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2018年天津市和平区高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版).doc

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资源描述

1、2018 届天津市和平区高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)第卷(共 40 分)一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ,集合故选 C2. “ ”是“关于 的方程 有实数根”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若关于 的方程 有实数根 ,即不一定等于故选 A3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )A. 9 B. 5 C. 1 D. -5【答案】B【解析

2、】由约束条件 作出可行域如图所示:目标函数 可化为由图可知当直线 过点 时,取最大值故选 B点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” :(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ;(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解) ;(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 已知双曲线 的右焦点为 ,若过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的方程为双曲线的渐近线方程为 ,右焦点

3、过点 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点直线的斜率在 和 之间,包括端点故选 D5. 阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出的 的值为( )A. 72 B. 90 C. 101 D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环, ,满足 ,继续循环第二次循环, ,满足 ,继续循环第三次循环, ,满足 ,继续循环第四次循环, ,满足 ,继续循环第五次循环, ,满足 ,继续循环第六次循环, ,满足 ,继续循环第七次循环, ,满足 ,继续循环第八次循环, ,满足 ,继续循环第九次循环, ,不满足 ,跳出循环,输出故选 B点睛:此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算,逐次判断

4、是否满足判断框内的条件,决定循环是否结束要注意初始值的变化,分清计数变量与累加(乘) 变量,掌握循环体等关键环节6. 将函数 的图象向左平移 个单位,得到图象对应的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数 的图像向左平移 个单位,得故选 D7. 如图,正方形 的边长为 2, 为 的中点, ,且 与 相交于点 ,则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】以 为原点, , 所在的直线分别为 轴, 轴建立平面直角坐标系,则 , , , 为 的中点, ,直线 的方程为 ,直线 的方程为联立 ,得 ,故选 A点睛:这个题目考查的是向量基本定理的应用,向量的数量积运算

5、.解决向量的小题常用方法有:数形结合,向量的三角形法则,平行四边形法则等;建系将向量坐标化;向量基底化,选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8. 已知函数 若始终存在实数 ,使得函数 的零点不唯一,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可知函数 的零点不唯一,等价于两函数 与 图象的交点个数不唯一 的图象是开口向下、对称轴 的抛物线, 的图象是恒过 的直线,注意到 、 ,则分 、 、 三种情况讨论:当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数, 在 上为减函数(当 时为常数函数) 在 上为增函数,在 上为减函数始终存在实数 使得在 上 与 图象的交点个数不唯一当

6、 时, 在 上为增函数,在 上为减函数 在 上为增函数,且始终存在实数 使得在 上 与 图象的交点个数不唯一当 时, 在 上为增函数, 在 上为增函数,欲使始终存在实数 使得在上 与 图象的交点个数不唯一,则必有 ,即 ,解得: 综上所述,的取值范围是 故选 C点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决,如在本题中,方程 根的个数,即为直线 与函数 图象的公共点的个数;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,

7、然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解 第卷(共 110 分)二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)9. 已知是虚数单位,则复数 _【答案】【解析】结合复数的运算法则有: .10. 的展开式中 的系数为 _ (用数字作答)【答案】60【解析】 的展开式的通项公式为令 得 的系数为故答案为 6011. 一个由棱锥和半球体组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可得,该几何体是一个组合体,其上半部分是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个对角线长度为 2 的菱形,高为 2,其体积为: ,下半部分是半个球,球的半径 ,其体

8、积为据此可得,该几何体的体积为 .点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解12. 已知 ,则 的最小值为_【答案】-1【解析】又 ,当且仅当 ,即 时取等号 最小值为故答案为点睛:本题主要考查利用基本不等式求最值,属于中等题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等” 的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最后一

9、定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立).13. 已知函数 ,若 ,则 的值为_【答案】4【解析】依题意函数 的自变量满足 ,即 ,此时 恒成立故答案为 414. 现有 6 个人排成一横排照相,其中甲不能被排在边上,则不同排法的总数为_【答案】480【解析】假设 6 个人分别对应 6 个空位,甲不站在两端, 有 4 个位置可选,则其他 5 人对应其他 5 个位置,有种情况,故不同排列方法种数 种.故答案为 480三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 15. 在 中,角 所对的边分别是

10、 ,且 .()若 ,求 ;()若 , ,求 的面积.【答案】() ;() .【解析】试题分析:()由题意结合正弦定理角化边可得 .则 .据此利用余弦定理可得 .()由题意可得 .利用同角三角函数基本关系可得 .则 .据此结合三角形面积公式有 的面积 .试题解析:()由 及正弦定理,得 . , .由余弦定理,得.()由已知 , ,得 .在 中, 为锐角,且 , . .由 , 及公式 , 的面积 .16. 甲同学参加化学竞赛初赛,考试分为笔试、口试、实验三个项目,各单项通过考试的概率依次为 、 ,笔试、口试、实验通过考试分别记 4 分、2 分、4 分,没通过的项目记 0 分,各项成绩互不影响.()

11、若规定总分不低于 8 分即可进入复赛,求甲同学进入复赛的概率;()记三个项目中通过考试的个数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.【答案】() ;()答案见解析 .【解析】试题分析:()记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ,则则事件“甲同学进入复赛的”表示为 ,由 与 互斥,且 、 、 彼此独立,能求出甲同学进入复赛的概率;()随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 的分布列和数学期望试题解析:()记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ,则事件“甲同学进入复赛的” 表示为 . 与 互斥,且 彼此独立, .()随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,

12、3.,.所以,随机变量 的分布列为数学期望 .17. 如图,在三棱锥 中, 平面 , , 为 的中点, 为 的中点,点 在线段上, , .()求证: 平面 ;()若 ,求证: 平面 ;()求 与平面 所成角的正弦值.【答案】()证明见解析;()证明见解析;() .【解析】试题分析:()由 平面 可推出 ,再由 ,可证 平面 ,从而得出 ,由 及 为 的中点,推出 ,即可得证 平面 ;()依题意, 平面 , ,以 为原点,分别以 的方向为 轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,得出 , , , , , , ,由 为平面 的一个法向量,再根据 ,即可得出 ,从而得证; () 求出平面 的一个法向

13、量,设 与平面 所成角为,根据,即可求出 与平面 所成角的正弦值.试题解析:()证明: 平面 , 平面 , . , , 平面 . 平面 , . , 为 的中点, . , 平面 .()证明:依题意, 平面 , ,如图,以 为原点,分别以 的方向为 轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 .可得 , , , , , , .平面 的一个法向量 , , ,即 . 平面 , 平面 .()解:设平面 的法向量为 ,则 , .由 , ,得令 ,得 , ,即 .设 与平面 所成角为, , . 与平面 所成角的正弦值为 .点睛:用向量法解决立体几何问题的注意点:(1)建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直

14、的三条直线,否则要先给出证明;(2)求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值;求二面角时,要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值,但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角18. 已知 是等差数列, 是等比数列,其中 , , .()求数列 与 的通项公式;()记 ,求数列 的前 项和 .【答案】() , ;() .【解析】试题分析:()由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为 2,等比数列的公比为 2,据此计算可得 的通项公式, 的通项公式 .()由题意结合( )中求得的通项公式可得 .错位相减结合等差数列前 n 项和公式可得 .试题解

15、析:()设数列 的公差为 ,数列 的公比为 ,由 ,得 , ,由 , ,得 , , . 的通项公式 , 的通项公式 .()由()可得 , ,故 .则 .令 ,则 ,由-,得 . .点睛:一般地,如果数列a n是等差数列,b n是等比数列,求数列a nbn的前 n 项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列b n的公比,然后作差求解19. 已知椭圆 的离心率为 ,以椭圆的短轴为直径的圆与直线 相切.()求椭圆 的方程;()设椭圆过右焦点 的弦为 、过原点的弦为 ,若 ,求证: 为定值.【答案】() ;() 证明见解析.【解析】试题分析:()由题意结合点到直线距离公式可得 .结合离

16、心率计算公式有 .则椭圆 的方程为.()对直线的斜率分类讨论:当直线 的斜率不存在时, .当直线 的斜率存在时,设 , , ,联立直线方程与椭圆方程有 ,由弦长公式可得.联立直线 与椭圆方程,结合弦长公式有 .计算可得 .据此可得:为定值.试题解析:()依题意,原点到直线 的距离为 ,则有 .由 ,得 .椭圆 的方程为 .()证明:(1)当直线 的斜率不存在时,易求 , ,则 .(2)当直线 的斜率存在时,设直线 的斜率为 ,依题意 ,则直线 的方程为 ,直线 的方程为 .设 , , , ,由 得 ,则 , ,.由 整理得 ,则 . .综合(1)(2), 为定值.20. 已知函数 , ,且曲线

17、 与 在 处有相同的切线.()求实数 的值;()求证: 在 上恒成立;()当 时,求方程 在区间 内实根的个数.【答案】() ;()证明见解析;()2.【解析】试题分析:()函数有相同的切线,则 , ,据此计算可得 ;()构造函数,令 ,原问题等价于 在 上恒成立,讨论函数的单调性可得 ,即 在 上恒成立.试题解析:() , , , . , , , . ,即 , .()证明:设 ,.令 ,则有 .当 变化时, 的变化情况如下表: ,即 在 上恒成立.()设 ,其中 ,.令 ,则有 .当 变化时, 的变化情况如下表: .,设 ,其中 ,则 , 在 内单调递减, , ,故 ,而 .结合函数 的图象,可知 在区间 内有两个零点,方程 在区间 内实根的个数为 2.

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