1、海口市第四中学 2019 届高三年级第四次月考 -（理科）(数学)副标题题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 2. 设 ，则 ( )A. 0 B. C. 1 D. 3. 函数 的零点所在区间是( )A. B. C. D. 4. 设 ，则“ ”是“ ”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中既是偶函数，又在 上单调递增的是( )A. B. C. D. 6. 在等腰梯形 ABCD 中， ，M 为 BC 的中点，则 ( )A. B.
2、C. D. 7. 函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为( ) A. B. C. D. 8. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出 k 的值是 6，则输入的整数 S0 的可能值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 159. 对函数 的表述错误的是（ ）A. 最小正周期为B. 函数 向左平移 个单位可得到C. 在区间 上递增D. 点 是 的一个对称中心10. 已知 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 11. 如图，在 中， ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 12. 设 是定义在 的奇函数，其导函数为 ，且当 时，则关于
3、的不等式 的解集为( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 x，y 满足 ，则 的最大值是_14. 已知曲线 ，y=2-x，与 x 轴所围成的图形的面积为 S，则 S=_15. 若函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则的最小值是_16. 如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为 50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为_m .（取 =1.4， =1.7） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 在 中，
4、角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 （1）求 ；（ 2）若 ，且 的面积为 ，求 18. 已知函数 的最大值为 1（1）求常数 的值；（2）求函数 的单调递增区间及对称轴方程；（3）若将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间上的最大值和最小值19. 如图所示， 平面 ，点 在以 为直径 的上， ， ，点为线段 的中点，点 在 上，且 （1）求证：平面 平面 ；（2）求证：平面 平面 ；（3）设二面角 的大小为 ，求 的值20. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名
5、，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望21. 已知函数 （1）设 是 的极值点求 ，并求 的单调区间；（2）证明：当 时， 22. 在直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， . （1）求 的极坐标方程和 的平面直角坐标系方程；（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， 与 的交点为，求 的面积.23. 已知 （）若 ，解不
6、等式 ；（）若存在 ，使得 成立，求 的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】略2.【答案】C【解析】略3.【答案】C【解析】略4.【答案】B【解析】略5.【答案】D【解析】略6.【答案】A【解析】略7.【答案】D【解析】略8.【答案】C【解析】解：输入的整数 S0 的可能 值为 8， S8-0， k0+2； S8-4，k2+2； S4-4，k4+2输出 k=6 故选：C 输入的整数 S0 的可能值为 8，利用算法程序框图即可得出 本题考查了算法程序框图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9.【答案】D【解析】【分析】本题考查二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的性质的应用
7、，考查计算能力【解答】解：函数 f（x）= = =sin（2x+ ）函数的周期为 ，A 正确；函数 y=sin2x 向左平移 个单位可得到 f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ），B 正确；由 ，可得 ，f（x）在区间 上递增， C 正确；x= 时 ，函数 f（x）=1，点 不是 f（x）的一个对称中心，D 错误.故选 D.10.【答案】B【解析】略11.【答案】A【解析】略12.【答案】D【解析】略13.【答案】9【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值（斜率、距离）问题，属于中档题，由 约束条件作出可行域，利用 z=x+3y 的几何意义，进而求出 z=x+3y 的最大值.【解答
8、】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=x+3y 得 ，平移直线，由图象可知直线经过点 A 时，直 线的截距最大，由 ，可得 A（-3，4），此时 z 最大，最大值为 9.故答案为 9.14.【答案】【解析】解：方法一： ，解得： ，则A（1，1）， 则将阴影部分分成两部分，S 1= dx= = ， 三角形的面积 S2= 11= ， 所围成的面积 S= + = ， 故答案为： 方法二： ，解得： ，则 A（1，1）， 则所围成的面积 S= （2-y-y2）dy=（2y- y2- y3） =（2- - ）= ， 故答案为： 方法一：求得交点坐标，分别对 x 进行积分，根据定积分
9、的运算，即可求得阴影部分的面积； 方法二：由 x=y2，及 x=2-y，分别对 y 进行积分，即可求得阴影部分的面积本题考查定积分的运算，考查定积分的几何性质，考查转化思想，属于中档 题15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数图像的平移变换，属基础题.【解答】解：函数 ，的图象向左平移 个单位得到函数=所以 +2K ，K解得 ,则 的最小值是 .故答案为 .16.【答案】2650【解析】【分析】本题考查了正弦定理和解三角形的应用.利用正弦定理得 ，再解三角形计算得结论.【解答】解： 如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由 题意知A15， DBC45，ACB30，AB50420
10、21000(m)又在ABC 中， ， CDAD，故山顶的海拔高度 h1000073502650(m)故答案为 2650.17.【答案】、解：（1）由正弦定理，因为在 中，所以所以 ，所以 ，又 ，所以 （2） ， ，又由由 得 或【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数，三角形的面积公式的应用，考查计算能力.属中档题.（1）利用正弦定理两角和的正弦公式求出 ，再求 ，即可求出 A 的值；（2）由面积公式求 ，再用余弦定理求出 的值，即求出 b,c.18.【答案】解：（1）函数 f（x ）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2 x+a= cos2x+sin2x+a=2sin
11、（2x+ ）+a2+ a=1，a=-1；（2）令 2k- 2x+ 2k+ ，kz，求得 k- xk+ ，故函数 f（x）的单调递增区间为 k- ，k + ，k z，由 ，得对称轴方程为（3）将 f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，g（ x）=f（x+ ）=2sin2 （x+ ）+ -1=2sin（2x+ ）-1当 x0， 时，2x + ， ，故当 2x+ = 时，函数 f（x）取得最大值为 -1，当 2x+ = 时，函数 f（x）取得最小值为-2-1=-3 【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域
12、、值域，属于基础题（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数 f（x）=2sin（2x+ ）+a2+a=1，可得 a=-1（2）令 2k- 2x+ 2k+ ，kz，求得 x 的范围，可得函数 f（x）的单调递增区间，由 ，得 对称轴方程为 （3）根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得 g（x）=2sin（2x+ ）-1再根据 x0， ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数 f（x）的最值19.【答案】（1）证明：因为点 E 为线段 PB 的中点，点 O 为线段 AB 的中点，所以 OEPA，因为 PA平面 PAC，OE平面 PAC，所以 OE平面 PAC，因为 OMAC，因为
13、 AC平面 PAC，OM 平面 PAC，所以 OM平面 PAC，因为 OEOM=O，所以平面 MOE平面 PAC；（2）证明：因为 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 PABC，因为点 C 在以 AB 为直径的O 上，所以 BCAC，因为 PAAC=A，所以 BC平面 PAC，因为 BC平面 PCB，所以平面 PAC平面 PCB；（3）解：以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴建立空间坐标系，因为CBA =30，PA =AB=2，所以 CB=2cos30= ，AC=1，延长 MO 交 CB 于点 D，因为 OMAC，所以 MDCB，MD= ，CD=CB = ，所以 P（1，
14、0，2），C（0， 0，0），B （0， ，0），M（ ， ，0），所以 =（-1 ，0，-2）， =（-1 ， ，-2 ），设平面 PCB 的法向量 =（x，y，z），所以令 z=1，则 x=-2，y=0，所以 =（-2，0，1），同理可求平面 PMB 的一个法向量 =（1， ，1），所以 ,又二面角 MBP C 为锐角，所以 .【解析】本题考查面面平行的判定及线面垂直、面面垂直的判定，同时考查利空间向量求二面角.（1）先证明 OE平面 PAC、OM平面 PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE平面 PAC；（2）证明 BC平面 PAC，利用面面垂直的判定，可得平面 PAC平面 PCB；
15、（3）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴建立空间坐标系，求出平面 PCB 的法向量、平面 PMB 的一个法向量，即可求出二面角 M-BP-C 的大小.20.【答案】解：（1）（2）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4随机变量 X 的分布列为：【解析】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 ，互 斥 事 件 、离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 与 数学 期 望 等 基 础 知 识 ，考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 简 单 实 际 问 题 的 能 力 ，是 中 档 题 （1）利 用 组 合 知 识 求 出 基 本 事 件
16、总 数 及 事 件 A 发 生 的 个 数 ，然 后 利 用 古 典 概 型 概 率计 算 公 式 得 答 案 ；（2）随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1，2，3，4，由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 求 得 概 率 ，列出 分 布 列 ，代 入 期 望 公 式 求 期 望 21.【答案】（1）解：函数 ， ， ， 是 的极值点， ，解得 ， ， ，当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增（2）证明：当 时， ，设 ，则 ，当 时， ；当 时， ， 是 的最小值点，故当 时， ，当 时， .【解析】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同 时考
17、查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题（1）推导出 ， ，由 是 的极值点，得 ，解得，从而 ， ，由此能求出 的单调区间；（2）当 时， ，设 ，则 ，利用导数证明当 时， ，故当 时， .22.【答案】解：（1）展开圆 的方程为：,x 2+y2-4x-8y=0，把 xcos ，y=sin 代入方程得：2-4cos-8sin=0， 的极坐标方程为 =4cos+8sin.由 得 sin= cos，即 y= .（2）将 和 = 分别代入 C1:=4cos+8sin 中，得 1=2+4 ， 2=4+2 ，MON= ，SOMN= sinMON= =8+5 .【解析】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，
18、考查直线与圆相交的问题.（1）根据 x=cos，y=sin 可求 C1 极坐标方程和 的平面直角坐标系方程；（2）将 和 = 分别代入 C1:=4cos+8sin 中，求得 1 和 2 的值，根据极径和极角的几何意义，从而求得OMN 的面积.23.【答案】解：（） ，当 时，原不等式转化为 ，解得 当 时，原不等式转化为 ，无解当 时，原不等式转化为 ，解得 所以原不等式的解集为 ；（）由题可知 ，所以 ，所以 ，所以 .【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题（）通过分段讨论 x 的范围，求得各段上的解集后取并集即可；（）依题意，f(x) min2,利用 绝对值不等式的性质求出 f（x）的最小值，得到关于a2+b2 的不等式，再利用基本不等式即可
