1、2018 届天津市和平区高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求解二次不等式可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 C 选项.2. “ ”是“关于 的方程 有实数根”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】关于 的方程 有实数根，则 ，据此可知：“ ”是“关于 的方程 有实数根”的充分不必要条件.本题选择 A 选项.
2、3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）A. 9 B. 7 C. -3 D. -7【答案】B本题选择 B 选项.4. 已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为： ，则双曲线的一条渐近线为： ，据此有： .本题选择 D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式( 不等式)两边分别除以
3、 a 或 a2 转化为关于 e 的方程( 不等式)，解方程(不等式) 即可得 e(e 的取值范围)5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（ ）A. 56 B. 72 C. 84 D. 90【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.本题选择 B 选项.6. 将函数 的图象向右平移 个单位，得到图象对应的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】结合函数平移的结论可得：将函数 的图象向右平移 个单位，得到图象对应的解析式为 .本题选择 D 选项.7. 如图，正方形 的边长为 2， 为 的中点， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
4、解析】以 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，据此可得： ，由平面向量数量积的坐标运算法则有： .本题选择 A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用8. 已知函数 若始终存在实数 ，使得函数 的零点不唯一，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，则 时， 的零点不唯一，选项 A 错误；当 时， ，则 时， 的零点不唯一，选项 B 错误；当 时， ，函数在 上单调递增，则不存在实数 ，使得函数 的零点不唯一，选项 D 错误.本
5、题选择 C 选项.点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 已知是虚数单位，则复数 _【答案】【解析】结合复数的运算法则有： .10. 某校高中共有 720 人，其中理科生 480 人，文科生 240 人，现采用分层抽样的方法从中抽取 90 名学生参加调研，则抽取理科生的人数_【答案】60【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：. . . . . . . .11.
6、 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为 2 的菱形，高为 2，其体积为： ，下半部分是半个球，球的半径 ，其体积为据此可得，该几何体的体积为 .点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解12. 已知函数 ，若 ，则 的值为【答案】-1【解析】函数有意义，则必须满足： ，此时
7、 ，则： ，据此整理函数的解析式： ，据此可得 ，结合 可得： .点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式13. 已知 ，则 的最小值为_【答案】4【解析】由题意可得： ，当且仅当 时等号成立.综上可得： 的最小值为 4.14. 已知数列 的通项 ，若数列 的前 项和为 ，则 _ （用数字作答）【答案】480【解析】结合数列的通项公式分组求和有：,则 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15
8、. 在 中，角 所对的边分别是 ，且 .（）若 ，求 ；（）若 ， ，求 的面积.【答案】() ；() .【解析】试题分析：()由题意结合正弦定理角化边可得 .则 .据此利用余弦定理可得 .()由题意可得 .利用同角三角函数基本关系可得 .则 .据此结合三角形面积公式有 的面积 .试题解析：（）由 及正弦定理，得 . ， .由余弦定理，得.（）由已知 ， ，得 .在 中， 为锐角，且 ， . .由 ， 及公式 ， 的面积 .16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于 90 为一等品，不小于 80 小于 90 为二等品，小于80 为三等品，每件一等品盈利 50 元，每件二等品盈利 30
9、 元，每件三等品亏损 10 元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各 100 件的检测结果统计如下：根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.（）求出甲生产三等品的概率；（）求出乙生产一件产品，盈利不小于 30 元的概率；（）若甲、乙一天生产产品分别为 30 件和 40 件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？【答案】() ；() ；()2000 元.【解析】试题分析：()由题意可得：甲生产三等品的测试指标小于 80，据此结合古典概型计算公式可得 .()由题意可得：乙生产一件产品的测试指标不小于 80，据此结合古典概型计算公式可得 .()由题意结合古典概型计算
10、公式可得甲生产三等品，二等品一等品的件数为 6，21,3，乙生产三等品，二等品一等品的件数为 4,24,12，据此估计可得甲、乙两人一天共为企业创收 2000 元.试题解析：（）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于 80，所求概率为： .（）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于 30 元，即为测试指标不小于 80，所求概率为： .（）甲一天生产 30 件产品，其中：三等品的件数为 ，二等品的件数为 ，一等品的件数为 ；乙一天生产 40 件产品，其中：三等品的件数为 ，二等品的件数为 ，一等品的件数为 .则 .估计甲、乙两人一天共为企业创收 2000 元.17. 如图，在五面体 中，四边形 是矩
11、形， ， ， ， 为 的中点， 为线段 上一点，且 .（）求证： 平面 ；（）求证： ；（）求证：平面 平面 .【答案】()证明见解析；()证明见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：(1)连接 交 于 点，则 为 的中点，连接 .由三角形中位线的性质可得 .结合线面平行的判定定理可得 平面 .(2)连接 .由几何关系可证得四边形 是平行四边形.则 ，结合直角三角形的性质和题意可得，则 .(3)由题意可知 为等边三角形，则 .同理可得 .利用线面垂直的判定定理可得 平面，结合面面垂直的判定定理可得平面 平面 .试题解析：（）连接 交 于 点，则 为 的中点，连接 .在 中， 为 的中点， 为
12、 的中点. . 平面 ， 平面 ， 平面 .（）连接 .四边形 是矩形， ， ，且 . ， ， ， . ， ， .四边形 是平行四边形. ， .在 中， ， ， ， .在 中， ， ， ， 是直角三角形 . . .（）在 中， ， 为等边三角形 . 为 的中点， .同理，由 为等边三角形，可得 . ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .18. 已知 是等差数列， 是等比数列，其中 ， ， .（）求数列 与 的通项公式；（）记 ，求数列 的前 项和 .【答案】() ， .() .【解析】试题分析：()由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为 2，等比数列的公比为 2，据此计算可得 的通项公式， 的
13、通项公式 .()由题意结合( )中求得的通项公式可得 .错位相减结合等差数列前 n 项和公式可得 .试题解析：（）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，由 ，得 ， ，由 ， ，得 ， ， . 的通项公式 ， 的通项公式 .（）由（）可得 ， ，故 .则 .令 ，则 ，由-，得 . .点睛：一般地，如果数列a n是等差数列，b n是等比数列，求数列a nbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列b n的公比，然后作差求解19. 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的短轴为直径的圆与直线 相切.（）求椭圆 的方程；（）设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ，若 ，求证：
14、 为定值.【答案】() ；() 证明见解析.【解析】试题分析：()由题意结合点到直线距离公式可得 .结合离心率计算公式有 .则椭圆 的方程为.()对直线的斜率分类讨论：当直线 的斜率不存在时， .当直线 的斜率存在时，设 ， ， ，联立直线方程与椭圆方程有 ，由弦长公式可得.联立直线 与椭圆方程，结合弦长公式有 .计算可得 .据此可得：为定值.试题解析：（）依题意，原点到直线 的距离为 ，则有 .由 ，得 .椭圆 的方程为 .（）证明：（1）当直线 的斜率不存在时，易求 ， ，则 .（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，依题意 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 .设 ， ， ，
15、，由 得 ，则 ， ，.由 整理得 ，则 . .综合（1）（2）， 为定值.20. 已知函数 ， ，且曲线 与 在 处有相同的切线.（）求实数 的值；（）求证： 在 上恒成立；（）当 时，求方程 在区间 内实根的个数.【答案】() ；()证明见解析；()2.【解析】试题分析：()函数有相同的切线，则 ， ，据此计算可得 ；()构造函数，令 ，原问题等价于 在 上恒成立，讨论函数的单调性可得 ，即 在 上恒成立.()构造函数 ，其中 ，结合导函数讨论函数的单调性有.构造函数 ，则 在 内单调递减，据此讨论可得 在区间 内有两个零点，即方程 在区间 内实根的个数为 2.试题解析：（） ， ， ， . ， ， ， . ，即 ， .（）证明：设 ，.令 ，则有 .当 变化时， 的变化情况如下表： ，即 在 上恒成立.（）设 ，其中 ，.令 ，则有 .当 变化时， 的变化情况如下表： .，设 ，其中 ，则 ， 在 内单调递减， ， ，故 ，而 .结合函数 的图象，可知 在区间 内有两个零点，方程 在区间 内实根的个数为 2.
