1、学业分层测评（三）(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1为了测量 B，C 之间的距离，在河岸 A，C 处测量，如图 129，测得下面四组数据，较合理的是( )图 129Ac 与 Bc 与 bCb， c 与 Db， 与 【解析】 因为测量者在 A，C 处测量，所以较合理的应该是 b， 与 .【答案】 D2轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离是( )A50 n mile B70 n mileC90 n mile D110 n mile【解析】 到 1
2、4 时，轮船 A 和轮船 B 分别走了 50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l 70 (n mile)502 302 25030cos 120【答案】 B3如图 1210，要测量河对岸 A，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距 40米的 C，D 两点，测得ACB60，BCD45 ，ADB60，ADC30 ，AD20( 1)，则 A，B 间距离是( )3图 1210A20 米 B20 米2 3C20 米 D40 米6 2【解析】 可得 DBDC40，AD20( 1)，ADB 60 ，所以在3ADB 中，由余弦定理得 AB20 (米)6【答案】 C4在地面上点 D 处
3、，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B的仰角分别为 60和 30，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m，则建筑物高度为( )A20 m B30 m C40 m D60 m【解析】 如图，设 O 为顶端在地面的射影，在 RtBOD 中，ODB 30，OB20 ，BD40，OD 20 ，3在 Rt AOD 中，OAODtan 6060，AB OAOB40(m)【答案】 C5如图 1211所示，在地面上共线的三点 A，B ， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30， 45，60，且 ABBC60 m，则建筑物的高度为( )图 1211A15 m B20 m6 6C25 m D30
4、m6 6【解析】 设建筑物的高度为 h，由题图知，PA2h，PB h，PC h，2233在PBA 和 PBC 中，分别由余弦定理，得 cos PBA ， 602 2h2 4h22602hcosPBC . 602 2h2 43h22602hPBA PBC180，cos PBAcosPBC0. 由，解得 h30 或 h30 (舍去)，即建筑物的高度为 30 m.6 6 6【答案】 D二、填空题6有一个长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 75，现要将其倾斜角改为 30，则坡底要伸长 千米【解析】 如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAO BCA 753045.在ABC 中， ，ABsin C
5、ACsin ABCAC (千米)ABsin ABCsin C12212 2【答案】 27如图 1212，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A，B ，望对岸的标记物 C，测得 CAB30，CBA75，AB120 m ，则河的宽度是 m.图 1212【解析】 tan 30 ，tan 75 ，CDAD CDDB又 AD DB 120，ADtan 30 (120AD)tan 75，AD 60 ，故 CD60.3【答案】 608一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动，到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动，如图 1213所示，
6、已知 AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人2原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距 A 点 dm 的 C 处截住足球. 【导学号：05920061】图 1213【解析】 设机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段 AD 上，设 BCx dm，由题意知 CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB 2AC 22ABACcos A，即 x2(4 )2(172x) 28 (172x)cos 45，解得 x15，x 2 .2 2373AC172x7(dm) ，或 AC (dm)(舍去)233该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7
7、 dm 的点 C 处截住足球【答案】 7三、解答题9A，B ，C，D 四个景点，如图 1214，CDB 45，BCD75，ADC15. A，D 相距 2 km，C，D 相距(3 )km，求 A，B 两景点的距离2 6图 1214【解】 在BCD 中，CBD180 BCD CDB60 ，由正弦定理得 ，BDsin BCD CDsin CBD即 BD 2.CDsin 75sin 60在ABD 中， ADB 451560，BDAD，ABD 为等边三角形，AB2.答：A，B 两景点的距离为 2 km.10江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 30，而且两条船与炮台底
8、部连线成 30角，求两条船之间的距离【解】 如图所示，CBD30 ， ADB30，ACB45.AB30(m)，BC30(m)，在 Rt ABD 中，BD 30 (m)30tan 30 3在BCD 中，CD 2BC 2BD 22BCBDcos 30900，CD30(m)，即两船相距 30 m.能力提升1某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 d1 与第二辆车与第三辆车的距离 d2 之间的关系为( )Ad 1d2 Bd 1d 2Cd 1d2 D不能确定大小【解析】 如图，B，C，D 分别是第一、二、三辆
9、车所在的位置，由题意可知 .在PBC 中， ，d1sin PBsin PCB在PCD 中， ，d2sin PDsin PCDsin sin ，sin PCBsinPCD， .d1d2 PBPDPBPD ， d1d2.【答案】 C2如图 1215，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中之影的俯角为 45，则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m, 1.732)( )3图 1215A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m【解析】 在ACE 中，tan 30 .CEAE CM 10AEAE (m)CM 10tan 30在AED 中， tan 45 ，DEA
10、E CM 10AEAE (m)，CM 10tan 45 ，CM 10tan 30 CM 10tan 45CM 10(2 )37.3(m) 10 3 13 1 3【答案】 C3.如图 1216所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC，此时视角ABC120；从 B 处攀登 200 米到达 D 处，回头看索道 AC，此时视角ADC150；从 D 处再攀登300 米到达 C 处则石竹山这条索道 AC 长为 米图 1216【解析】 在ABD 中， BD200 米，ABD 120.因为ADB 30，所以DAB30.由正弦定理，得 ，BDs
11、in DAB ADsin ABD所以 .200sin 30 ADsin 120所以 AD 200 (米)200sin 120sin 30 3在ADC 中，DC300 米，ADC150，所以 AC2AD 2DC 22ADDCcosADC(200 )32300 22200 300cos 150390 000，所以 AC100 (米)故石竹山3 39这条索道 AC 长为 100 米39【答案】 100 3942015 年 10 月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶 M，N 间的距离，无人机沿水平方向在A，B 两点进行测量，A ， B，M ，N 在同
12、一个铅垂平面内(如图 1217)，无人机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据( 用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤图 1217【解】 方案一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1， 1；B点到 M，N 的俯角 2， 2；A，B 间的距离 d.第一步：计算 AM.由正弦定理 AM ；dsin 2sin1 2第二步：计算 AN.由正弦定理 AN ；dsin 2sin2 1第三步：计算 MN.由余弦定理MN .AM2 AN2 2AMANcos1 1方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 1， 1；B 点到M，N 点的俯角 2， 2；A，B 间的距离 d.第一步：计算 BM.由正弦定理 BM ；dsin 1sin1 2第二步：计算 BN.由正弦定理 BN ；dsin 1sin2 1第三步：计算 MN.由余弦定理MN .BM2 BN2 2BMBNcos2 2
