分 )所 以 实 数 k的 取 值 范 围 是 -8e2,.(10分 )(3)因 为 f(x)=ln-k,所 以 f(x)在 0,k上 单 调 递 减 ,在 ek,+)上 单 调 递 增 .不 妨 设 00,只 要
28、 证 (t-)et+0.设 Ht)et+2,则 只 要 证 H(t)对 t恒 成 立 .H(t)=-1)et+,H(t)=et0对 t恒成 立 .所 以 (t)在 0,)上 单 调 递 增 ,(t)(0)=.(14分 )所 以 Ht在 ,+上 单 调 递 增 ,Ht.综 上 所 述 ,x120时 ,y1+2=4,y12-4m.从 而 x12=126m.所 以 -4=,解 得 或 .(6分 ) 若 0,则 ,此 时 圆 心 D(x,y)满 足 2,=(0).圆 心 的 轨 迹 方 程 为 y2=(0).(8分 ) 若 m=4,则 R,此 时 圆 心 D(x,y)满 足 2+4,.圆 心 的 轨 迹 方 程 为 y2=(-4).(10分 )易 错 警 示 不 要 轻 易 舍 去 m的 情 况 .
