1、1第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函)(Dxfy0)(xfx数 的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(f )(f的图象与 轴交点的横坐标。)(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0x)(xfy有零点y3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 )(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起 2 )(xfy来，并利用函数的性质找出零点4、基本初等函数的零点：正比例函数 仅有一个零点。(0)ykx反比例函数 没有零点。一次函数 仅有一个零点
2、。()b二次函数 02acxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有()x两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有2b一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，0()axca x二次函数无零点指数函数 没有零点。(,1y且对数函数 仅有一个零点 1.log)a且幂函数 ，当 时，仅有一个零点 0，当 时，没有零点。x0nn5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数） ，函数先把 转化成fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 （基本初等函数） ，这另0f 12,y个函数图像的交点个数
3、就是函数 零点的个数。fx6、选择题判断区间 上是否含有零点，只需满足 。,ab0fab试判断方程 0,2内是否有实数解？并说明理由。在 区 间0124x27、确定零点在某区间 个数是唯一的条件是: 在区间,abfx上连续，且 在区间 上单调。0f,ab求函数 的零点个数。2)1lg(2)(xx8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使 的实数；0)(xf从“形”的角度看：即是函数 的图象与 轴交点的横坐标；x若函数 的图象在 处与 轴相切，则零点 通常称为不变号零点；)(xf 0若函数 的图象在 处与 轴相交，则零点 通常称为变号零点0一元二次方程根的分布讨论一元二次方程根的分布的基本类型
4、设一元二次方程 （ ）的两实根为 ， ，且 .2cbxaa1x221x为常数，则一元二次方程根的 分布（即 ， 相对于 的位置）或根在区间上的kk1x2k分布主要有以下基本类型：表一：（两根与 0 的大小比较）分布情况两个负根即两根都小于 012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根 小于 0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f3大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa表二：（两根与 的大小比较）k分布情况 两根都小于 即kx21,两根都大于 即x21,一个根小于 ，一个大k于
5、 即 12x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0akkk4得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfa表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 内nm,两根有且仅有一根在内（有两种情况，只,画了一种）一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a5得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq综合结论（不讨论） a 0nf0qfpm（1）关于 x 的方程 有两个实根，且142)3(2mx一个大于
6、1，一个小于 1，求 的取值范围？（2）关于 x 的方程 有两实根在0,40142)3(2mx内，求 的取值范围？m（3）关于 x 的方程 有两个实根，0142)3(2mxm且一个大于 4，一个小于 4，求 的取值范围？9、二分法的定义对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数ab()0fab，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，)(xfyxf使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法610、给定精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤：()fx（1）确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；abfab0（2）求区间 ， 的中点 ；()1x（3）计算 ：1fx若 =
7、，则 就是函数的零点；()0若 ，则令 = （此时零点 ） ；fa1b1x01(,)xa若 ，则令 = （此时零点 ） ；xfab（4）判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点值 （或|） ；否则重复步骤（2）（4） b11、二分法的条件 表明用二分法求函数的近似零()fafb0点都是指变号零点。12、解决应用题的一般程序： 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 解模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义13、函数的模型 14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型： ()(0);fxkb二次函数模型： 2gac检验收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际7幂函数模型：12()(0);hxab指数函数模型： （ 0， ）xlc,1b利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型
