1、第八章 第 4 讲A 级 基础达标 1(2017 年保定模拟)有下列命题：若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l； 若直线 a 在平面 外，则a ； 若直线 ab，b，则 a；若直线 ab， b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】A 【解析】命题l 可以在平面 内，不正确；命题 直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题a 可以在平面 内，不正确；命题正确2设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，且 m，n ，则“”是“m且 n”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 【解
2、析】m，n，若 ，则 m 且 n；反之若 m 且 n，则 与 相交或平行，即“”是“m 且 n”的充分不必要条件3(2017 年长郡中学质检)如图所示的三棱柱 ABCA 1B1C1中，过 A1B1的平面与平面ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( )A异面 B平行C相交 D以上均有可能【答案】B 【解析】在三棱柱 ABCA 1B1C1中， ABA1B1，AB平面 ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面 ABC过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE.DEA1B1，DEAB4下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面
3、 MNP 的图形的序号是( )A BC D【答案】B 【解析】 中，易知 NPAA，MN AB，平面 MNP平面 AAB，可得出 AB平面MNP(如图) 中，NPAB，能得出 AB平面 MNP；在 中不能判定 AB平面 MNP.5已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( )A若 m ，n，则 mn B若 m，n ，则 mnC若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n【答案】B 【解析】若 m，n，则 m，n 平行、相交或异面，A 错；若 m，n， 则 mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直 线， B 正确；若 m，mn，则 n 或 n ，C 错；若 m，mn
4、，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能 n， D 错6如图所示，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA 1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； 棱 A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BE BF 是定值其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4【答案】C 【解析】由题图，显然是正确的， 是错误的对于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG 且 A1D1平面 EFGH，A1D1平面 EFGH(水面)是正确的对于，水是定量的 (定体积 V)，
5、SBEFBCV ，即BEBFBCV.BE BF (定值)，即 是正确的故选 C12 2VBC7在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_【答案】平面 ABD 与平面 ABC【解析】如图，取 CD 的中点 E.连接 AE，BE，由于 M，N 分别是ACD， BCD 的重心，所以 AE，BE 分别过 M，N，且EMMA1 2，ENBN12，所以 MNAB因为 AB平面 ABD，MN平面 ABD，AB平面ABC，MN平面 ABC，所以 MN平面 ABD，MN平面 ABC8如图所示，正方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD
6、 的中点，点 F 在 CD上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_【答案】 2【解析】在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，AB2，AC2 .又 E 为 AD 中点，EF平面2AB1C，EF平面 ADC，平面 ADC平面 AB1CAC，EFAC，F 为 DC 中点，EF AC12.29一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处( 不需说明理由) ；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论【解析】(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)平面 BEG平面 ACH.证明如下：因为 ABCDEFGH 为
7、正方体，所以 BCFG，BCFG.又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH .于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBG B，所以平面 BEG平面 ACH.10如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是BC，CC 1，C 1D1，A 1A 的中点求证：(1)BFHD 1；(2)EG 平面 BB1D1D；(3)平面 BDF平面 B1D1H.【证明】(1)如图所示，取 BB1的中点 M，连接 MH，MC1，易证四边形 HMC1D1是平行四边形，HD1M
8、C1.又 MC1BF，BFHD1.(2)取 BD 的中点 O，连接 EO，D1O，则 OE 綊 DC又 D1G 綊 DC，OE 綊 D1G，12 12四 边形 OEGD1是平行四边形，GED1O.又 GE平面 BB1D1D，D1O平面 BB1D1D，EG平面 BB1D1D(3)由(1)知 BFHD1，又 BF平面 B1D1H，HD1平面 B1D1H，BF平面 B1D1H.又 BDB1D1，BD平面 B1D1H，B1D1平面 B1D1H，BD平面 B1D1H.又 DBBFB，平面 BDF平面 B1D1H.B 级 能力提升11给出下列关于互不相同的直线 l，m，n 和平面 ， 的三个命题：若 l
9、与 m为异面直线，l，m ，则 ；若 ，l ，m，则 lm ；若l ，m， n，l ，则 mn.其中真命题的个数为( )A3 B2 C1 D0【答案】C 【解析】 中，当 与 不平行时，也可能存在符合题意的 l，m；中， l 与 m 也可能异面； 中， Error!ln，同理， lm，则 mn，正确12如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )AACBDBAC截面 PQMNCACBDD异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45【答案】C 【解析】因为截面 PQMN 是正方形，所以 MNQP.又 PQ 平面 ABC，MN平面 ABC，则 MN平面 AB
10、C，由线面平行的性质知 MNAC又 MN平面 PQMN，AC平面 PQMN，则AC截面 PQMN.同理可得 MQBD，又 MNQM，则 ACBD，故 A，B 正确又因为BDMQ，所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，即为 45，故 D 正确13如图，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分别与 AB，BC， SC，SA 交于 D，E ，F，H ，且 D，E 分别是 AB，BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为( )A B452 4532C45 D45 3【答案】A 【解析】
11、取 AC 的中点 G，连 接 SG，BG.易知 SGAC，BGAC，故 AC平面 SGB，所以ACSB因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD，则 SBHD同理 SBFE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 则 H，F 也为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊 AC12綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行四边形又 ACSB，SBHD，DEAC，所以 DEHD，所以四边形 DEFH 为矩形，其面 积 SHF HD AC SB .12 12 45214如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，若 BCAC，BAC ，AC4，M 为 AA13的中点，点 P
12、 为 BM 的中点， Q 在线段 CA1上，且 A1Q 3QC，则 PQ 的长度为_【答案】 13【解析】由题意知，AB8，过点 P 作 PDAB 交 AA1于点 D，连接 DQ，则 D 为 AM 中点，PD AB 4.又 3， DQAC，PDQ ，DQ AC3.在PDQ 中，PQ12 A1QQC A1DAD 3 34 .42 32 243cos3 1315如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面ABCD，且 BE PC 于 E，PAa，BE a，点 F 在线段 AB 上，并有 EF平面 PAD，则63 _.BFFA【答案】 12【解析】在平面 PCD 内，过
13、 E 作 EGCD 交 PD 于 G，连 接 AG，点 F 在线段 AB 上，当AF EG 时，四 边形 AFEG 是平行四 边形，EFAG，则 EF平面 PAD在 RtBCE 中，CE a.在 RtPBE 中， PE a.由 EGCD，可得BC2 BE233 PB2 BE2 233 ，则 ，则 .EGCD PEPE CE 23 FABA FABF FA 23 BFFA 1216如图，四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB2CD，E 为 PB 的中点(1)求证：CE平面 PAD(2)在线段 AB 上是否存在一点 F，使得平面 PAD平面 CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由【解析
14、】(1)证明：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，EH AB12又 ABCD，CD AB，12所以 EHCD，EHCD 因此四边形 DCEH 是平行四 边形，所以 CEDH.又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，所以 CE平面 PAD(2)存在点 F 为 AB 的中点，使平面 PAD平面 CEF.证明如下：取 AB 的中点 F，连接 CF，EF，所以 AF AB12又 CD AB，所以 AFCD 12又 AFCD，所以四 边形 AFCD 为平行四边形，因此 CFAD又 CF平面 PAD，所以 CF平面 PAD由(1)可知 CE平面 PAD又 CECFC，故平面 CEF平面 PAD故存在 AB 的中点 F 满足要求
