1、第 10 课时 抛物线（二）1(2018广东中山第一次统测) 过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点如果x1x 26，那么|AB|( )A6 B8C9 D10答案 B解析 |AB|AF|BF|x 1x 2p8.故选 B.2若抛物线 y4x 2 上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是( )A( ，1) B(0，0)12C(1，2) D(1 ， 4)答案 A解析 设与直线 y4x5 平行的直线为 y4xm ，由平面几何的性质可知，抛物线 y4x 2 上到直线y4x5 的距离最短的点即为直线 y4xm 与抛物线相切的点而对 y4x 2 求
2、导得 y8x，又直线y4xm 的斜率为 4，所以 8x4，得 x ，此时 y4( )21，即切点为( ，1)，故选 A.12 12 123(2017北京东城期末)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是原点，如果|BF|3，|BF|AF|，BFO ，那么|AF|的值为( )23A1 B.32C3 D6答案 A解析 由已知直线的斜率为 k ，则方程为 y (x )，联立方程 得 3x25px 0，3 3p2 y 3（x p2），y2 2px， ) 3p24即(2x3p)(6x p)0.因为|BF|AF|，所以 xB p，x A ，依题意 xB 2p3，所
3、以 p ，则|AF|x A p1.故选 A.32 p6 p2 32 p2 234(2018广东汕头第三次质检) 已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，与直线 y2x4 交于 A，B 两点，则cosAFB( )A. B.45 35C D35 45答案 D解析 抛物线 C：y 24x 的焦点为 F， 点 F 的坐标为(1，0) 又直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，A， B 两点坐标分别为 (1，2)，(4 ，4)，则 (0 ，2)， (3，4) ， cosAFB .故FA FB FA FB |FA |FB | 810 45选 D.5(2018河南四校联考)设 O 为坐标原点，P 是以
4、 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF上的点，且|PM|2|MF| ，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B.33 23C. D122答案 C解析 由题意可得 F( ，0)设 P( ，y 0)，当 y00 时，k OM0.要求 kOM 的最大值，p2 y022py00. ( ) ( ， )，k OM OM OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF y026p p3 y03y03y026p p3 2y0p 2py0 ，当且仅当 y02 2p2，即 y0 p 时取得等号故选 C.22y0p2py0 22 26(2018广西玉林期末)从
5、抛物线 y24x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA，PB，A，B 为切点若直线 AB 的倾斜角为 ，则 P 点的纵坐标为( ) 3A. B.33 233C. D2433 3答案 B解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(1，y) ，则 kAB .y1 y2x1 x2 4y1 y2直线 AB 的倾斜角为 ， ，y 1y 2 .3 4y1 y2 3 433切线 PA 的方程为 yy 1 (xx 1)，切线 PB 的方程为 yy 2 (xx 2)，即切线 PA 的方程为2y1 2y2y x y1，切线 PB 的方程为 y x y2.2y1 12 2y2 12y1， y
6、2 是方程 t22yt4x0 两个根， y1y 22y .y .故选 B.433 2337(2018石家庄市高三检测) 已知圆 C1：x 2(y 2) 24，抛物线 C2：y 22px(p0)，C 1 与 C2 相交于 A，B 两点，且|AB| ，则抛物线 C2 的方程为( )855Ay 2 x By 2 x85 165Cy 2 x Dy 2 x325 645答案 C解析 由题意，知直线 AB 必过原点，则设 AB 的方程为 ykx(k0)，圆心 C1(0，2)到直线 AB 的距离 d ，解得 k2.由 可取 A(0，0) ，B( ， )，把( ， )代入抛物2k2 1 22 （455）2 2
7、55 y 2x，x2 （y 2）2 4，) 85 165 85 165线方程，得( )22p ，解得 p ，所以抛物线 C2 的方程为 y2 x，故选 C.165 85 165 3258直线 l 与抛物线 C：y 22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率 k1，k 2 满足k1k2 ，则直线 l 过定点( )23A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0 ， 3)答案 A解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为 k1k2 ，所以 .又 y122x 1，y 222x 2，所以 y1y26.将直线23 y1x1y2x2 23l：xmyb 代入抛物线
8、 C：y 22x 得 y22my2b0，所以 y1y22b6，所以 b3，即直线l：xmy3，所以直线 l 过定点(3，0)9.(2017湖南益阳模拟)如图所示，已知直线 l：yk(x 1)(k0)与抛物线 C：y 24x 相交于A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M，N，若|AM| 2|BN| ，则 k的值是( )A. B.13 23C. D2223 2答案 C解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组 消去 x，得 ky24y4k0.y2 4x，y k（x 1），)因为直线与抛物线相交，所以有4 2 4k4k16(1 k 2)0.(*)y1，
9、y 2 是方程的两个根，所以有 Error!y1 y2 4k，y1y2 4. )又因为|AM|2|BN|，所以 y12y 2.解由组成的方程组，得 k .223把 k 代入(*)式检验，不等式成立所以 k ，故选 C.223 22310(2017威海一模)过抛物线 C：y 22px(p0) 上一定点 P(x0，y 0)(y00)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线 C 于 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，若直线 PA，PB 关于直线 xx 0 对称，则 log2|y1y 2|log 2y0 的值为( )A1 B1C D无法确定12答案 A解析 设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 P
10、B 的斜率为 kPB.由 y122px 1，y 022px 0 相减得(y 1y 0)(y1y 0)2p(x 1x 0)，故 kPA (x1x0)同理可得 kPB (x2x 0)若直线 PA，PB 关于直线y1 y0x1 x0 2py1 y0 2py2 y0xx 0 对称，则 PA，PB 的倾斜角互补故 kPAk PB，即 .所以 y1y 22y 0，故2py1 y0 2py2 y02，故 log2|y1y 2|log 2y01.故选 A.y1 y2y011(2018东城区期末)已知抛物线 C1：y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y 21 的右焦点的连线交 C1 于12p x23第一象限
11、的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p( )A. B.316 38C. D.233 433答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0， )，双曲线焦点坐标为 (2，0)，所以两个焦点连线的直线p2方程为 y (x2)设 M(x0，y 0)，则有 y x0 x0 p.因为 y0 x02，所以 y0 .又 M 点在抛物p4 1p 33 33 12p p6线的切线上，即有 ( p2)p ，故选 D.p6 p4 33 43312(2017浙江杭州七校模拟质量检测) 抛物线 y24x 的焦点为 F，过点(0，3)的直线与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB
12、的垂直平分线交 x 轴于点 D，若|AF| |BF| 6，则点 D 的坐标为_答案 (4，0)解析 设直线 AB 的方程为 ykx3，代入抛物线 y24x，整理得 k2x2(6k4)x90.设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则 x1x 2 ，由|AF|BF|6，得(x 1 )(x 2 )6k 4k2 p2 p2x 1x 2p 26，解得 k2，k (舍去)，6k 4k2 12所以线段 AB 的中点为(2， 1)，线段 AB 的垂直平分线方程为 y1 (x2)，令 y0，得 x4.故点 D 的12坐标为(4，0) 13(2018郑州质检)设抛物线 y216x 的焦点为 F，经过点 P
13、(1，0)的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 2 ，则|AF|2|BF|_BP PA 答案 15解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)P(1，0) ， (1x 2，y 2)， (x 11，y 1)BP PA 2 ，2(1x 2，y 2)(x 11，y 1)，BP PA x1 2x23，2y 2y 1.将 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)代入抛物线方程 y216x，得y1216x 1，y 2216x 2.又2y 2y 1，4x 2x 1.又 x12x 23，解得 x2 ，x 12.12|AF|2|BF| x142(x 24)242( 4) 15.1214等腰直角三角形
14、 AOB 内接于抛物线 y22px(p0) ， O 为抛物线的顶点，OAOB，AOB 的面积是16，抛物线的焦点为 F.若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为_|OM|MF|答案 233解析 设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y122px 1，y 222px 2.由|OA|OB|，得x12y 12x 22y 22，x 12x 222px 12px 20，即(x 1x 2)(x1x 22p) 0.x10，x 20，2p0，x 1x 2，即点 A，B 关于 x 轴对称设直线 OA 的方程为 yx，与抛物线方程联立，解得 或x 0，y 0，) x 2，
15、y 2p，)|AB|4p，S OAB 2p4p4p 2.12AOB 的面积为 16，p2.焦点 F(1，0) 设 M(m，n)，则 n24m，m0，设点 M 到准线 x1 的距离等于 d，则 .|OM|MF| |OM|d m2 4mm 1令 m1t，t1，则 mt 1， (当且仅当 t3 时，等号成立) 的最大值|OM|MF| 3（1t 13）2 43 233 |OM|MF|为 .23315(2018河北唐山一中期末) 已知抛物线 C：x 22py(p0)，圆 O：x 2y 21.(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆上，且 A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；(2)若直线 l 与抛物
16、线 C 和圆 O 分别相交于点 M，N ，求|MN|的最小值及相应 p 的值答案 (1) 1 (2)2 5 2 3解析 (1)由题意得 F(0，1) ， C：x 24y.解方程组 得 yA 2，|AF| 1.x2 4y，x2 y2 1，) 5 5(2)设 M(x0，y 0)，则切线 l：y (xx 0)y 0，整理得 x0xpypy 00.x0p由|ON| 1 得|py 0| ，x02 p2 2py0 p2p 且 y0210.2y0y02 1|MN|2|OM| 21x 02y 0212py 0y 021 y 0214 (y 021)8，当且仅当 y04y02y02 1 4y02 1时等号成立3
17、|MN|的最小值为 2 ，此时 p .2 316.(2018江西九江一模)已知抛物线 E：y 22px(p0)的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 的 4直线 l 被 E 截得的线段长为 8.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过点 F，且圆 C 与直线 x 相交于12A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围答案 (1)y 24x (2)|FA|FB| 3，)解析 (1)由题意，直线 l 的方程为 yx .联立 消去 y 整理得 x23px 0.设直线 l 与抛物线p2 y x p2，y2 2px，) p24E 的交点的横坐标分别为 x1，x 2，则
18、 x1x 23p，故直线 l 被抛物线 E 截得的线段长为 x1x 2p4p8，得 p2，抛物线 E 的方程为 y24x.(2)由(1)知，F(1，0)，设 C(x0，y 0)，则圆 C 的方程是(xx 0)2(y y 0)2(x 01) 2y 02.令 x ，得 y22y 0y3x 0 0.12 34又y 024x 0，4y 0212x 03y 0230 恒成立设 A( ，y 3)， B( ，y 4)，则 y3y 42y 0，y 3y43x 0 .12 12 34|FA|FB| y32 94 y42 94（y3y4）2 94（y32 y42） 8116（3x0 34）2 944y02 2（3
19、x0 34） 8116 3|x 01|.9x02 18x0 9x0 0， |FA|FB|3，)1(2018南昌一模)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x1x 24 |AB|，则AFB 的最大值为( )233A. B. 3 34C. D.56 23答案 D解析 因为 x1x 24 |AB|，|AF| |BF|x 1x 24，所以|AF|BF| |AB|.在AFB 中，由余弦定理233 233得 cosAFB 1 1.又|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| （|AF| |BF|）2 2|AF|BF| |AB|22|
20、AF|BF| 43|AB|2 |AB|22|AF|BF| 13|AB|22|AF|BF|AF|BF| |AB|2 ，当且仅当|AF| |BF|时等号成立，所以|AF|BF| |AB|2，所以 cosAFB233 |AF|BF| 131 ，所以 AFB ，即AFB 的最大值为 .13|AB|2213|AB|2 12 23 232(2017辽宁五校期末联考) 已知 AB 是抛物线 y22x 的一条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )A2 B.12C. D.32 52答案 C解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，|AB|4，x 1 x 2 4 ， x1x 23.12
21、 12C 点横坐标为 ，故选 C.323(2017东北三校)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)在抛物线上，且 2x2x 1x 3，则有( )A|FP 1|FP 2|FP 3| B|FP 1|2|FP 2|2|FP 3|2C2|FP 2|FP 1|FP 3| D|FP 2|2|FP 1|FP3|答案 C解析 抛物线的准线方程为 x ，由定义得|FP 1|x 1 ，|FP 2|x 2 ，|FP 3|x 3 ，则|FP 1|FP 3|x 1p2 p2 p2 p2x 3 x 1x 3p，2|FP 2|2x 2p，由 2x
22、2x 1x 3，得 2|FP2|FP 1|FP 3|，故选 C.p2 p24(2017豫晋冀三省一调)设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是抛物线上一点，若直线 PF 的倾斜角为 120，则|PF|等于( )A2 B.83C3 D.103答案 B解析 设 P(x，y)，PAl，A 为垂足，取 l 与 x 轴的交点为 B.在 RtABF 中，AFB 30 ，BF 4，则|AB|y| ，即有 8x ，可得 x ，|PF| 2 .43 163 23 23 835已知抛物线 y24x，过点 P(4，0)的直线与抛物线交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则 y12y 22
23、的最小值是_答案 32解析 设直线方程为 xky4，与抛物线联立得y24ky160，y 1y 24k ，y 1y216.y12y 22(y 1y 2)22y 1y2 16k232.故最小值为 32.6已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|2，则|BF|_答案 2解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1，0)，p2.由 ，即 ，|BF|2.1|AF| 1|BF| 2p 12 1|BF| 228.如图所示，斜率为 1 的直线过抛物线 y22px(p0) 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，M为抛物线弧 AB 上的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2
24、)求 SABM 的最大值答案 (1)y 24x (2) p22解析 (1)由条件知 lAB：yx ，与 y22px 联立，消去 y，得 x23px p20，则 x1x 23p.由抛物线定p2 14义得|AB|x 1x 2p4p.又因为|AB|8，即 p2，则抛物线的方程为 y24x.(2)方法一：由(1) 知|AB|4p，且 lAB：yx ，设 M( ，y 0)，则 M 到 AB 的距离为 d .p2 y022p |y022p y0 p2|2因为点 M 在直线 AB 的上方，所以 y 0 0，y022p p2则 d |y022p y0 p2|2 y022p y0 p22 . y02 2py0 p222p （y0 p）2 2p222p当 y0p 时，d max p.22故 SABM 的最大值为 4p p p2.12 22 2方法二：由(1)知|AB|4p，且 lAB：yx ，设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 yxm，代p2入抛物线方程，得 x22(mp)xm 20.由 4(mp) 24m 20，得 m .与直线 AB 平行且与抛物线相切p2的直线方程为 yx ，两直线间的距离为 d p，p2 |p2 p2|2 22故 SABM 的最大值为 4p p p2.12 22 2
