1、学业分层测评（五）(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1已知方程 x2sin A2xsin Bsin C0 有重根，则ABC 的三边 a，b，c的关系满足( )Abac Bb 2acCa bc Dcab【解析】 由方程有重根，4sin 2B4sin Asin C0，即 sin2Bsin Asin C， b2ac.【答案】 B2在ABC 中，A60，b1，S ABC ，则角 A 的对边的长为( )3A. B. C. D57 37 21 13【解析】 S ABC bcsin A 1csin 60 ，c 4.由余弦定理12 12 3a2b 2c 2 2bccos 60 116214 13.12
2、a .13【答案】 D3在ABC 中，a1，B45，S ABC 2，则此三角形的外接圆的半径R( )A. B1 12C2 D2522【解析】 S ABC acsin B c2，c4 .12 24 2b2a 2c 2 2accos B1328 25，222b5.R .b2sin B 5222 522【答案】 D4在ABC 中，AC ，BC2，B60，则 BC 边上的高等于( )7A. B.32 332C. D3 62 3 394【解析】 在ABC 中，由余弦定理可知：AC2AB 2BC 22AB BCcos B，即 7AB 2422AB .12整理得 AB22AB 30.解得 AB1( 舍去)或
3、 AB3.故 BC 边上的高 ADAB sin B3sin 60 .332【答案】 B5设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且 ABC,3b20acos A，则 sin Asin Bsin C 为( )A432 B567C5 43 D654【解析】 由题意知：ab1，cb1，所以 3b20acos A 20(b 1)b2 c2 a22bc20(b 1) ，b2 b 12 b 122bb 1整理得 7b227b400，解之得：b5(负值舍去) ，可知 a6，c 4.结合正弦定理可知 sin Asin Bsin C654.【答案】 D二、填空题
4、6在ABC 中，B60，AB1，BC4，则 BC 边上的中线 AD 的长为 【解析】 画出三角形知 AD2AB 2BD 22ABBDcos 603，AD .3【答案】 37有一三角形的两边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角 的余弦值是方程5x27x60 的根，则此三角形的面积是 cm2.【解析】 解方程 5x27 x60，得 x2 或 x ，35|cos |1，cos ，sin .35 45故 S 35 6(cm 2)12 45【答案】 68(2016郑州模拟 )在ABC 中，B120 ，AC7，AB5，则ABC 的面积为 【解析】 由余弦定理得 b2a 2c 22ac cos B，即 49
5、a 22525acos 120.整理得 a25a240，解得 a3 或 a8(舍)S ABC acsin B 35sin 120 .12 12 1534【答案】 1534三、解答题9已知ABC 的三内角满足 cos(AB)cos(AB) 15sin 2C，求证：a2b 25c 2. 【导学号：05920063 】【证明】 由已知得 cos2Acos2Bsin 2Asin2B15sin 2C，(1 sin2A)(1sin 2B)sin 2Asin2B15sin 2C，1sin 2Asin 2B15sin 2C，sin 2Asin 2B5sin 2C.由正弦定理得，所以 2 25 2，(a2R)
6、(b2R) (c2R)即 a2b 25c 2.10(2014全国卷 )四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB1，BC 3，CDDA2.(1)求 C 和 BD；(2)求四边形 ABCD 的面积【解】 (1)由题设及余弦定理得BD2BC 2CD 22BCCDcos C1312cos C， BD2AB 2DA 22ABDAcos A54cos C 由，得 cos C ，故 C60，BD .12 7(2)四边形 ABCD 的面积S ABDAsin A BCCDsin C12 12 sin 602 .(1212 1232) 3能力提升1已知锐角ABC 中，| |4，| |1，ABC 的面积为
7、，则 的AB AC 3 AB AC 值为( )A2 B2 C4 D4【解析】 由题意 SABC | | |sin A ，12AB AC 3得 sin A ，又ABC 为锐角三角形，32cos A ， | | |cos A2.12 AB AC AB AC 【答案】 A2在斜三角形 ABC 中，sin A cos Bcos C，且 tan Btan C1 ，则2 2角 A 的值为( )A. B. C. D4 3 2 34【解析】 由题意知，sin A cos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos 2Bsin C，在等式 cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C
8、两边除以 cos Bcos C2得 tan Btan C ，tan(BC) 1tan A，所以角 A .2tan B tan C1 tan Btan C 4【答案】 A3(2015天津高考 )在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 ，bc2，cos A ，则 a 的值为 1514【解析】 在ABC 中，由 cos A 可得 sin A ，14 154所以有Error!解得Error!【答案】 84(2015陕西高考 )ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量m( a， b)与 n(cos A，sin B)平行3(1)求 A；(2)若 a ，b2，求ABC 的面积7【解】 (1)因为 m n，所以 asin B bcos A0，3由正弦定理，得 sin Asin B sin Bcos A0，3又 sin B0，从而 tan A .3由于 00，所以 c3.故ABC 的面积为 bcsin A .12 332法二 由正弦定理，得 ，从而 sin B .7sin 3 2sin B 217又由 ab，知 AB，所以 cos B .277故 sin Csin( AB)sin (B 3)sin Bcos cos B sin .3 3 32114所以ABC 的面积为 absin C .12 332
