1、第 9 课时 抛物线（一）1抛物线 x2 y 的焦点到准线的距离是( )12A2 B1C. D.12 14答案 D解析 抛物线标准方程 x22py(p0) 中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又 p ，故选 D.142过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是 ( )Ay 2 x 或 x2 y By 2 x 或 x2 y92 43 92 43Cy 2 x 或 x2 y Dy 2 x 或 x2 y92 43 92 43答案 A解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my ，代入点 P(2，3)，解得 k ，m ， y2 x 或 x292 43 92y，选 A.433若抛物线 yax
2、 2 的焦点坐标是(0，1) ，则 a( )A1 B.12C2 D.14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为 x2 y，所以其焦点坐标为(0， )，则有 1，a ，故选 D.1a 14a 14a 144若抛物线 y22px 上一点 P(2，y 0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( )Ay 24x By 26xCy 28x Dy 210x答案 C解析 抛物线 y22px，准线为 x .p2点 P(2，y 0)到其准线的距离为 4，| 2|4.p2p 4， 抛物线的标准方程为 y28x.5已知点 A( 2，3) 在抛物线 C：y 22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF
3、的斜率为( )A B143C D34 12答案 C解析 因为点 A 在抛物线的准线上，所以 2，所以该抛物线的焦点 F(2，0) ，所以 kAF .p2 3 0 2 2 346(2018衡水中学调研卷)若抛物线 y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线的方程为( )Ay 24x By 236xCy 24x 或 y236x Dy 28x 或 y232x答案 C解析 因为抛物线 y22px(p0) 上一点到抛物线的对称轴的距离为 6，所以若设该点为 P，则 P(x0，6)因为 P 到抛物线的焦点 F( ，0)的距离为 10，所以由抛物线的定义得 x0 10
4、 .因为 P 在抛物线上，所以p2 p2362px 0 .由解得 p2，x 09 或 p18，x 01，则抛物线的方程为 y24x 或 y236x.7(2016课标全国)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 ，|DE| 2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0) ，由|AB|4 ，|DE| 2 ，可取 A( ，2 )，D( ， )，2 54p 2 p2 5设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得 8 5，得 p4，所以选 B.16p2 p248(2
5、018吉林长春调研测试) 已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A. B2355C. D3115答案 B解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值是 2，故选 B.|4 0 6|59点 A 是抛物线 C1：y 22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物
6、x2a2 y2b2线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于( )A. B.2 3C. D.5 6答案 C解析 求抛物线 C1：y 22px(p0)与双曲线 C2： 1(a0，b0)的一条渐近线的交点为 解得x2a2 y2b2 y2 2px，y bax，)所以 ，c 2 5a2，e ，故选 C.x 2pa2b2，y 2pab，) 2pa2b2 p2 510(2013课标全国，理)设抛物线 C：y 22px(p0) 的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为 ( )Ay 24x 或 y28x By 22x 或 y28xCy
7、 24x 或 y216x Dy 22x 或 y216x答案 C解析 方法一：设点 M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得 |MF|x 0 5，则 x05 .p2 p2又点 F 的坐标为( ，0)，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x x 0)(x )(y y 0)y0.p2 p2将 x0，y2 代入得 px084y 00，即 4y 080，所以 y04.y022由 y022px 0，得 162p(5 )，解之得 p2 或 p8.p2所以 C 的方程为 y24x 或 y216x.故选 C.方法二：由已知得抛物线的焦点 F( ，0)，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y 0)，
8、则 ( ，2)， (p2 AF p2 AM ，y 02)y022p由已知得， 0，即 y028y 0160，因而 y04，M( ，4)AF AM 8p由抛物线定义可知：|MF| 5.8p p2又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C.11(2018合肥质检)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( )A B13C D34 33答案 A解析 设 M(xM，y M)，由抛物线定义可得|MF|x M 2p，解得 xM ，代入抛物线方程可得 yM p，p2 3p2 3则直线 MF 的斜率为 ，选项 A 正确yMxM p2 3pp 312(2018
9、太原一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 FA FB 0，则 ( )FC 1kAB 1kBC 1kCAA0 B1C2 D2p答案 A解析 设点 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，C(x 3，y 3)，F( ，0)，则(x 1 ，y 1)(x 2 ，y 2)(x 3 ，y 3)(0 ，0)，p2 p2 p2 p2故 y1y 2y 30. ，同理可知1kAB x2 x1y2 y1 12p（y22 y12）y2 y1 y2 y12p ， ， 0.1kBC y3 y22p 1kCA y3 y12p 1kAB 1kBC 1kCA 2（y1 y2 y
10、3）2p13(2018河南新乡第一次调研) 经过抛物线 y28x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为_答案 3解析 圆心是 x1 与抛物线的交点r123.14(2018福建闽侯三中期中) 已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PAl于点 A，当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_答案 43解析 设 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB 30，|BF|2，所以|AB| .设 P(x0，y 0)，则 x0233，代入 x24y 中，得 y0 ，从而|PF|PA| y 01 .233 13 4315已知定点 Q(2，1) ，F 为
11、抛物线 y24x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ| |PF| 取最小值时，P 的坐标为_答案 ( ，1)14解析 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即D，P，Q 三点共线时|PQ| |PF|最小将 Q(2，1) 的纵坐标代入 y24x 得 x ，故 P 的坐标为( ，1) 14 1416.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降1 米后，水面宽_米答案 2 6解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x22py(p0) ，由点(2，2) 在抛物线上，可得 p1，
12、则抛物线方程为 x22y.当 y3 时，x ，6所以水面宽为 2 米617抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为 y2x，斜边长为 5 ，求此抛物线方程13答案 y 24x解析 设抛物线 y22px(p0) 的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA 所在直线方程为 y2x，另一直角边所在直线方程为 y x.12解方程组 可得点 A 的坐标为 ；y 2x，y2 2px，) (p2，p)解方程组 可得点 B 的坐标为(8p，4p) y 12x，y2 2px，)|OA|2|OB| 2 |AB|2，且|AB| 5 ，13 (64p 216p 2)325
13、.(p24 p2)p 2， 所求的抛物线方程为 y24x.18(2018上海春季高考题)利用 “平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥 )在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示，图 2 是投影射出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯投影的直观图，在图 2 与图 3 中，点 O、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C，AB3 米，OC4.5 米(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图 3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 SD，AB、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到 0.01)答案
14、(1) (2)9.5914解析 (1)如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 y 轴，建系B(1.5，4.5)设抛物线方程为 x22py.点 B(1.5，4.5)在抛物线上p .焦点到准线距离为 .14 14(2)如图，C 为 DE 中点，OC SD，O 为 SE 中点SCDE，OC 4.5，SE2OC9.DEAB3，CE1.5.sinCSE 0.167.CESE 1.59SCE9.59.圆锥的母线与轴的夹角约为 9.59.1抛物线 y4x 2 关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是( )Ay1 By116Cx1 Dx116答案 D解析 抛物线 x2 y 的准线方程为 y ，关于 x
15、y 对称的准线方程 x 为所求14 116 1162已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3172C. D.592答案 A解析 抛物线 y22x 的焦点为 F( ，0)，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的12距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0 ，2)的距离，因此所求的最小值等于
16、 ，选 A.（12）2 （ 2）2 1723抛物线 y4ax 2(a0)的焦点坐标是( )A(0，a) B(a，0)C(0， ) D( ，0)116a 116a答案 C解析 抛物线方程化标准方程为 x2 y，焦点在 y 轴上，焦点为(0， )14a 116a4已知点 A( 2，3) 在抛物线 C：y 22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( )A. B.12 23C. D.34 43答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解抛物线 y22px 的准线为直线 x ，而点 A(2，3) 在准线上，所以 2，即 p4，从
17、而p2 p2C：y 28x，焦点为 F(2，0)设切线方程为 y3k(x2) ，代入 y28x 得 y2y2k30(k0).由于k8 14 (2k3)0，所以 k2 或 k .因为切点在第一象限，所以 k .k8 12 12将 k 代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线 BF 的斜率为 12 86.435(2018海口一模)过点 F(0， 3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( )Ay 212x By 212xCx 212y Dx 212y答案 D6(2018湖北黄冈中学检测) 若坐标原点到抛物线 ymx 2 的准线的距离为 2，则
18、实数 m( )A8 B8C D14 18答案 D解析 x 2 y，故由题意可得 2，所以 m .1m 14|m| 187(2018江西吉安一中期中) 已知抛物线 x24y 的焦点为 F，其上有两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)满足|AF|BF|2，则 y1x 12y 2x 22( )A4 B6C8 D10答案 D解析 |AF|BF| 2， y11(y 21)2，y 1y 22，所以 y1x 12y 2x 225(y 1y 2)10，故选 D.8(2018云南昆明适应性检测) 已知抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F，点 A，B 在 C 上，且点 F 是AOB的重心，则 co
19、sAFB 为( )A B35 78C D1112 2325答案 D解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由重心坐标公式得 ，y 1y 20，故 A，B 关于 x 轴对称，则x1 x23 p2x1x 2 p，所以|AF|BF| p p，|AB| 26p 2，所以由余弦定理可得34 34 p2 54cosAFB ，故选 D.|AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| 23259(2018湖南郴州第二次质检) 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，则这个正三角形的边长为( )A2 p B2p3C4 p D4p3答案 C解析 抛物线 y
20、22px 关于 x 轴对称，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，则 A，B 关于 x 轴对称，如图所示， 直线 OA 的倾斜角为 30，斜率为 ，直线 OA 的方33程为 y x，由 得 A(6p，2 p)，则 B(6p，2 p)，|AB|4 p， 这个正三角形33 y 33x，y2 2px，) x 6p，y 23p，) 3 3 3的边长为 4 p.故选 C.310(2016浙江，理)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_答案 9解析 由于抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线为 x1，设点 M 的坐标
21、为(x ，y)，则 x110，所以x9.故 M 到 y 轴的距离是 9.11在抛物线 y24x 上找一点 M，使|MA|MF|最小，其中 A(3，2)，F(1，0) ，求 M 点的坐标及此时的最小值答案 M(1，2)，最小值为 4解析 如图点 A 在抛物线 y24x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA| |MH|，其中|MH|为 M 到抛物线的准线的距离过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B，则|MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点 M 在 M1 的位置时等号成立此时 M1 点的坐标为(1，2)12(2018黑龙江大庆一模)已知圆 x2y 2mx 0 与抛物
22、线 y24x 的准线相切，则 m_14答案 34解析 圆 x2y 2mx 0 圆心为( ，0) ，半径 r ，抛物线 y24x 的准线为 x1.由14 m2 m2 12| 1| ，得 m .m2 m2 12 3413一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为 36 ，3则 a_答案 2 3解析 设正三角形边长为 x，则 36 x2sin60.312x 12.当 a0 时，将(6 ，6)代入3y2ax 得 a2 .3当 a0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB 中点的纵坐标为 6，求抛物线方程答案 x 22y 或 x24y解析 x 22py
23、 变形为 y x2，12py .设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，xpy|xx 1 .x1p切线 AM 方程为 yy 1 (xx 1)x1p即 y x .同理 BM 方程为 y x .x1p x122p x2p x222p又(2，2p) 在两条直线上， 2p ，2p .2x1p x122p 2x2p x222px1， x2 是方程 2p 0 的两根x22p 2xp即 x24x4p 20.x 1x 24，x 1x24p 2.y1 y2 (x12x 22)12p (x1x 2)2 2x1x2 (168p 2)12p 12p又线段 AB 中点纵坐标为 6，y1 y212，即 (168p 2)12.12p解得 p1 或 p2.抛物线方程为 x22y 或 x2 4y.
