1、海口市第四中学高三年级第一学期第三次月考（理科）(数学)副标题题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）A. 1 B. 2 C. D. 3. 函数 的零点所在的一个区间是 （ ）A. B. C. D. 4. 已知 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件5. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A. B. C. D. 6. 曲线 与直线 轴围成的封闭部分的面积为 A. B. C. D.
2、7. 设函数 的导函数为 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，则 的图象可能为（ ）A. B. C. D. 8. 函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. 9. 有 5 名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排 2 名游客，那么互不相同的安排方法的种数为（）A. 10 B. 20 C. 30 D. 4010. 若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 11. 函数 f（x） =x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10，则点（a，b）为（ ）A. B. C. 或 D. 不存在12. 已知不等式 对一切 都成立，则（ ）A. B.
3、 C. D. 二、填空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 _.14. 若 ，则 的值是_.15. 定义在 上的函数 满足 ， 的导函数为 ，且满足 ，当 时， ，则使得不等式 的解集为_.三、解答题（本大题共 8 小题，共 96.0 分）16. 已知函数 在区间 上恰有一个极值点，则实数 的取值范围是_.17. 已知函数 求函数 的最小正周期和单调递减区间； 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积为 ，求 边的长18. 已知数列 的前 项和为 求数列 的通项公式； 令 ，求数列 的前 项和 .19. 已知函数 （）若曲
4、线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；（）若 ，讨论 的单调性20. 如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 和 的中点，已知 ，求证： ； 求二面角 的余弦值；21. 已知 ,函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率；(2)讨论 的单调性；(3)是否存在实数 ，使得方程 有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参数) 是曲线 上的动点，点 满足 ，（1）求点 的轨迹方程 ；（2）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与曲线 ， 交于不同于极点的点 ， . 求23. 已知函数 ， （1）解不
5、等式 ；（2）若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了不等式求解，集合的包含关系以及交集的运算，属于基础题.【解答】解：对于集合 A， ，可解得 ，集合 ，对于集合 B，解不等式 ，可解得 ，集合 ， .故选 D.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题.【解答】解：因为 ，所以 ,所以 .故选 C.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的判定定理的应用，首先求出导函数，根据函数零点的存在定理判断即可.【解答】解： ， 0， 单调递 增，且 ， ，根据函数的零点的判定定理可得，函数 的
6、导函数的零点所在区间是(-1,0).故选 B.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，属基 础试题【解答】解：aR ，则“a1” 能推出“ ”，又 ，a1 或 a0，“ ”不能推出“ ”，“a1” 是“ ”的充分非必要条件故选 A5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图，我们常使用模拟循环的变法，属于基本知识的考查.【解答】解：模拟运行程序框图可得：i=1，s=0,满足条件 i5，s=0+ ，i=1+1=2；满足条件 i5，s= ，i=2+1=3；满足条件 i5，s= ，i=3+1=4；满足条件 i5，s= ，i=4+1
7、=5；满足条件 i5，s= ，i=5+1=6；不满足条件 i5，输出 s= .故选 A.6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题.解决此类问题，需要先画出两条曲线并求出曲线的交点，再利用定积分的几何意义写出积分上、下限及被积函数，最后求解定积分即可.【解答】解：如图，做出两条曲线所表示的图象，联立方程 ,解得 x=-1 或 x=3，则由定积分的几何 y 意义知，所求面积.故选 C.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值及函数的奇偶性,由已知可得 f(x)为奇函数,结合在在 上存在极大值即可求解.属基础题.【解答】解： 为偶函数,所以 f(-x
8、)=f(x),两边求导得-f(-x)=f(x),所以 f(x)为奇函数 ,即 f(x)的图象关于原点对称,又 f(x)在 上存在极大值,所以在(0,1)有先增后减的区间,即 f(x)先大于 0,后小于 0,观察四个图象,只有 C 符合.故选 C.8.【答案】D【解析】【解析】分析：本题主要考查的是利用导数求函数的单调区间问题，可直接求使导数大于0 的区间即可.【解答】解：因为 ,由 得 ,所以单调递增区间为，故选 D.9.【答案】B【解析】【分析】根据题意，将 5 个人分到 2 个游艇，可先将 5 人分为 2 组，一 组 3 人，另一组 2人，再将 2 组对应 2 个游艇，由排列、 组合公式，
9、可得每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，注意理解“ 每个游艇至少安排 2 名游客” 的意义，分析得到可能的分组情况【解答】解：根据题意，将 5 名游客分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排 2 名游客，先将 5 人分为 2 组，一组 3 人，另一 组 2 人，有 C52=10 种情况，再将 2 组对应 2 个游艇，有 A22=2 种情况，则互不相同的安排方法的种数为 102=20；故选 B10.【答案】D【解析】【分析】求出导函数 f（x），由于函数 f（x）=kx-2lnx 在区间（ 1，+）单调递增，可得 f（x）0在区间（1，+）上恒成立解出即可 属基础
10、题.【解答】解： f(x)= ，函数 f(x)=kx2lnx 在区间(1,+) 单调递增，f(x)0 在区间(1,+) 上恒成立. 恒成立，当 时， ,k2. k 的取值范围是2,+).故选 D. 11.【答案】B【解析】解：对函数 f（x）求导得 f（x）=3x2-2ax-b，又在 x=1 时 f（x）有极值 10， ，解得 或 ，验证知，当 a=3，b=-3 时，在 x=1 无极值，故选 B首先对 f（x）求导，然后由题设在 x=1 时有极值 10 可得 解之即可求出a 和 b 的值掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题12.【答案】A【解析】【分析】
11、本题考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，运用导数求最值.【解答】解：令 则 ,若 ,则 恒成立，x-1 时函数递增，无最值.若 a0,由 y=0 得 ,当 时，y0,函数递增；当 时，y0,函数递减.则 处取得极大值，也为最大值-lna+a-b-2,所以 .故选 A.13.【答案】-【解析】【分析】本题考查导数的运算，求出导数,然后令 x=1 即可求解.解答解：因为由已知有 ，所以 f(1)=2f(1)+1，所以 f(1)=-1，所以 .故答案为 .14.【答案】2【解析】【分析】本题考查定积分的运算，难度一般.【解答】解： ，所以 ，则 a=2.故答案为 2.15.【答案】【
12、解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、导函数的应用、函数的解析式、不等式求 值等.【解答】解：因为定义在 上的函数 满足 ，所以函数 为奇函数，得 f（-1）=0，又因为当 时， ，在 上，结合图像得，解得 x ，同理在 上，结合奇函数的性质，解得 x ，综上得不等式 的解集为 ，故答案为 .16.【答案】-1a7【解析】【分析】首先利用函数的导数与极值的关系求出 a 的值，由于函数 f（x）=x3+2x2-ax+1 在区间（-1 ，1）上恰有一个极值点，所以 f（-1）f（1）0，进而验证 a=-1 与 a=7 时是否符合题意，即可求答案考查利用导数研究函数的极值问题，体 现了数形结合和转
13、化的思想方法属中档题.【解答】解：由题意，f （x）=3x2+4x-a，当 f（-1）f（1）0 时，函数 f（x）=x3+2x2-ax+1 在区间 （-1，1）上恰有一个极值点，解得-1 a7，当 a=-1 时，f（x）=3x 2+4x+1=0，在（-1，1）上恰有一根 x=- ，当 a=7 时， f（x）=3x2+4x-7=0 在（-1，1）上无实根，则 a 的取值范 围是-1a 7，故答案为-1a 717.【答案】解:（）因为,所以函数 的最小正周期 ，令 ，解得 ，所以 的单调递减区间是 ；（）因为 , ，所以 ，又因为 ,所以 ，因为 ， 的面积为 ，即 ，所以 . 因此 ，解得 .
14、【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式，函数的图象与性质,三角函数的化简求值，三角形面积公式和余弦定理.（）利用两角和的正弦函数公式，二倍角公式和辅助角公式得，再利用函数 的周期性与单调性得结论；（）利用三角函数的求值得 ，再利用三角形面积公式得 ，最后利用余弦定理计算得结论.18.【答案】解： 由题意，得：当 时， ，当 时， 又 满足上式，故 ；(2)由 知， ，所以其前 n 项和 由 得： 所以【解析】本题考查了等差数列的通项公式及等差等比数列前 n 项和公式、“ 错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题（1）由 ，可得 n=1 时
15、，a 1=S1=1；n2时，a n=Sn-Sn-1（2）由（1）得 an 通项公式，可得 bn 通项公式，用错位相减法求和.19.【答案】解：函数定义域为（0，+ ） （x 0）（）曲线 在 和 处的切线互相平行 （） （x0） 当 a0 时，x0，ax -10，在区间（0，2）上，f（x ）0；在区间（2，+ ）上 f（x）0，故 的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+ ）当 时， ，在区间（0，2）和 上， ；在区间 上 ，故 的单调递增区间是（0，2）和 ，单调递减区间是 当 时， ，故 的单调递增区间是【解析】本题考查函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，利用导数研
16、究函数的切线方程. 属难题.（1）对 函数 f（x ）求导，根据导数的几何意义可求 f（x）的图象在点，在和 处的切线互相平行，结合已知可求 a；（2）先求函数 f（x ）的定义域为（0 ，+ ），要判断函数的单调区间，需要判断导数 f（x）的正负，分类讨论：分当 a 0 时，当 0a 时，当 a= 时，当 a2 时四种情况分别求解20.【答案】 证明：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz AB AC AA1 4， A 0，0 ，B 0，0 ，E 4，2 ，D 2，0 ，B 1 0，4 ， ，由 知 为平面 AED 的一个法向量，设平面 的法向量为 ， ，由 ，令 y 1，得 x 2
17、，z，即 ，二面角 B1 AE D 的余弦值为 【解析】本题主要考查了线线垂直，二面角的求法，属于中档题.(1)建立空间直角坐 标系，根据向量的数量积判定两条直线垂直.(2)首先求出平面 和平面 AED 的法向量，根据法向量所成的角求出二面角 的余弦值.21.【答案】解：（1）当 时， ，y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为 0， （2） 当 时， ，则 f(x)在(0,+)上单调递减； 当 时，令 ，解得 令 ，解得 ；令 ，解得 ，y=f(x)在 内单调递减，在 内单调递增，（3）存在 使得方程 有两个不等的实数根，理由如下：由（1）可知当 时， ，则 f(x)在(0,+)上单调
18、递减，方程 不可能有两个不等的实数根；由（2）得：函数 y=f(x)在 内单调递减，在 内单调递增，要使方程 有两个不等的实数根，则有函数 的极小值 ，即： ，解得 ,所以 的取值范围为 .【解析】本题考查导数的综合应用，属于较难题目.（1）利用导数求出函数的切线的斜率，然后求出切线的方程；（2）对函数求导，对参数讨论，判断函数的 单调性；（3）利用函数的单调性，求出函数的极值，求出参数的范围.22.【答案】解：（1）设 P（x，y ），则由条件知 ，由于 M 点在 C1 上，所以 , 从而 C2 的参数方程为 （ 为参数） ,消去 得 C2 的普通方程为 x2+(y-4)2=16;（2）曲线
19、 C1 的极坐标方程为 ，曲线 C2 的极坐标方程为 , 射线 与 C1 的交点 A 的极径为 ， 射线 与 C2 的交点 B 的极径为 ，所以 .【解析】本题考查相关点法求轨迹及直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的互化，同时考查极坐标方程的应用. （1）设出 P 点坐 标，得到 M 的坐标，代入曲 线 C1 后可得点 P 的轨迹方程 C2 的参数方程,化为普通方程即可；（2）求出曲线 C1 和 C2 的极坐标方程，求得射 线 与曲线 C1，C2 交于不同于原点的点 A，B 的极径，则|AB| 可求. 23.【答案】解：（1）由当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 ，即 ； 综上，不等式 解集是 . （2）对任意的 ，存在 ，使得 成立，即 的值域包含 的值域，由 ，知 ，由，且等号能成立所以 ，所以 ， 即 的取值范围为 . 【解析】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及恒成立问题的等价与转化的方法，涉及函数值域的确定和集合间包含关系的判断，属于中档题（ 1）本小题考查绝对值不等式解法，将不等式等价为： ，即只需解不等式即可；（ 2）本小题考查函数的值域问题，关键是利用转化思想将问题等价转化为 f（x）的值域是 g（x）值域的子集，再分别求出两函数的值域，根据集合间的关系确定 a 的取值范围
