1、课时规范练 50 变量间的相关关系、统计案例基础巩固组1.(2018 福建莆田模拟,3)设一个线性回归方程 =3+1.2x,当变量 x 每增加一个单位时,y 的变化情况正确的是 ( )A.y 平均增加约 1.2 个单位 B.y 平均增加约 3 个单位C.y 平均减少约 1.2 个单位 D.y 平均减少约 3 个单位2.(2018 黑龙江模拟十,6)下列表格所示的五个散点,原本数据完整 ,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 =0.8x-155,后因某未知原因使第 5 组数据的 y 值模糊不清,此位置数据记为m(如下表所示),则利用回归方程可求得实数 m 的值为( )x 196 1
2、97 200 203 204y 1 3 6 7 mA.8.3 B.8.2C.8.1 D.83.(2018 广东佛山二模,5)某同学用收集到的 6 组数据对(x i,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线 l 的方程为 x+ ,相关系数为 r.现= 给出以下 3 个结论: r0; 直线 l 恰好过点 D; 1.其中正确结论是( )A. B.C. D.4.(2018 辽南协作校一模,3)根据如下样本数据得到回归直线方程 x+ ,其中 =10.5,则 x=6 时= 的估计值是 ( )x 4 2 3 5y 49 26 39 5
3、4A.57.5 B.61.5C.64.5 D.67.55.(2018 黑龙江仿真模拟十一 ,5)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响 .部分统计数据如下表:使用智能手机 不使用智能手机 总计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀 16 2 18总计 20 10 30附表:P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算 K2 的观测值 k=10,则下列选项正确的是( )A.在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习有
4、影响B.在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习无影响C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用智能手机对学习有影响D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用智能手机对学习无影响6.(2018 河南洛阳质检,13)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 ,将该产品按事先拟订的价格进行试销,得到如下数据.单价(x 元) 4 5 6 7 8 9销量(y 件) 90 84 83 80 75 68由表中数据求得线性回归方程 =-4x+a,则 x=10 元时预测销量为 件. 7.(2018 河南商丘模拟,19)已知具有线性相关关系的两个变量 x,y 之间
5、的几组数据如下表所示:x 2 4 6 8 10y 3 6 7 10 12(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ,并估计当 x=20 时= y 的值;(2)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取两个点 ,求恰有 1 个点落在直线 2x-y-4=0 右下方的概率.参考公式: .=1- =12-2,=综合提升组8.(2018 河北保定一模,3)已知具有线性相关的变量 x,y,设其样本点为 Ai(xi,yi)(i=1,2,8),回归直线方程为 x+a,若 + =(6,2)(O 为原点),则 a=( )=12 1+2 8A. B.-C. D.-
6、9.(2018 安徽合肥一中最后 1 卷,13) 为了研究某班学生的脚长 x(单位:厘米)和身高 y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取 10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为 x+ .已知 xi=225, yi=1 600, =4.该班某学生的脚长为 24 厘米,据此估计其= 10=1 10=1 身高为 厘米. 10.(2018 安徽蚌埠一模,19)某图书公司有一款图书的历史收益率 (收益率=利润每本收入)的频率分布直方图如图所示.(1)试估计平均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值)(2)根据经验,若每本图书的收入在 20 元的基础
7、上每增加 x 元,对应的销量 y(万本)与 x(元) 有较强的线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 x 与 y 的对应数据.x 元 25 30 38 45 52销量 y 万本 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8据此计算出的回归方程为 =10.0-bx. 求参数 b 的估计值; 若把回归方程 =10.0-bx 当作 y 与 x 的线性关系,x 取何值时,此产品获得最大收益?求出该最大收益.11.(2018 山东日照 5 月校际联考 ,19)为了缓解日益拥堵的交通状况 ,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是: “盲拍”,即所有参与竞拍的人都要网络报价
8、一次,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数; 竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加 2018 年 5 月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的数据,统计了最近 5 个月参与竞拍的人数(见下表):月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04月份编号 t 1 2 3 4 5竞拍人数 y(万人) 0.5 0.6 1 1.4 1.7(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数 y(万人)与月份编号 t 之间的相关关系.请用最小二乘法求出 y 关于 t 的线性回归方程 t+
9、,并预测 2018 年 5 月份参与竞拍的人数.= (2)某市场调研机构从拟参加 2018 年 5 月份车牌竞拍人员中 ,随机抽取了 200 人,对他们的拟报价价格进行了调查,得到如下频数分布表和频率分布直方图:报价区间(万元) 1,2) 2,3) 3,4) 4,5) 5,6) 6,7) 7,8)频数 10 30 a 60 30 20 10(i)求 a、b 的值及这 200 位竞拍人员中报价大于 5 万元的人数;(ii)若 2018 年 5 月份车牌配额数量为 3 000,假设竞拍报价在各区间分布是均匀的,请你根据以上抽样的数据信息,预测(需说明理由 )竞拍的最低成交价.参考公式及数据: x+
10、 ,其中 ; =55, tiyi=18.8= =1- =12-2,= 5=12 5=1创新应用组12.(2018 黑龙江哈尔滨三中一模 ,10)千年潮未落,风起再扬帆 ,为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础,哈三中积极响应国家号召,不断加大拔尖人才的培养力度,据不完全统计:年份(届) 2014 2015 2016 2017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数 x 51 49 55 57被清华、北大等世界名校录取的学生人数 y 103 96 108 107根据上表可得回归方程 x+ 中的 为 1.35,我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学= 生人数
11、为 63 人,据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A.111 B.115C.117 D.12313.(2018 湖北七校联盟 2 月联考 ,19)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关 ,为了确定下一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的温度 x(单位:)对某种鸡的时段产蛋量 y(单位:t) 和时段投入成本z(单位:万元) 的影响,为此,该企业收集了 7 个鸡舍的时段控制温度 xi 和产蛋量 yi(i=1,2,7)的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.x y k 7i=1(xi-x)217.40 82.30 3.6 1407i=1(ki-k)
12、2(xi- )(yi- )7i=1 x y (xi- )(ki- )7i=1 x k9.7 2 935.1 35.0其中 ki=ln yi, ki.=177=1(1)根据散点图判断,y=bx+a 与 y=c1 哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量 y 关于鸡舍时段控制2温度 x 的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由)(2)若用 y=c1 作为回归方程模型 ,根据表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;2(3)已知时段投入成本 z 与 x,y 的关系为 z=e-2.5y-0.1x+10,当时段控制温度为 28 时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少?附: 对于一组具有线性相关关
13、系的数据 (ui,i)(i=1,2,3,n),其回归直线 =u+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .=1(-)(-)=1(-)2 ,=e-2.5 e-0.75 e e3 e70.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63课时规范练 50 变量间的相关关系、统计案例1.A 令 x=a, =3+1.2a,令 x=a+1,则 =3+1.2(a+1)=4.2+1.2a,所以当变量 x 每增加一个单位时,则 y 平 均增加约 1.2 个单位,故选 A.2.D 由题意可得: =200, ,回归=196+197+200+203+2045 =1+3+6+7+5 =17+5方程过样本点的中心,则
14、=0.8200-155,解得 m=8,故选 D.17+53.A 由题图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近,所以为正相关,即相关系数 r0.因为 =3, =3,所以回归直线 l 的方程=0+1+2+3+5+76 =1.5+2+2.3+3+5+4.26必过点( )=(3,3),即直线 l 恰好过点 D.因为直线 l 的斜率接近于直线 AD 的斜率,而 kAD=,7.879,据此结合独立性检验的思想可知,在犯错误的概率不超过 0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响,故选 A.6.66 由已知得 (4+5+6+7+8+9)= (90+84+83+80+75+68)=80,=16 132,
15、=16 =80+4 =106, x=10 时, =106-40=66,故答案为 66. 132 7.解(1) (2+4+6+8+10)=6, (3+6+7+10+12)=7.6,=15 =15=4+16+36+64+100=220, xiyi=6+24+42+80+120=272,5=12 5=1=1.1,=5=1-5 5=12-52=272-567.6220-562 =4440 =7.6-61.1=1, 回归直线方程为 =1.1x+1,故当 x=20 时,y=23.(2)可以判断,落在直线 2x-y-4=0 右下方的点满足 2x-y-40,故符合条件的点的坐标为(6,7),(8,10),(1
16、0,12),共有 10 种取法,满足条件的有 6 种,所以 P= .610=358.B 因为 + =(x1+x2+x8,y1+y2+y8)=(8 ,8 )=(6,2),1+2 8 所以 8 =6,8 =2 ,因此 +a, =34,=14 14=1234即 a=- ,故选 B.189.166 由 xi=225, yi=1 600,利用平均值公式求得 =22.5, =160,10=1 10=1 =4, =160-422.5=70, 当 x=24 时,y=424+70=166,故答案为 166. 10.解 (1)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55,取值的估计概
17、率依次为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,故平均收益率为 0.050.10+0.150.20+0.250.25+0.350.30+0.450.10+0.550.05=0.275.(2) =38, =6.2,=25+30+38+45+525 =1905 =7.5+7.1+6.0+5.6+4.85 =315将(38,6.2)代入 y=10.0-bx,得 b= =0.10.10.0-6.238 设每本图书的收入是 20+x 元,则销量为 y=10-0.1x,则图书总收入为 y=(20+x)(10-0.1x)=200+8x-0.1x2=360-0.1(x-40)2,当 x=40 时
18、,图书公司总收入最大为 360 万元,预计获利为 3600.275=99 万元.11.解 (1)易知 =3, =1.04,=1+2+3+4+55 =0.5+0.6+1+1.4+1.75=0.32, =1.04-0.323=0.08,=5=1-5 5=12-52=18.8-531.0455-532 =则 y 关于 t 的线性回归方程为 =0.32t+0.08,当 t=6 时, =2.00,即 2018 年 5 月份参与竞拍的人数 估计为 2 万人.(2)(i)由 =0.20,解得 a=40.由频率和为 1,得(0.052+0.10+2b+0.20+0.30)1=1,解得 b=0.15,20020
19、0位竞拍人员报价大于 5 万元的人数为(0.05+0.10+0.15)200=60 人.(ii)2018 年 5 月份实际发放车牌数量为 3 000,根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数占总人数比例为 100%=15%.3 00020 000又由频率分布直方图知竞拍报价大于 6 万元的频率为 0.05+0.10=0.15,所以,根据统计思想(样本估计总体 )可预测 2018 年 5 月份竞拍的最低成交价为 6 万元.12.C 由题意得 =53, =103.5.=51+49+55+574 =103+96+108+1074 数据的样本点的中心在线性回归直线上, x+ 中的 为 1.35, 103
20、.5=1.3553+ ,即= =31.95, 线性回归方程是 y=1.35x+31.95. 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为 63 人, 今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 1.3563+31.95=117,故选 C.13.解 (1)y=c 1 适宜.2(2)由 y=c1 得 ln y=c2x+ln c1,令 ln y=k,c2=,ln c1=,由题中图表中的数据可知 =-2 =35140=14,34 x- , y 关于 x 的回归方程为 y= =0.47 .=14 34 4-34 4(3)当 x=28 时,由回归方程得 =0.471 096.63515.4, =0.08515.4-2.8+10=48.432, 即鸡舍的温度为 28 时,鸡的时段产量的预报值为 515.4,投入成本的预报值为 48.432.
