1、天津市部分区 2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）第卷（共 40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 04|2xA，集合 01|xB，则 BA（ ）A )2,1( B ,1( C ),2 D )1,2(2.“ 4”是“ 2cos”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要3.设变量 yx,满足约束条件 01293yx，则目标函数 yxz2的取值范围是（ ）A ),6 B ),5 C 6,5 D 5,04.阅读如图所示的程序框图，若输入的 ba分别为 1，2 ，运行相应的程序，则输出 S的值为（ ）A
2、320 B 516 C. 27 D 8155.已知双曲线2xyab(0,)b的一个焦点为 )0,2(F，且双曲线的两条渐近线的夹角为 06，则双曲线的方程为（ ）A 132yx B 126yx C. 2或 32yxD 3或 126yx6.在 ABC中，内角 ,的对边分别为 ,abc，已知 BCsini，且 2b， 3c，则 a等于（ ）A 21 B 3 C. 2 D 327.如图，平面四边形 AC中， 09ACB， 2DB，点 E在对角线 AC上，4EC，则 的值为（ ）A 17 B13 C. 5 D18.已知函数 xef)(（其中 是自然对数的底数） ，若当 0x时， 1)(mexf恒成立，
3、则实数 m的取值范围为（ ）A )31,0( B 31,( C. ),31 D 31,第卷（共 110分）二、填空题（每题 5分，满分 30分，将答案填在答题纸上）9.已知 i为虚数单位，则 i12 10.在 6)2(x的展开式中 x的系数为 （用数字作答）11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 12.已知曲线 3xy与直线 )0(kxy在第一象限内围成的封闭图形的面积为 4，则 k 13.在平面直角坐标系 O中，已知抛物线 tyx42（ 为参数）的焦点为 F，动点 P在抛物线上，动点Q在圆 sinco3yx（ 为参数）上，则 |PQF的最小值为 14.已知函数 0|,l13)(x
4、xf，若函数 0)(axf恰有 3 个零点，则实数 a的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数 xxxf cosin32sico)(2， R.（1 ）求 的最小正周期；（2）求 )(xf在区间 4,6上的最大值与最小值.16.某大学现有 6名包含 A在内的男志愿者和 4 名包含 B在内的女志愿者，这 10 名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取 5 人参加田赛服务工作，另外 5 人参加径赛服务工作.（1 ）求参加田赛服务工作的志愿者中包含 A但不包含 的概率；（2）设 X表示参加径赛服务工作的女志
5、愿者人数，求随机变量 X的分布列与数学期望.17. 在如图所示的几何体中， ACDE/， 09ADB， 32EC， 2B， 1DC，二面角 EACB的大小为 06.（1）求证： BD平面 ACE；（2）求平面 与平面 所成的角（锐角）的大小；（3）若 F为 的中点，求直线 F与平面 BDE所成的角的大小. 18. 已知 na是等比数列，满足 21a，且 43,2a成等差数列.（1 ）求 na的通项公式；（2）设 nb，数列 nb的前 项和为 nS ， 4792)(nSg ),2(*Nn，求正整数 k的值，使得对任意 2均有 )(gk.19. 设椭圆 210xyab的左焦点为 1F，离心率为 2
6、， 1F为圆 0152:2xyM的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点 2F的直线 l交椭圆于 BA,两点，过 2且与 l垂直的直线 1l与圆 交于 DC,两点，求四边形 ACBD面积的取值范围.20. 已知函数 )1(ln)(xaxf， R.（1）讨论 的单调性；（2）当 21a时，令 )(2)(xfxg，其导函数为 )(xg，设 21,是函数 )(xg的两个零点，判断 1x是否为 的零点？并说明理由.天津市部分区 20172018 学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:18CABDC CDB二、填空题：9 32i 10 240 11 36 12 4 133 1
7、4 1,e 三、解答题：（15）解：（） 22cosinsicofxxxcos23inx132cosin2si6xx所以 T，所以 f的最小正周期为 （）由 ,64x，得 22,63x， 所以当 2,，即 ,时，函数 fx单调递增；当 ,63x，即 ,64x时，函数 f单调递减； 且当 2，即 时， 1sin26x，此时 =1fx；当 6x，即 6x时， i，此时 2f;当 23，即 4时， 3sin26x，此时 =3fx; 所 以 当 6x时 ， fx取 得 最 小 值 1； 当 时 ， f取 得 最 大 值 2 （16）解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含 A但不包含 B的事件为 M
8、，则基本事件的总数为 510C， 事件 M包含基本事件的个数为 48， 则 48510P. (II)由题意知 X可取的值为： 0,1234. 则 5610,4C1650,2CPX3264510,CPX236510,PX14650,因此 的分布列为 X0 1 2 3 4P14251025142X的数学期望是 ()01234EPXPXP=155234.4（17）解：方法一：（I）因为 90ACBD，则 ACD， B，所以 BCD为二面角 E的平面角，即 6， 在 中， 2， 1， ，所 以 2413， 所 以 22BC， 即 BC，由 ACD， ，且 D，可知 A平面 D，又 B平面 ，所以 AC
9、， 又因为 ， 平面 E， 平面 E，所以 平面 E （II）由 D平面 得 BD， ，又 ACD，即 B， C， DE两两垂直，则以 B， C，分别为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示由（I）知 3BD， 则 0,， 3,0B， ,10C，由 2ACE得 ,2， ,1A 依题意 30,1， 3,B，设平面 BAE的一个法向量为 ,nxyz，则 0n，即302yxz，不妨设 3，可得 3,2n， 由 AC平面 BD可知平面 C的一个法向量为 0,AC设平面 与平面 AE所成的角（锐角）为 ，所以 61cos,432n，于是 =3， 所以平面 BCD与平面 AE所成的角（
10、锐角）为 （III ）若 F为 的中点，则由（II）可得 31,2F，所以 31,02EF， 依题意 C平面 BE，可知平面 BDE的一个法向量为 0,DC， 设直线 与平面 所成角为 ，则 1sinco, 2CFD，所以直线 F与平面 BE所成角的大小 6 方法二：（I）因为 90ABD，则 ACD， ，所以 BC为二面角 CE的平面角，即 60B， 在 D中， 2， 1， ，所 以 2413， 所 以 22C， 即 C， 由 AC， B，且 D，可知 A平面 BD，又 B平面 ，所以 AC， 又因为 D， 平面 E， 平面 E，所以 平面 E （）令 CDAE,的延长线的交点为 G，连 B
11、。则平面 DC平面 BAEG，二面角 BG即平面 与平面 AE所成的角（锐角） ， 21， 是 C的中位线， 2G， C为正三角形。 令 B的中点为 H，连 AC,。易知 BH，且 3 在直角 A中， 132B，在直角 G中， G， AG， BH， HC是二面角 C的平面角。 在直角 A中， 3tanHA， C60平面 BD与平面 E所成的角（锐角）为 60 （） C， ， DEC，即 G。又 是正 G的边 的中点， B， EB,是平面 内的两条相交直线 平面 。 D是直线 与平面 BE所成的角。显然 30。 F G，直线 F与平面 D所成的角为 （18）解：（）设数列 na的公比为 q，则由
12、条件得： 324aa， 又 12a，则 232241qq，因为 0，解得： ， 故 n. （）由（）得： 12nnba， 则 23112nnS 34 - 得： 23412nnn 312221 4nn 所以 24nnS 则 97ng，则 27,ngN 由 3232191nnn得：当 904nN时， 45gg； 当 25时， 567 ；所以对任意 ，且 均有 n，故 k（19）解：（）由题意知 12ca，则 c， 圆 M的标准方程为 6)(yx，从而椭圆的左焦点为 1,0F，即 1c，所以 2a，又 2bc，得 3b 所以椭圆的方程为： 14yx. （）可知椭圆右焦点 2,0F （）当 l 与 x
13、 轴垂直时，此时 k不存在，直线 l： 1x，直线 1:0ly，可得： 3AB， 8CD，四边形 ACBD面积为 12. （）当 l 与 x 轴平行时，此时 =0k，直线 :0ly，直线 1:lx，可得： 4， 3，四边形 面积为 38. （iii ）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ykx，并设 1,Axy， 2,By.由 ,134)(2yxk得 22438410kxk. 显然 0，且21243k， 2143k. 所以221()ABx. 过 2F且与 l 垂直的直线 1:(1)lyxk，则圆心到 1l的距离为 12k，所以222434()CD. 故四边形 AB面积： 211SABCDk.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为(12, 38). 综上，四边形 面积的取值范围为 1,83 20.解：（）依题意知函数 fx的定义域为 0，且 1fxa. （1）当 0a时， 0f，所以 f在 ,上单调递增. （2）当 时，由 x得： 1a， 则当 0,xa时 0f；当 ,时 0fx.所以 f在 1,单调递增，在 1,a上单调递减. （） 12x不是导函数 gx的零点. 证明如下：由（）知函数 2lnx. 1x， 2是函数 x的两个零点，不妨设 120，21122 2ln0lnx， 两式相减得： 121212lnxxx即： 121lxx
