1、“抛物线及其标准方程” （第一课时）教学设计北京四中顺义分校（原顺义十中） 吴从兵一、指导思想与理论依据：1、指导思想：数学课程标准明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式.”并且把过程性目标确定为“经历” 、“体验”和“探索”三个方面.要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学.2、理论依据：建构主义学习理论认为，个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经
2、验、信念、个性、情感等都不同程度地参与其中；学习不仅是个体的活动，而且也是在与他人的交互作用中实现地，是一种与他人互助合作的社会活动.所以，建构主义不仅强调在“学习共同体”中成员之间交流合作的重要性，还强调了学习的主动性、真实性、社会性、情境性和多元性.杜威的“教育即生活”理论也昭示了教育的生活意义.因此新课程背景下的课程应与学生的生活、经验相联系，将教学内容纳入学生与自然的关系、学生与社会的关系、学生与自我的关系以及学生与文化的关系中，引导学生在习得书本知识的同时，形成对待生活世界中各种问题的良好的情感、态度和价值观.基于此，本节课教学从学生熟悉的生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉
3、的纵截面等图片以及一元二次函数 的图像出发，让学生感知抛物线的重要应用.通过数学实2(0)yax验探索抛物线上点的几何特征，通过自主探索与合作交流探究抛物线的方程来理性解释方程的图像就是抛物线，从而完成了对新知从感知到认识与理解的探究过程，最终完善2(0)yax了对新知的认知结构.二、教学背景分析1学习内容分析本节课是人民教育出版社出版的 A 版数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程 第 3 节抛物线及其标准方程 （第一课时）.本节课的重点内容分为两部分：一是抛物线的定义，二是抛物线的标准方程.教材由实例引入抛物线，并给出了抛物线的定义，这是本节课的重点之一.教材接着推导出了1抛物线的标准方程
4、，这是本节课的另一个重点.由于建立直角坐标系的方法不同，相应的抛物线的标准方程也不同，共有四种.教材重点介绍了焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程，它是学习抛物线的性质及其应用的基础.本节课的难点是抛物线标准方程的推导.教材贯彻了研究解析几何的基本方法解析法，同时渗透了数形结合的数学思想.在教材处理上，本节课列举了一些与实际生活联系的素材，通过数学实验，创设使学生主动参与的情境.抛物线概念的引入从感性知识入手，借助几何直观，运用逐步抽象的方法进行，比较适应学生的认知水平和思维能力.通过小组探究活动使学生总结出推导抛物线方程的最优建系方案.以问题“一元二次函数 的图像为什么是抛物线？”为主线
5、，激发学生的求知欲望，调2(0)yax动学生学习的积极性.2学生情况分析本节课的授课对象是顺义区第十中学高二年级的学生，数学基础较差，学习的积极性及主动性不够.当然学生已经有了学习椭圆、双曲线的经验，具备了一定的观察、分析、概括、推理和探索的能力及研究方法.学生可将这些经验迁移到抛物线的学习中来.3前期教学状况、问题及对策在前期的学习中，椭圆、双曲线的定义讨论的是到两定点距离之和与之差的问题，而抛物线讨论的是动点到定点与到定直线的距离相等的关系问题.学生在概括抛物线的定义时会受到椭圆、双曲线的定义同化的影响.为了促进学生思维的发展，本节课中可引导学生在电脑上动画试验，得出抛物线的定义.这样，学
6、生在探索和实验中可体会数学概念的形成过程，加深对抛物线的理解.同时，通过教师创设的“问题连续体”的学习环境，学生能积极主动地、充满自信地学习数学，并通过相互合作去解决所面临的问题，从而获得成功的体验，促进对知识的掌握、理解和运用.4教学策略本节课整合了建构主义中的抛锚式教学理论与认知派心理学家杰罗姆布鲁纳的“发现学习”理论.抛锚式教学的主要目的是使学生在一个完整的、真实的问题情境中（如本节问题：一元二次函数 的图像为什么是抛物线？） ，产生学习的需要，并通过学习共同体中成员间的2(0)yax互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、生成学习，亲身体验从识别目标到提出和达到目标的全过程.通过能
7、够引起学生强烈的学习动机和主动的探究性活动，引发教师学生的相互交流，最终生成对知识的新的洞察和理解.5教学方式与教学手段本节课采用的是“引导发现” 、 “讨论交流” 、 “合作探究”相结合的教学方式.在学生概括抛2物线的定义时，采用的是“引导发现”的教学方法，以引导学生归纳、抽象、概括.在推导抛物线的方程时，采用的是“讨论交流” 、 “合作探究”的教学方法，及“观察分析综合”的学习方法，引导学生思考、讨论，形成自己的看法，并在学生的交流中，使学生学会聆听，学会整理自己的思路，学会恰当地表达自己的思想，从交流中获取对新知的认识与理解.通过几个探究活动的设置，逐步完成对知识的主动建构过程.6媒体资
8、源的运用为了突出重点，突破难点，本节课使用的媒体资源主要是几何画板课件.课件的制作力求将学生的思维过程考虑到位.一是利用动画演示抛物线的动态生成过程，以利于学生概括抛物线的定义；二是利用动画演示直角坐标系的移动，渗透解析法的思想.三、教学目标设计1知识与技能：（1）理解抛物线的定义，能用抛物线的定义判断曲线的形状.掌握抛物线的标准方程及其推导；（2）了解抛物线标准方程中 P 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题. 2过程与方法：（1）通过数学实验活动，加深学生对抛物线概念的理解；（2）引导学生的思维由问题开始，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，逐步培养学生发现问题、探索问题、解
9、决问题的能力；（3）通过抛物线标准方程的推导，让学生进一步感受解析法及数形结合的思想. 3、情感态度与价值观：（1）通过学生在活动中的探索、交流，体验成功与提升的喜悦，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣；（2）通过对问题的讨论，培养学生清晰地表达自己的思维过程与科学求真的精神.3演示抛物线的形成开始定义正确？板书定义推导抛物线方程应用小结结束学生讨论四、教学流程设计：否是是 否 y=ax2 图像点满足定义？4五、教学过程设计：教学阶段教师活动 学生活动 设计意图(一)创设情境，引出课题【演示】向学生展示生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数 的图像.
10、2(0)yax【设问】初中老师告诉同学们一元二次函数 的图像是抛物线，但一元二2(0)yax次函数 的图像为什么是抛物线而不是双曲线的一支呢？那满足什么条件的点的轨迹是抛物线？【板书】2.3.1 抛物线及其标准方程观察思考初中老师只是直观的告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，但并没有证明为什么一元二次函数的图像是抛物线.通过问题导入，激发学生求知的欲望.(二)直观演练，概括定义【演示】用几何画板画图，如图，点F 是定点，直线 L 是不经过点 F 的定直线.H 是L 上任意一点，过点 H 作 MHL，线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M，拖动点 H，观察点 M的轨迹.你能发现点 M
11、 满足的几何条件吗？【设问】动点 M 在运动中如果总满足，我们把点 M 的轨迹叫抛物FH线.那么如何用文字语言给抛物线下定义呢？观察思考：点 M 在运动中总满足 FH讨论、概括、修正：平面内与一个定点F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛用动画演示抛物线的形成过程，使学生真正看到了“轨迹” ，突出了轨迹点的几何特性.不仅利于学生概括抛物线的定义，也为后面求抛物线的轨迹方程作了“铺垫”培养学生观察概括的能力和数学语言的表达能力7(二)直观演练，概括定义(三)合作交流，推导方程【板书】一、抛物线的定义：1、平面内与一个定点 F 和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.2、抛物线就是点的集合
12、： P=MH3、定点 F 叫抛物线的焦点.定直线 L 叫做抛物线的准线.【反思】在抛物线定义中，要注意定点 F不在定直线 L 上. 若定点 F 在定直线 L 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？【演示】用几何画板演示点 F 无限趋近直线 L.【设问】通过定义能解释一元二次函数的图像为什么是抛物线吗？2(0)yax【设问】如何求出抛物线的方程？【板书】已知：抛物线的焦点为 F，准线为 L，求：抛物线的方程物线.整理笔记此时动点的轨迹退化为过 F 点且与直线 L垂直的一条直线不能解释，应探究抛物线的方程，通过曲线方程的代数形式来解释方程所表示的几何图形学生类比椭圆与双曲线方程的推导过程，讨论建立直角坐
13、标系的方法小组 1以 K 为原点，定直线 L 所在的直线为 Y 轴建立平面直角重点知识强调落实注意培养学生文字语言、符号语言与图形语言的相互转化教学中注重及时反思小结，在反思中产生感悟，培养学生思维的严密性.通过设问，承上启下，激发学生探究抛物线的方程，通过曲线方程的代数形式来解释代数方程所表示的几何图形培养学生类比迁移的能力8(三)合作交流，推导方程(三)【提示】作为已知条件，焦点 F 到准线 L 的距离可以假设为 ；Kp从已知条件看，一般我们可以怎样建立直角坐标系？【板书】 的几何意义是焦点到准线的距p离.教师巡视，总结不同的建立直角坐标系的方案，分小组推导抛物线的方程.相比之下,那个方程
14、更为简洁?【结论】小组 3 为最恰当的建系方法,所得方程最简洁.【反思】建系方案的合理性.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.通过实物演示仪展示小组 3 的推导过程【探究】方程 为所求抛20ypx物线的方程么？坐标系，可推导出方程： 220ypxLHKF xyM小组 2以 F 为原点，过 F 且垂直于定直线 L 的直线为 x 轴可推导出方程： 220ypx LHKF1 xyM小组 3 以线段KF 的中点为原点,直线KF 为 x 轴,可得推导出方程： 20ypLHK
15、F xyM第 3 小组代表汇报由推导过程可知抛物线上任意一点的坐标满足方程；反之，可证以方程的解为坐标的点都在培养学生自主探究与合作交流的意识.组与组之间质疑、论证，分享团体协作的乐趣.小组派代表汇报本小组的成果，培养学生的语言表达与团队合作的意识.了解曲线与方程的“完备性”与“纯粹性” ，渗9合作交流，推导方程【板书】二、抛物线的标准方程【设问】抛物线的开口方向还有几种情况？你能得出它们的方程吗？在学生探究的基础上，师生共同完成下表【演示】计算机展示图表【反思】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，可以总结出哪些结论？抛物线上.探究其他三种形式的方程并整理笔记观察、
16、归纳，寻找抛物线四个标准方程的联系与区别方程的一次项决定焦点的位置.一次项系数的符号决定开口方向.透“数”与“形”的矛盾与统一.培养学生把握事物的全面性与多样性，并学会用对称与类比的方法解决问题.计算机展示图表，总结四种形式抛物线标准方程，使本节的知识系统化.通过口诀强化学生区别并记忆抛物线的四个标准方程.(三)实践探索，形成【演示】例.已知抛物线的标准方程是 ，求它26yx的焦点坐标和准线方程.例 2根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是 F（3，0） ；（2）准线方程是 ；14x求解作答学生分组解答 巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式.注意图形在解题过程中的作用，渗透数形
17、结合的思想.标准方程 图形 焦点 准线2ypx0,02px2,2xpy00,2py2,10能力（3）焦点到准线的距离是 2.(四)练习巩固，加深理解由学生完成以下题目 练习 A 组求下列抛物线的焦点坐标和准线方程210yx2yx35480练习 B 组求过点 A（-3，2）的抛物线的标准方程.学生板演、口答B 组题对学生思维水平要求较高，针对学生素质的差异，使学有余力的同学有所提高，培养学生分类讨论的数学思想.(五)课堂小结【设问】通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？通过本节课的学习，你学会了用哪些数学思想与方法解决问题？通过本节课的学习，你有哪些体会？通过抛物线概念和抛物线标准方程的学习，在
18、对事物由感性上升到理性的过程中，要学会数与形结合，要有勇于探索、严密细致的科学态度.学生回答、补充知识方面：抛物线的定义，抛物线的四种标准方程及其对应的焦点、准线等内容；数学思想方法方面：解析法、函数与方程、数形结合、分类讨论等内容；科学求真的精神等内容.进一步巩固抛物线的知识；及时反思小结，在反思中产生感悟，学会用数学思想方法解决问题，培养学生的口头表达能力，培养学生思维的严密性.(六)作业课本 P119 1、 2、 4 课下完成 进一步巩固抛物线相关知识与数学思想方法11六、板书设计2.3.1 抛物线及其标准方程一、知识点：（一）抛物线的定义：1、文字定义：2、符号定义：3、焦点、准线.（
19、二）抛物线的标准方程：二、巩固与练习：例 1.例 2.练习 A 组练习 B 组标准方程 图形 焦点 准线2ypx0,02px2,2xpy00,2py2,11七、教学效果评价设计: 1、学生学习效果评价设计评价内容评价等级 评价等级说明评价方式 评价项目A B C A B C课堂发言反映出的思维深度 强 一般 弱课堂发现问题的角度、能力 多、强一般 少、弱课堂练习的正确性 高 一般 低师评课堂学习的积极性 高 一般 低小组发言的次数、质量 多、高一般 少、低设计解决问题的方法、能力 多、强一般 少、弱讨论与交流的深度 强 中 弱小组互评帮助同学的次数、质量 多、高一般 少、低参与学习的兴趣 强
20、中 弱独立思考的习惯 强 中 弱体验到学习和成功的愉悦 多 一般 少、无倾听、理解他人见解以及合作交流的意识 强 一般 弱自评本节课在知识、方法等方面获得收获的程度高 一般 低2、教师自身教学效果评价设计评价等级 评价等级说明评价项目A B C D A B C D教学目标的达成度 很好 较好 一般 较差课堂练习的掌握情况 很好 较好 一般 较差教学过程调控的有效程度 高 较高 一般 较低对学生的学习活动进行有针对性的指导 多 较多 较少 少对学生及时采用积极、多样的评价方式 丰富 较多 一般 较少学生参与活动的态度 积极 良 一般 较差课堂气氛的融洽程度 活跃 较好 一般 低探究活动中学生参与
21、的范围 广 较广 较小 小课堂小结的概括总结情况 全面 较好 一般 较弱课件制作的有效情况 优 良 中 差学生对整节课的学习内容、数学思想方法的认识和体会深刻 较多 一般 少11八、本节教学设计特点与教学反思：1、重视了概念的引入与形成的教学数学概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念” ，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备.同时由于新概念是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位.因此本节课在抛物线概念的引入与形成过程中，从学生熟悉
22、的生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数 的图像出发，让学生感知抛物线的重要应用.通过数学实验探索抛物线上点的2(0)yax几何特征，组织学生讨论、合作学习，挖掘抛物线的内涵，促进了学生对抛物线概念的概括.2以问题为导向，激发学生参与课堂的积极性抛物线是中学数学的重要内容，它贯穿在整个中学数学教材中，并随着学生认知水平的提高而不断加深.抛物线最早见于初三数学，但初中老师只是直观的告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，并没有证明为什么一元二次函数的图像是抛物线？对于这种曲线的本质学生并不清楚.本节以问题“一元二次函数 的图像为什么是抛物线？”为主线，激发学生求
23、知的欲望. 2(0)yax首先在探究出抛物线的定义后，学生发现并不能用定义来判断一元二次函数 的2(0)yax图像上的点满足抛物线定义的几何特征.从而激励学生探究抛物线的方程，通过曲线方程的代数形式来解释方程所表示的几何图形.即顶点在原点，焦点在 轴正半轴的抛物线的方程是y，而方程 对应的图像就是抛物线.进而因为一元二次函数2(0)xpy2(0)xpy的表达式可化成 ，从而可说明当 时，方程 表示的是顶点在a1a0a21xya原点，焦点在 轴正半轴，开口向上的抛物线；当 时，方程 表示的是顶点在原点，y 焦点在 轴负半轴，开口向下的抛物线.从而完善了学生的认知，体验成功与提升的喜悦，激发了学生学习数学的兴趣.教材的这种安排，不仅是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化，也符合认知的渐进性原则.通过本节课的教学实践，使我再次体会到：课堂上的真正主人应该是学生，教师只是活动的组织者、引导者、合作者.要在教学中，让学生充分经历探索与发现的过程，着重于知识形成过程的探索，更加注重对学生能力的培养.在今后的教学中要继续注重引导学生自我探索与自我发现，注重挖掘教材的能力生长点，着眼于学生终身发展的需要.
