1、第 1 页 共 12 页高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数概念与运算知识清单1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0处有增量 x，那么函数 y 相应地有增量 y=f（x 0+ ）f（x 0） ，比值y叫做函数 y=f（x）在 x 0到 x + 之间的平均变化率，即 =xf)(0。如果当 时，y有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0处的导数，记作 f（x 0）或 y| 0x。即 f（x 0）
2、= 0limxy= 0lixff)(0。说明：（1）函数 f（x）在点 x 0处可导，是指 0x时， xy有极限。如果 xy不存在极限，就说函数在点 x 0处不可导，或说无导数。（2） 是自变量 x 在 x 0处的改变量， x时，而 y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量 y=f（x 0+）f （x ） ；（2）求平均变化率 =f)(0；（3）取极限，得导数 f(x 0)= xylim。2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x ） ）
3、处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f （x ） ）处的切线的斜率是 f（x 0） 。相应地，第 2 页 共 12 页切线方程为 yy 0=f/（x ） （xx 0） 。3几种常见函数的导数: ;C 1;n (sin)cosx; (cs)inx; ();xe ()lxa; 1l; 1lgloaae.4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 0)( Cu
4、C.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .u法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：v= 2uv（v 0） 。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导回代。法则：y| X= y| U u| X导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数 )(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则 )(f为增函数；如果，则 x为减函数；如果在某区间内恒有f0)(，则 )(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的
5、斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f )(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数 )(x在(a，b)内的极值；第 3 页 共 12 页求函数 )(x在区间端点的值 (a)、(b)；将函数 的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 在区间 上的最大值是 2 32()fx1,2已知函数 处有极大值，则常数 c 6 ；)()2xcxfy、3函数 有极小值 1 ,极大值 3 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线 在点 处的切线方程是 34yx, 2yx2若曲线 在 P 点处的切线平
6、行于直线 ，则 P 点的坐标为 （1，0） f)( 033若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 4yxl48xyl430xy4求下列直线的方程：（1）曲线 在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 过点 P(3,5)的切线；123xy 2xy解：（1） 13|k 23 1),( /3 、 xyxyP所以切线方程为 0（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ，则 又函数的导数为),(0yxA20x，xy/所以过 点的切线的斜率为 ，又切线过 、P(3,5)点，所以有),(0yA 0/2|xyk),(0yxA，由联立方程组得， ，即切点为（1，1）时，切线斜率为3520x
7、5 1y、；当切点为（5，25）时，切线斜率为 ；所以所求的切线有两条，方程分;1k 02xk别为 2 )5(102)( xyxyy 、题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数 的切线方程为)1(,)(,3 fPfcbaf 上 的 点过 曲 线y=3x+1 （）若函数 处有极值，求 的表达式；2)(xf在 )(xf（）在（）的条件下，求函数 在3，1上的最大值；y第 4 页 共 12 页（）若函数 在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 )(xfy解：（1）由 .23)(,3 axxfcbaf 求 导 数 得过 的切线方程为：)1(,)(Pxy上 点).1()1 xbcy
8、f即而过 .3)(,)( yfxy的 切 线 方 程 为上故 30232cabcab即 124,)(,)( bafxfy故时 有 极 值在由得 a=2，b=4，c=5 .53xxf（2） ).2(343)(2 xxf当;0(,;0)(, xff时当时又 在3，1上最大值是 13。 13).13fxfx极 大时当 )(,4)xff（3）y=f(x)在2，1上单调递增，又 由知 2a+b=0。 2(bax依题意 在2，1上恒有 0，即 )(xf )xf .03当 ；6,1()(,16minbffb时当 ；fxfx ,02)()(,2in时当 .6,1)(,16min bbfb则时综上所述，参数 b
9、 的取值范围是 ),02已知三次函数 在 和 时取极值，且 32()fxabxc1x(2)4f(1) 求函数 的表达式；y(2) 求函数 的单调区间和极值；()fx第 5 页 共 12 页解：(1) ，2()3fxaxb由题意得， 是 的两个根，解得， 1,00,3ab再由 可得 (2)4f2c3()2fx(2) ，3(1)fxx当 时， ；当 时， ；1)0f()0fx当 时， ；当 时， ；x(fx1f当 时， 函数 在区间 上是增函数；1)0f()fx(,1在区间 上是减函数；在区间 上是增函数,、 1,函数 的极大值是 ，极小值是 ()fx()0f()4f3设函数 xab（1）若 的图
10、象与直线 相切，切点横坐标为，且 在 处取极值，()f58y ()fx1求实数 的值；,ab（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 总有两个不同的极值点 ()fx解：（1） 2()3().fxbx由题意 ，代入上式，解之得：a=1，b=1 5,10（2）当 b=1 时， ()fx、23(1)0.xax因 故方程有两个不同实根 ,(42a2,不妨设 ，由 可判断 的符号如下：21x)()(21 xf)(xf当 ；当 ；当 时 ， 时 ，xf时 ，2)(xf因此 是极大值点， 是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数 总有两个不同1x2的极值点。题型四：利用导数研究函
11、数的图象1如右图：是 f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D )(/xf第 6 页 共 12 页）（A） （B） （C） （D）2函数 ( A )、143xyxyo4-4 2 4-42-2-2xyo4-4 2 4-42-2-2 xyy4o-4 2 4-42-2-26 66 6 yx-4-2o 42243方程 ( B )、)2,0(7623xA、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10,33)(2abxaxf（1）求函数 的单调区间、极值.f（2）若当 时，恒有 ，试确定 a 的取值范围.2,1axxf|)(|解：
12、（1） = ，令 得 2()43fx)a()0fx12,3ax列表如下：x （-，a） a （a，3a） 3a （3a，+）()f- 0 + 0 -xA极小 A极大 A 在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减()f时， ， 时， x34()fxba极 小 x()fxb极 小（2） ，对称轴 ，22f0121a 在a+1，a+2上单调递减 ()x ，2214()3Maxfaa22min()4()34f a第 7 页 共 12 页依题 ， 即|()|fxa|Maxfmin|fa|21|,4|a解得 ，又 a 的取值范围是4150,)5题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向
13、量 =( ,1). =( , ).a3b213（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 = +(t23) ， =-k +t ， ，xabyabxy试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1) ， =0 即 +(t2-3) (-k +t )=0. xy整理后得-k +t-k(t2-3) + (t2-3) =0 2aab2 =0， =4， =1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k= t(t2-3)b2 41(2)讨论方程 t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)= t(t2-3)与直线 y=k 的
14、交点个41数. 于是 f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 3令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 +F(t) 极大值 极小值 当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值= .21当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数 f(t)= t(t2-3)的图象如图 1321 所示，41可观察出：(1)当 k 或 k 时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；2第 8 页 共 12 页(2)当 k= 或 k= 时,方程 f(t)k=
15、0 有两解；21(3) 当 k 时,方程 f(t)k=0 有三解. 题型七：导数与不等式的综合 1设 在 上是单调函数.求实数 的取值范围；axfa3)(,0函 数 ),1a解：（1） 若 在 上是单调递减函数，则须,3(2axfy )(xf,1这样的实数 a 不存在.故 在 上不可能是单调递减函数.,3,2xy即 )f若 在 上是单调递增函数，则 ，)(f2x由于 .从而 0a3.,12xx故2已知 为实数，函数a23()(fxa（1）若函数 的图象上有与 轴平行的切线，求 的取值范围()fx（2）若 ， （）求函数 的单调区间0()fx（）证明对任意的 ，不等式 恒成立12(,0)x、 1
16、25|()|6fxf解： ，33()fa23(fa函数 的图象有与 轴平行的切线， 有实数解fxx)0fx， ，所以 的取值范围是2340a29aa32、， ， ，(1)0f4291()3()fxxx由 或 ；由,fx12x1()0,f的单调递增区间是 ；单调减区间为()f(,(,)2易知 的最大值为 ， 的极小值为 ，又fx51)f()fx149)6f7(08f第 9 页 共 12 页在 上的最大值 ，最小值()fx10、278M4916m对任意 ，恒有12,(,)12275|()|816fxf题型八：导数在实际中的应用1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度
17、 （千米/yx小时）的函数解析式可以表示为：318(012).280yxx已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，40x102.54要耗没 （升） 。31(408)2.5728（II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，x10x()hx依题意得3 211085()8). (012),280 4hxx322()().6464xx令 得0,h8.当 时， 是减函数；()x()
18、0,()hx当 时， 是增函数。,12当 时， 取到极小值80x()x(8)1.25h因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值。()h,答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。第 10 页 共 12 页题型九：导数与向量的结合1设平面向量 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k，使313(),().22ab， ， ，且 yxtsybktx,)(2（1）求函数关系式 ；()Sf（2）若函数 在 上是单调函数，求 k 的取值范围。t，1解：（1）).23,(),2
19、3(ba 10ab，2222 3,000xytkbstsaskabttftt又 ， 得（ ） （ ） ，即 （ ） -（ ） 。（ ） ， 故 （ ） 。（2） 上 是 单 调 函 数 ，） 在（且）（ 132f则在 上有,10)(）（或 tftf由 ；3)3(0)( min222 ktkktf由 。3tt因为在 t 上 是增函数，所以不存在 k，使 在 上恒成立。故 k 的取值,12 2t,1范围是 。 k一、选择题1. 一个物体的运动方程为 S=1+t+t2 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的st 3瞬时速度是（ ）A 米/秒 B 米/秒 C 米/秒 D 米/秒76582.
20、 已知函数 f(x)=ax2 c,且 =2,则 a 的值为（ ） (1)fA.1 B. C.1 D. 03 与 是定义在 R 上的两个可导函数，若 , 满足 ,则()fxg()fxg()fxg与 满足（ ）()A 2 B 为常数函数 fx()fxgC D 为常数函数0g第 11 页 共 12 页4. 函数 的递增区间是（ ）3yx=+A B C D )1,()1,(),(),1(5.若函数 f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且 f(b)0，则函数 f(x)在（a， b）内有（ ）A. f(x) 0 B.f(x) 0 C.f(x) = 0 D.无法确定6. =0是可导函数 y=f(x)
21、在点 x=x0处有极值的 ( )0()fxA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件7曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）3()2fx+-0p41yx=-0pA B 1,0(,8)C 和 D 和,4(1,)8函数 有 （ ） 3yA.极小值-1，极大值 1 B. 极小值-2，极大值 3 C.极小值-1，极大值 3 D. 极小值-2，极大值 29 对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）R()fx(1)0xfA B (0)21f02(C D )f10函数 的定义域为开区间 ，导函数 在xf ),(baxf内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极)
22、,(baxf),(ba小值点（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个1234二、填空题11函数 的单调区间为_.3yx12已知函数 在 R 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 . 3()faxa13.曲线 在点 处的切线倾斜角为_.xy43(1,)14.对正整数 ，设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，则数列nxyn2yna的前 项和的公式是 .1na三、解答题：15求垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程2610xy325yx abxy)(fO 第 12 页 共 12 页16如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？17已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是 ，请cbxaxf24)( (0,1)x2yx解答下列问题：（1）求 的解析式；)(fy（2）求 的单调递增区间。x18.已知函数 在 与 时都取得极值32()fxabxc231x（1）求 的值与函数 的单调区间,ab()f（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 1,2c19.已知 是函数 的一个极值点，其中 ，1x32()(1)fxmxn,0mnR（1）求 与 的关系式； mn（2）求 的单调区间；()f（3）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 m 的取值范1,x()yfx围.
