1、2018 届天津市和平区高三上学期期末考试数学（理）试题第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则 （ ）0,12,34A21BxABIA B4,C D, ,0232 “ ”是“关于 的方程 有实数根”的（ ）ax2xaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）xy、 24,0,xy3zxyA9 B5 C1 D-54已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直24xyF线斜率的
2、取值范围是（ ）A B C D3,3, 3,3,5阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为（ ）SA72 B90 C101 D1106将函数 的图象向左平移 个单位，得到图象对应的解析式为（ ）1sin23yx3A Bi 12sinyxC D1sin2yx1sin26yx7如图，正方形 的边长为 2， 为 的中点， ，且 与 相交于点 ，则ABCEBC2DFCurAEBFG的值为（ ）AGFurA B C D474735358已知函数 若始终存在实数 ，使得函数 的零点不唯一，则2,1xafbgxfb的取值范围是（ ）aA B C D2,4,2,4,4第卷（共 110 分）二、填空
3、题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9已知 是虚数单位，则复数 i3i210 的展开式中 的系数为 （用数字作答）612x3x11一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 12已知 ，则 的最小值为 0a14a13已知函数 ，若 ，则 的值为 23xf4ffa14现有 6 个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15在 中，角 所对的边分别是 ，且 .ABC, ,abc2bc（）若 ，求 ；sinicosA（）若 ， ，求 的面积.2co
4、36aBC16甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为 、34、 ，笔试、口试、实验通过考试分别记 4 分、2 分、4 分，没通过的项目记 0 分，各项成绩互不影响.231（）若规定总分不低于 8 分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（）记三个项目中通过考试的个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.X17如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为 的中点， 为 的中点，PABCABCDPCEAD点 在线段 上， ， .F42（）求证： 平面 ；D（）若 ，求证： 平面 ；34PBEF（）求 与平面 所成角的正弦值.A18已知 是等差数列， 是等比数
5、列，其中 ， ， .nanb1ab234a347ba（）求数列 与 的通项公式；（）记 ，求数列 的前 项和 .1212nnncaLLncnS19已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的短轴为直径的圆与直线2:0xyEb1相切.60xy（）求椭圆 的方程；（）设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ，若 ，求证： 为定值.FABCDAB 2CD20已知函数 ， ，且曲线 与 在 处有相同的切线.2fxalngxbfxg1x（）求实数 的值；,ab（）求证： 在 上恒成立；fxg0,（）当 时，求方程 在区间 内实根的个数.6,nfxngx1,ne和平区 20172018 学年度第一学期高三年级数学（理
6、）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9 1060 111i42312-1 134 14480三、解答题15解：（）由 及正弦定理，得 .siniACac ，2abc .2acb由余弦定理，得22oscaAb.2241b（）由已知 ， ，得 .2abc618bc在 中， 为锐角，且 ，ABC2os3A .21sincos3 .24ii 9A由 ， 及公式 ，18bc4sin91sinSbcA 的面积 .ABC284S16解：（）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ，,ABC则事件“甲同学进入复赛的”表示为 .ABCU 与 互斥，且 彼此独立，
7、ABC, PPUABC.3213428（）随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3.X，1014324P，2，143X1432.P所以，随机变量 的分布列为X数学期望 .11230244EX17 （）证明： 平面 ， 平面 ，PABCABC .PABC ， ，I 平面 . 平面 ，D .BCA ， 为 的中点，PP . ，I 平面 .ADBC（）证明：依题意， 平面 ， ，如图，PABCA以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.A,CBAPurxyz可得 ， ， ， ， ， ， .0,2,40,0,4,2D0,1E3,12F平面 的一个法向量 ， ，AB,AP
8、ur3,EFur ，即 .0PEFurEF 平面 ，EFABC 平面 .（）解：设平面 的法向量为 ，则 ， .D,nxyzr0nADruBr由 ， ，得0,2Aur2,40ABur2,4令 ，得 ， ，即 .1zyx,1nr设 与平面 所成角为 ，PED ，0,3ur sinco,PEnurr.02131256 与平面 所成角的正弦值为 .PEADB1518解：（）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，nadnbq由 ，得 ， ，1ab11nq由 ， ，得 ， ，234347b234d .dq 的通项公式 ， 的通项公式 .na21nan12nb（）由（）可得 ， ，2aL1nL故 .21n
9、nnc则 .22S n令 ，31nnTL则 ，241由-，得 .123n n12n .122nnSnL122n19解：（）依题意，原点到直线 的距离为 ，60xyb则有 .2631b由 ，得 .2a24ab椭圆 的方程为 .E213xy（）证明：（1）当直线 的斜率不存在时，易求 ， ，AB3AB23CD则 .24CDAB（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，依题意 ，k0则直线 的方程为 ，直线 的方程为 .1yxCDykx设 ， ， ， ，1,Ax2,B3,y4,x由 得 ，243ykx224810kxk则 ， ，2128342134k12ABkx22281433k.214k由
10、整理得 ，则 .23xyk22134xk3423xk.223411kCDkx .2284ABk综合（1） （2） ， 为定值.20解：（） ， ， ，1fa10g1fg .1a ， ，2fx bx ， .1g ，即 ，1fab .b（）证明：设 ，2ln0uxfgxx.21ux令 ，则有 .0x当 变化时， 的变化情况如下表：x,u ，即 在 上恒成立.10uxfxg0,（）设 ，其中 ，2lnhxngfxx1,nxe.22xx令 ，则有 .hn当 变化时， 的变化情况如下表：x,xh .2ln1hx极 大 值 3l0，2nnee设 ，其中 ，则 ，xt6,10xte 在 内单调递减， ，6, x ，故 ，而 .xe0nh1h结合函数 的图象，可知 在区间 内有两个零点，x,ne方程 在区间 内实根的个数为 2. fxng,n
