1、高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）12018 2019 学 年 度 福 州 市 高 三 第 一 学 期 质 量 抽 测数 学 （ 文 科 ） 试 卷 参 考 答 案 及 评 分 标 准评 分 说 明 ：1.本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 ， 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 ， 可 根 据 试 题 的 主 要考 查 内 容 比 照 评 分 标 准 制 定 相 应 的 评 分 细 则 .2.对 计 算 题 ， 当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 ， 如 果 后 续 部 分 的 解 答 未 改 变 试
2、 题 的 内 容 和难 度 ， 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 ， 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 给 分 数 的 一 半 ； 如 果后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 ， 就 不 再 给 分 .3.解 答 右 端 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 .4.只 给 整 数 分 数 ， 填 空 题 不 给 中 间 分 .一 、 选 择 题 ：1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.A二 、 填 空 题 ：13.
3、3 14.9 15. 64 16. 18三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17（ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ ） 解 ： 设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ， 532 aa ，又 1 55 35( =5 152a aS a ） ， 3 3a ， 2 分 2 2a ， 1 1a d ， 1 ( 1)na a n d n . 5 分（ ） 解 ： 由 上 问 知 na n ，2 1=2 1na n ， 2 +1=2 +1na n ， 7 分高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）2 2 1 2
4、11 1 1 1 1= ( )2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n （ ， 10 分 1 3 3 5 2 1 2 11 1 1+n n nS a a a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 =2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1nn n n n （ ） （ ） . 12 分18.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ ） 证 明 ： 取 AP 的 中 点 F ， 连 结 ,DF EF ， 如 图 所 示 因 为 点 E是 PB 中 点 ，所 以 /EF AB 且 2ABEF 1 分又 因 为 四 边 形 ABCM 是 平 行 四
5、 边 形 ，所 以 /AB CD 且 2ABCD ，所 以 /EF CD 且 EF CD ， 2 分所 以 四 边 形 EFDC 为 平 行 四 边 形 ，所 以 /CE DF ， 3 分因 为 CE 平 面 PAD ， DF 平 面 PAD ，所 以 /CE 平 面 PAD 5 分（ ） 解 ： 取 AD的 中 点 O ， 连 结 PO CO， ， 如 图 所 示 ，因 为 在 平 行 四 边 形 ABCM 中 ， D 为 CM 的 中 点 ， 2AB BC ， 2, 4AD AB 因 为 2AD ， 所 以 2PD PA AD ， 7 分所 以 ADP 为 正 三 角 形 ， 8 分所 以
6、 PO AD ， 且 3PO 因 为 在 平 行 四 边 形 ABCM 中 ， D 为 CM 的 中 点 ， 以 AD为 折 痕 将 ADM 折 起 ， 使 点 M 到 达高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）3点 P的 位 置 ， 且 平 面 ABCD 平 面 PAD ， 9 分所 以 PO 平 面 ABCD， 120ADC 所 以 1 1 3sin 2 2 32 2 2ACDS AD CD ADC ， 7OC ， 10 分10PC , 152PCDS ，设 三 棱 锥 A PCD 的 高 为 h，因 为 A PCD P ACDV V ， 1 13 3PCD ACDS h
7、 S PO ，所 以 3 3 2 155152ACDPCDS POh S ， 11分所 以 三 棱 锥 A PCD 的 高 为 2 155 12 分19.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ ） 解 ： 由 题 意 得 32ce a ， 所 以 3= 2ac ， 2 2 2 214b a c a ， 2 分又 点 31 2（ ， ） 在 E 上 ， 所 以 22 231 4 1a b ， 联 立 ， 解 得 2, 1a b ，所 以 椭 圆 E 的 标 准 方 程 为 2 2 14x y 4 分（ ） 解 ： 设 点 ,A B 的 坐 标 为 ),(),( 2211 yxyx ， 依 题 意
8、 得 ，联 立 方 程 组 2 2 14 2x yy kx 消 去 ， 得 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx 6 分2 2(16 ) 48(1 4 ) 0k k ， 2 34k ， 7 分1 2 2161 4kx x k ， 1 2 2121 4x x k 1 2 1 2OOA B x x y y 8 分1 2 1 22 1 2 1 2( 2)( 2)(1 ) 2 ( ) 4x x kx kxk x x k x x 高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）42 2 212 16(1 ). 2 . 41 4 1 4kk kk k 2212 20 41 4 kk ，
9、 10 分O 2,OA B 2212 20 4 21 4 kk ， 10 分2 7 36 4k 11分所 以 ， 426k 12 分20.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ ） 解 ： 依 题 意 得 ， m、 n 的 所 有 情 况 有 ： 23， 25 ， 23， 30 ， 23， 26 ， 23， 16 ， 25，30） ， 25， 26 ， 25， 16 ， 30， 26 ， 30， 16 ， 26， 16 共 有 10 个 ； 2 分设 “m、 n 均 不 小 于 25“为 事 件 A， 则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 25， 30 ， 25， 26 ， 30，2
10、6 ， 3 分所 以 3(A) 10P ，故 事 件 A 的 概 率 为 310 ； 4 分（ ） 解 ： （ i ） 由 数 据 得 3 3 21 112, 27, ( )( ) 5, ( ) 2i i ii ix y x x y y x x ， 6 分313 21( )( ) 5,2( ) 2i ii ii x x y yb x x 7 分 5 527 12 32 2a y x ； 8 分所 以 y 关 于 x的 线 性 回 归 方 程 为 5 32y x 9 分（ ii ） 由 （ i ） 知 ， y 关 于 x的 线 性 回 归 方 程 为 y 5 32x 高 三 数 学 （ 文 科
11、） 答 案 （ 共 8 页 ）5当 x=10 时 ， 5 10 3 222y ， 22 23 2 ， 10 分当 x=8 时 ， 5 8 3 172y ， 17 16 2 11分所 以 ， 所 得 到 的 线 性 回 归 方 程 y 5 32x 是 可 靠 的 12 分（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）（ ） 解 ： 由 已 知 得 ( 1)( ) xe xf x e ， 2( ) xe xf x e 2 分(1)=0f， 又 (1) 1f ，曲 线 ( )y f x 在 点 1 (1)f（ ， 处 的 切 线 方 程 为 ： = 1y x 4 分（ ） 解 法 一 ： 令 2
12、1 2( ) ( ) 4 1 4xg x f x x x m x e x x m ， 1( ) 2 2xg x e x ， 6 分由 ( ) 0g x 得 ， 2x ； 由 ( ) 0g x 得 ， 2x 易 知 ， 2x 为 ( )g x 极 大 值 点 ，max 1( ) (2) 4g x g me x又 时 ( )g x ， x当 时 ， ( )g x 即 函 数 ( )g x 在 2x 时 有 负 值 存 在 ， 在 2x 时 也 有 负 值 存 在 ，由 题 意 ， 只 需 满 足 max 1( ) 4 0g x me ， m 的 取 值 范 围 是 ： 1 4m e .8 分解 法
13、 二 ： 1( ) 2xf x e x ， 6 分由 ( ) 0f x 得 ， 2x ； 由 ( ) 0f x 得 ， 2x 易 知 ， 2x 为 极 大 值 点 。而 2 4y x x m mR 在 x=2 时 取 得 极 小 值 ， 7 分高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）6由 题 意 ， 只 需 满 足 21(2) 2 8f me ， 解 得 1 4m e 。 8 分 由 题 意 知 ， 1 2,x x 为 函 数 2 1 2( ) ( ) 4 1 4xg x f x x x m x e x x m 的 两 个 零点 ， 由 知 ， 不 妨 设 1 22x x ，
14、 则 24 2x ， 且 函 数 ( )g x 在 ,2 上 单 调 递 增 ，欲 证 1 2 4x x ，只 需 证 明 1 24g x g x ， 而 1 2g x g x ，所 以 ， 只 需 证 明 2 24g x g x ， 9 分令 2 2 2 2( ) ( ) (4 ) 2H x g x g x x ， 则 2 21 32 2 2( ) 1 3x xH x x e x e 2 23 12 2( ) 2 x xH x x e e ， 10 分 2 2x ， 2 223 2 41 1x xxe ee ， 即 2 23 1 0x xe e 所 以 ， 2( ) 0H x ， 即 2(
15、)H x 在 2, 上 为 增 函 数 ，所 以 ， 2( ) (2) 0H x H ， 2 24g x g x 成 立 ， 11分所 以 ， 1 2 4x x .12 分请 考 生 在 第 （ 22） 、 （ 23） 二 题 中 任 选 一 题 做 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 ， 做 答 时请 写 清 题 号 22.（ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 （ ） 证 明 ： 依 题 意 ， 4sin 26OA ， 2 分4sin =42OB ， 54sin =26OC ，则 OA OC OB ， 5 分（
16、 ） 直 线 6 与 圆 的 交 点 A的 极 坐 标 为 4sin , 2,6 6 6 ， 6 分高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）7B 点 的 极 坐 标 为 4sin , 4,2 2 2 ， 7 分从 而 ， A、 B 两 点 的 直 角 坐 标 分 别 为 ： 3,1 , 0,4A B ， 8 分 直 线 l的 方 程 为 ： 3 4y x ， 9 分所 以 ， 0 21, 3y .10 分23.（ 本 小 题 满 分 10 分 ）（ ） 解 ： 因 为 ( ) (4 )f x f x ， x R ，所 以 f x 的 图 象 关 于 直 线 2x 对 称 .
17、2 分又 2 22af x x a 的 图 象 关 于 直 线 2ax 对 称 ， 4 分所 以 22a ， 所 以 ， 4a .5 分（ ） 解 ： x R ， 使 得 2 1f x x a 等 价 于 x R， 使 得 2 2 1 2 0x a x a .等 价 于 min2 2 1 2 0x a x a .( ) 2 2 1 2g x x a x a ， 6 分则 min( ) 2 2 1 2 1 2g x x a x a a a . 7 分所 以 ， 1 2 0a a .当 1a 时 ， 11 2 0, 3a a a ， 所 以 ， 11 3a ；当 1a 时 ， 1 2 0, 1a
18、a a ， 所 以 1a ， 9 分综 上 ， 13a .10 分（ 23） 另 解 ： （ ） ( ) (4 )f x f x 高 三 数 学 （ 文 科 ） 答 案 （ 共 8 页 ）8 2 3 2(4 ) 3x a a x a a ， 2 分 2 8 2x a x a ，即 2 8 2 , 2 8 2x a x a x a x a 或 （ 舍 ） 4 分所 以 ， 4a .5 分（ ） 解 ： 由 ( ) 2 1f x x a 得 ， 2 2 1 2x a x a 而 2 2 1 +1x a x a 7 分由 题 意 知 ， 只 需 满 足 1 2a a ， 即 2 1 2a a a 9 分即 2 11 2a aa a ， 13a .10 分
