2018年福建省福州市高三上学期期末质检数学文试题（PDF版）.rar

数学试 题 （第 1 页共 4 页） 福州市 2017－ 2018 学 年第一学期 高三期末 考试 文 科数学 试 题 本试 题 卷 共 4 页 ， 23 题 。全 卷 满分 150 分 ，考试 用时 120 分钟。 注意 事项 ： 1． 答题前，考生务必 在试题卷、答题卡规定的地方 填写自己的准考证号、姓名 。 考生要认真核对 答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 。 2． 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 。 第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答 。 在试题卷上作答，答案无效 。 3． 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 (1) 已知集合  ( 6 )( 1) 0A x x x   ，  10B x x   ， 则 AB （ A） (1,6) （ B） (1,1) （ C） (1,6) （ D）  (2) 若 复数 11iaz为纯虚数 ，则实数 a （ A） 2 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 2 (3) 已知  1,2,a  1,1,b 2c a b ， 则 c （ A） 26 （ B） 32 （ C） 10 （ D） 6 (4) 23 c o s1 5 4 s in 1 5 c o s1 5     （ A） 12（ B） 22（ C） 1 （ D） 2 (5) 已知双曲线 C 的 两个 焦点 12FF, 都在 x 轴 上，对称中心为原点， 离心率为 3 ． 若 点 M在 C 上，且 12MF MF ， M 到原点的距离为 3 ， 则 C的方程为 （ A） 22148xy（ B） 22148yx（ C） 22 12yx （ D） 22 12xy 数学试 题 （第 2 页共 4 页） (6) 已知 圆柱 的 高为 2， 底面 半 径为 3 ， 若 该圆柱的 两个 底面 的 圆周 都 在 同 一个 球面上 ，则 这个 球的表面积 等于 （ A） 4π （ B） 16π3（ C） 32π3（ D） 16π (7) 右面的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》 ．图中的  Mod ,N m n 表示 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，例如  Mod 10,3 1 ． 执行该程序框图，则输出的 i 等于 （ A） 23 （ B） 38 （ C） 44 （ D） 58 (8) 将函数 2sin cosy x x的图象向右平移 12个周期后，所得图象对应的函数为 （ A） sin 2cosy x x （ B） 2sin cosy x x （ C） sin 2 cosy x x   （ D） 2sin cosy x x  (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是 某 多面体 的三视图，则 该 多面体 的表面积为 （ A） 2 4 2 2 3 （ B） 2 2 2 4 3 （ C） 2 6 3 （ D） 8 4 2 (10) 已 知 函 数 22lo g , 0 ,() 4 1, 0 .x x a xfx x   若 ( ) 3fa ，则 2fa （ A） 1516（ B） 3 （ C） 6364或 3 （ D） 1516或 3 (11) 过椭圆 22:1xyCab（ 0ab ） 的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 ,AB两点，直线 l过 C 的 左焦点和上顶点 ． 若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的 离心率的取值范围是 （ A） 50,5 （ B） 5,15 （ C） 20,2 （ D） 2,12 (12) 已知函数   2eexxfx  ， 若 关于 x 的不等式  2( ) ( ) 0f x af x 恰有 3 个整数解，则实数 a 的最小值为 数学试 题 （第 3 页共 4 页） （ A） 1 （ B） 2e （ C） 2e1 （ D） 331e e第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)～ (21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 (22) 、 (23) 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 。 (13) 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸 伞 的宣传画 相邻的概率是 ． (14) 曲线 3222y x x x   在 1x 处的 切线 方程为 ． (15) ABC△ 的 内角 ,,ABC 的 对边分别为 ,,abc， 已知  3 c o s c o s ,a C c A b60B，则 A 的大小为 ． (16) 某 工厂 制作 仿古的桌子 和椅子，需要木工和漆工两道工序 ． 已知 生产一把椅子需要 木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时． 生产 一把椅子的利润 为 1 500 元 ，生产 一张桌 子 的利润 为 2 000 元 ． 该 厂 每个月木工 最多 完成 8 000 个工作时 、 漆工最多 完成 1300 个工作时 ． 根据以上条件， 该 厂 安排生产 每个月 所 能获得 的 最大利润 是 元 ． 三、解答题：解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 。 (17) （本小题满分 12 分） 已知数列 na 前 n 项和为 nS ，且 21nnSa． （Ⅰ ） 证明 数列 na 是等比数列； （Ⅱ ） 设  21nnb n a，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． (18) （本小题满分 12 分） 随着“互联网 +交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现 .某运营公司为了了解某地区用户对 其 所提供的 服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度评分如下： 用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的评分用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 1 78 2 73 3 81 4 92 5 95 6 85 7 79 8 84 9 63 10 86 11 88 12 86 13 95 14 76 15 97 16 78 17 88 18 82 19 76 20 89 21 79 22 83 23 72 24 74 25 91 26 66 27 80 28 83 29 74 30 82 31 93 32 78 33 75 34 81 35 84 36 77 37 81 38 76 39 85 40 89 数学试 题 （第 4 页共 4 页） 数据为 92． （Ⅰ ） 请你 列出 抽到的 10 个 样本的评分数据； （Ⅱ ） 计算 所抽到的 10 个 样本的均值 x 和方差 2s ； （Ⅲ ） 在（Ⅱ ） 条件下 ，若用户的满意度评分在  ,x s x s之间，则满意度等级为“ A级” ． 试 应用样本估计总体 的 思想，估计该地区满意度等级为“ A 级” 的用户 所占的百分比是多少？（精确到 0.1%） 参考数据： 30 5.48 ， 33 5.74 ， 35 5.92 ． (19) （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 E ABCD 中， ,AB CD∥ 90 ,ABC  2 2 4CD AB CE  ，点 F 为棱 DE 的中点． （Ⅰ ） 证明： AF∥ 平面 BCE ； （Ⅱ ） 若 4,BC 120 ,BCE   25DE ，求三棱锥B CEF 的体积． (20) （本小题满分 12 分） 抛物 线 2: 2 4C y x x a  与 两 坐标轴有三个交点， 其中与 y 轴 的交 点 为 P ． （Ⅰ） 若 点 (, )Qxy （ 14x ） 在 C 上 ， 求直线 PQ 斜率的取值范围； （Ⅱ） 证明： 经过这三个交点 的圆 E 过定点 ． (21) （本小题满分 12 分） 已知 函数 eln()f x x ax（ aR ） . （Ⅰ ） 讨论 ()fx的单调性 ； （Ⅱ ） 当 ea 时， 证明： e(0e)2xx f x x ． 请考生在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答 。 注意：只能做所选定的题目 。 如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 。 (22) （本小题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 :C cos ,sinxty  （  为参数， 0t ） ． 在 以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴 的 极坐标系 中 ，直线 :l cos 24． （ Ⅰ ） 若 l 与曲线 C 没有公共点，求 t 的取值范围； （ Ⅱ ） 若曲线 C 上存在点到 l 距离的最大值为 1 622 ，求 t 的值 ． (23) （本小题满分 10 分）选修 45 ：不等式选讲 设函数   1,f x x x   R． （ Ⅰ ） 求 不等式    31f x f x的解集 ； （ Ⅱ ） 已知关于 x 的不等式    1f x f x x a  的解集为 M ，若 31,2 M，求实数 a 的取值范围 ． FEAB CD 文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 8 页） 福州市 2017-2018 学年第一学期高三期末考试 文 科数学 参考 答案 及评分细则 评分 说明： 1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 。 2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误 时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 。 3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 。 4． 只给整数分数 。 选择题和填空题不给中间分 。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） D （ 5） C （ 6） D （ 7） A （ 8） D （ 9） A （ 10） A （ 11） A （ 12） C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （ 13） 23（ 14） yx （ 15） 75 （ 16） 2100000 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 ． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) 本小题考查数列的通项 与 前 n 项和 的关系 、 等比数列的定义、 数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分． 【 解析 】 （ Ⅰ ） 当 1n 时， 1 1 121a S a   ，所以 1 1a ， ······························ 1 分 当 2n 时，    112 1 2 1n n n n na S S a a     ， ······································· 3 分 所以 12nnaa ， ·················································································· 4 分 所以数列 na 是以 1 1a 为首项，以 2 为公比的等比数列 ． ··························· 5 分 （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 知， 12nna  ， ······························································· 6 分 所以   12 1 2nnbn  ， 所以      2 2 11 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2 1nnnT n n           ····················· 7 分      212 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2 2nnnT n n           ······ 8 分   12 得： 文科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 8 页）    1 2 11 2 2 2 2 2 1 2nnnTn         ················································ 9 分  12 2 21 2 2 1 212n nn     ······················································· 10 分  3 2 2 3nn   ， ······································································· 11 分 所以  2 3 2 3nnTn  ． ··································································· 12 分 (18) 本小题主要考查抽样方法、平均数、方差 等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．满分 12分． 解： （Ⅰ ） 由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89． ························ 3 分 （Ⅱ ） 由（Ⅰ ） 中的样本评分数据可得  1 9 2 8 4 8 6 7 8 8 9 7 4 8 3 7 8 7 7 8 9 8 310x           ， ····························· 5 分 则有            2 2 2 2 2 22 1 92 83 84 83 86 83 78 83 89 83 74 8310s             283 83  278 83    227 7 8 3 8 9 8 3 3 3    ． ········································ 8 分 （Ⅲ ） 由题意知评分在  83 33,83 33之间，即  77.26,88.74 之间， ········· 9 分 由（ Ⅰ ）中容量为 10 的样本评分在  77.26,88.74 之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ A 级” 的用户 所占的百分比约为 5 100% 50.0%10 ． ··································· 12 分 另解：由题意知评分在  83 33,83 33，即  77.26,88.74 之间，从调查的 40 名用户评分数据中在  77.26,88.74 共有 21 人， 则该地区满意度等级为“ A 级”的用户所占的百分比约为 21 10 0% 52 .5%40 ． ···································································· 12 分 (19)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的平行关系及三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分 12分． 解法一： （Ⅰ ） 证明：取 CE 的中点 M ，连接 ,FM BM ． ····························· 1 分 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 8 页） 因为点 F 为棱 DE 的中点， 所以 FM CD∥ 且 1 22FM CD， ··························································· 2 分 因为 AB CD∥ ，且 2AB ， 所以 FM AB∥ 且 FM AB ， 所以四边形 ABMF 为平行四边形， ·························································· 3 分 所以 AF BM∥ ， ·················································································· 4 分 因为 AF 平面 BCE ， BM 平面 BCE ， 所以 AF∥ 平面 BCE ． ·········································································· 6 分 （ Ⅱ ） 因为 AB CD∥ ， 90ABC   ， 所以 CD BC ． 因为 4CD ， 2CE ， 25DE ，所以 2 2 2CD CE DE， ························ 7 分 所以 CD CE ， 因为 BC CE C ， BC 平面 BCE ， CE 平面 BCE ， 所以 CD 平面 BCE ． ·········································································· 8 分 因为点 F 为棱 DE 的中点，且 4CD ， 所以点 F 到平面 BCE 的距离为 2． ·························································· 9 分 11sin 4 2 sin 120 2 322B CES B C CE B CE       △ ． ································· 10 分 三棱锥 B CEF 的体积 1 1 4 32 2 3 23 3 3B C E F F B C E B C EV V S        ．········· 12 分 解法二 ：（ Ⅰ ） 证明 ： 在 平面 ABCD 内 ，分别延长 ,CBDA ， 交于点 N ． ··········· 1 分 因为 ,AB CD∥ 2CD AB ， 所以 A 为 DN 中点． ············································································· 3 分 又 因为 F 为 DE 的 中点， 所以 AF EN∥ ， ··················································································· 4 分 因为 EN 平面 ,BCE AF 平面 BCE ， 所以 AF∥ 平面 BCE ． ·········································································· 6 分 （Ⅱ ） 同 解法一 ． ·············································································· 12 分 解法 三 ：（Ⅰ） 证明 ： 取棱 CD 的中点 G ，连接 ,AGGF ， ····························· 1 分 因为点 F 为棱 DE 的中点， MFEAB CDNFAB CED文科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 8 页） 所以 FG CE∥ ， 因为 FG 平面 BCE ， CE 平面 BCE ， 所以 FG∥ 平面 BCE ； ·········································································· 3 分 因为 AB CD∥ ， 2AB CG， 所以四边形 ABCG 是平行四边形， 所以 AG BC∥ ， 因为 AG 平面 BCE ， BC 平面 BCE ， 所以 AG∥ 平面 BCE ； ·········································································· 4 分 又因为 FG AG G ， FG 平面 AFG ， AG 平面 AFG ， 所以平面 AFG∥ 平面 BCE ； ·································································· 5 分 因为 AF 平面 AFG ， 所以 AF∥ 平面 BCE ． ·········································································· 6 分 （Ⅱ ） 同 解法一 ． ·············································································· 12 分 (20) 本 小 题主要考查 坐标法 、 直线与 抛物线 的位置关系 、圆 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想 、 函数与方程思想 、 化归与转化 思想 等 ．满分12 分． 解 法 一 ： （ Ⅰ ）由题意得 (0, )Pa（ 0a ） , 2( , 2 4 ) (1 4 )Q x x x a x   ． ··········· 1 分 故 224PQ x x a ak x  24x ······················································································ 3 分 ( 2,4) ． ·················································································· 4 分 （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，点 P 坐标为  0,a （ 0a ） ． 令 22 4 0x x a   ，解得 4212 ax ， 故 421 , 02 aA421 , 02 aB． ···················································· 5 分 故可设圆 E 的圆心为 (1,)Mt， 由 22MP MA 得，   22224212 at a t   ， FA GB CED文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 8 页） 解得 124at，则圆 E 的半径为 21142ar M P    ． ··························· 7 分 所以 圆 E 的方程为   222 11112 4 4 2aaxy               ， ······························· 8 分 所以圆 E 的一般方程为 22 12022ax y x a y     ， 即 22 112022x y x y a y              ． ···················································· 10 分 由22 12 0,21 0,2x y x yy     得 012xy 或 212xy ， ·········································· 11 分 故 E 都过定点 10, ,212,2． ······························································· 12 分 解法 二： （Ⅰ ） 同 解法一 ． ······································································ 4 分 （Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，点 P 坐标为  0,a （ 0a ） ， 设 抛物线 C 与 x 轴两 交点分别为  1,0 ,Ax 2,0Bx ． 设圆 E 的 一般方程为： 22 0x y D x F y G    ，则 21122220,0,0.x Dx Gx Dx Ga Fa G       ···················································· 5 分 因为 抛物线 C 与 x 轴交 于  1,0 ,Ax  2,0Bx ， 所以 12,xx是 方程 22 4 0x x a   ， 即 2 202axx  的 两根， 所以 2,2aDG ， ············································································· 7 分 所以 2 12GaFaa    ， 所以圆 E 的一般方程为 22 12022ax y x a y     ， ······························· 8 分 即 22 112022x y x y a y              ． ···················································· 10 分 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 8 页） 由22 12 0,21 0,2x y x yy     得 012xy 或 212xy ， ·········································· 11 分 故 E 都过定点 10, ,212,2． ······························································· 12 分 (21)本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力 、抽象概括能力 等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 12 分． 【 解析 】（ Ⅰ ） e()f x ax （ 0x ） ， ····················································· 2 分 ① 若 0a ，则 ( ) 0fx  ， ()fx在 (0, ) 上 为增 函数 ； ····························· 3 分 ② 若 0a ， 则 当 exa时， ( ) 0fx  ；当 exa时， ( ) 0fx  ． ·················· 4 分 故在 0,ea上， ()fx为增 函数 ；在 e,a上， ()fx为减 函数 ． ··················· 5 分 （ Ⅱ ） 因为 0x ， 所 以只需证   e 2exfxx ， ········································· 7 分 由 （ Ⅰ ） 知 ，当 ea 时 ， fx在  0,1 上 为增函数，在  1, 上 为减函数， 所以    max 1ef x f  ． ····································································· 9 分 记   e 2exgxx（ 0x ） ， 则    21exxgx x  ， 所以， 当 01x时 ，   0gx  ， gx为 减函数 ； 当 1x 时 ，   0gx  ， gx为增函数 ， ··································································································· 10 分 所以    m in 1eg x g  ． ···································································· 11 分 所以 当 0x 时 ，    f x g x ， 即   e 2exfxx ， 即   e 2e 0xxf x x ． ·· 12 分 解法 二： （Ⅰ ） 同解法一． ······································································ 5 分 （ Ⅱ ） 由题意知，即证 2eeln 2 0eexx x x x  ， 从而等价于 ln 2 eexxx x． ·································································· 7 分 文科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 8 页） 设函数 ( ) ln 2g x x x  ，则 1( ) 1gxx . 所以当 (0,1)x 时， ( ) 0gx  ；当 (1, )x  时， ( ) 0gx  ， 故 ()gx在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减 ． 从而 ()gx在 (0, ) 上的最大值为 (1) 1g  ． ················································ 9 分 设函数e( e) xhx x，则2(( e )) e 1x xhx x  ． 所以当 (0,1)x 时， ( ) 0hx  ；当 (1, )x  时， ( ) 0hx  ． 故 ()hx 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增 . 从而 ()hx 在 (0, ) 上的最小值为 (1) 1h  ． ·············································· 11 分 综上，当 0x 时， ( ) ( )g x h x ，即 e(0e)2xxf x x ． ··························· 12 分 (22) 本小题考查极坐标方程和参数方程、直线与椭圆的位置关系、点到直线距离最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分 10 分． 解： （ Ⅰ ） 因为直线 l 的极坐标方程为 cos 24， 即 cos sin 2   ， 所以直线 l 的直角坐标方程为 20xy   ． ··············································· 2 分 因为  c os , 0sinxt ty     为 参 数 ,， 所以 曲线 C 的普通方程为 2 22 1x yt ， ····················································· 3 分 由 2222,1,xyx yt 消去 x 得，  2 2 21 4 4 0t y y t    ， 所以   221 6 4 1 4 0tt     ， ···························································· 4 分 解得 03t ， 故 t 的取值范围为  0, 3 . ······································································· 5 分 （ Ⅱ ） 由（ Ⅰ ）知直线 l 的直角坐标方程为 20xy   ， 故曲线 C 上的点  cos ,sint 到 l 的距离 c o s sin 22td ， ··················· 6 分 文科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 8 页） 故 d 的最大值为 2 122t ， ·································································· 8 分 解得 2t . ···················································································· 9 分 又因为 0t ，所以 2t ． ······························································· 10 分 (23)本小题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分 10 分． 解： （ Ⅰ ） 因为    31f x f x，所以 1 3 2xx   ，  1 2 3xx   ，  1,3 2 3,x x 或 1 2,1 3,x或 2,2 3 3,xx ·················································· 3 分 解得 01x 或 12x 或 23x ， ······················································ 4 分 所以 0 3,x 故不等式    31f x f x的解集为  0,3 ． ············································· 5 分 （ Ⅱ ） 因为 31,2 M， 所以当 31,2x 时，    1f x f x x a  恒成立， ·································· 6 分 而    1f x f x x a   10x x x a    1x a x x  ， ········ 7 分 因为 31,2x ，所以 1xa ，即 11x a x， ··································· 8 分 由题意，知 11x a x对于 31,2x 恒成立， ······································ 9 分 所以 1 22 a，故实数 a 的取值范围 1,22． ·········································· 10 分