1、第五节 数列的综合应用,三年20考 高考指数: 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.,1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式. 2.常在知识的交汇处命题，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查，考查学生的化归与转化能力. 3.多以解答题的形式考查.,数列的综合应用 (1)解答数列应用题的步骤 审题仔细阅读材料，认真理解题意. 建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. 求解求出该问题的数学解. 还原将所求结果还原到原实际问题中.,具体解题步骤用框图表示如下：,实
2、际应用题,构建数列模型,与数列有关的 数学问题,数学问题的解,(2)数列应用题常见模型 等差数列模型：对该模型中任意相邻的两个量，如果增加(或减少)的量是一个常数时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的常数就是公差. 等比数列模型：对该模型中任意相邻的两个量，如果后一个量与前一个量的比是一个常数时，该模型是等比数列模型，这个固定的常数就是公比.,递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.,【即时应用】 (1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式设本
3、金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1+rn)，属于等差数列模型.复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1+r)n，属于等比数列模型.,(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 _元. 【解析】由题意知，小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+2ar+ar= 答案：78ar,(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这
4、样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，则细菌将病毒全部杀死至少需要_秒钟. 【解析】设需要n秒钟，则1+21+22+2n-1100,答案：7,等差、等比数列的综合应用 【方法点睛】 解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联系.将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用题等联系起来. (2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法.,【例1】已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设
5、是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn. 【解题指南】(1)列出关于a1,d的方程组，求出a1,d. (2)先求 再利用(1)中所得an求bn,最后用错位相减法求Tn.,【规范解答】(1)依题意得解得 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1.,(2) =3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1, Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1 3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n 则-2Tn =3+23+232+23n-1-(2n+1)3n = =-2n3n, Tn=n3n.,【反思感悟】1.解答本题(
6、1)时，列出关于a1,d的方程组是关键，求解本题(2)时，求出bn是关键. 2.利用等比数列前n项和公式时，注意公比q的取值，同时对等差、等比数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解,【变式训练】数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1). (1)求an的通项公式; (2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.,【解析】(1)由an+1=2Sn+1, 可得an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an，则an+1=3an
7、(n2). 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首项为1，公比为3的等比数列， an=3n-1.,(2)设bn的公差为d, 由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d，又a1=1,a2=3,a3=9，由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10. 等差数列bn的各项为正，d0, d=2,b1=3,Tn=,【变式备选】数列an是首项a1=4的等比数列，其前n项和为Sn, 且S3，S2，S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)若bn=log2|an|(nN*)，设Tn为数列 的前n项和，求
8、证：,【解析】设数列an的公比为q, (1)若q=1,则S3=12,S2=8,S4=16, 显然S3，S2，S4不成等差数列，与题设条件矛盾， 所以q1. 由S3，S2，S4成等差数列，得化简，得q2+q-2=0, q=-2或q=1(舍去)， an=4(-2)n-1=(-2)n+1.,(2)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1. 当n=1时，Tn= 当n2时，,则Tn=综上可知Tn 对任意nN*恒成立.,数列的实际应用 【方法点睛】 1.数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为
9、数学中的等差、等比数列问题，然后求解,2.处理分期付款问题时的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息) (2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系.,【提醒】解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是求Sn，特别是要弄清项数.,【例2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并 以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年 投入将比上年减少 本年度当地旅游业估计收入400万元，
10、由 于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入 为bn万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？,【解题指南】解决本题(1)的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第(2)问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法求解.,【规范解答】(1)第一年投入为800万元， 第二年投入为 万元， 第n年的投入为 万元， 所以,n年内的总投入为：,第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 万元.
11、 第n年旅游业收入为 万元, 所以,n年内的旅游业总收入为,(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn-an0, 即 化简得 设 代入上式，得5x2-7x+20, 解此不等式，得x1(舍去)， 即 由此得n5. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.,【反思感悟】1.解答本题时，理解题意是关键，其中an,bn是等比数列的前n项和，而非第n项. 2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型.,3.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研
12、究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关.,【变式训练】流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制.从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人.问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.,【解析】设从11月1日起第n(nN*,1n30)日感染此病毒的新
13、 患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构 成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50， 前n日的患者总人数即该数列的前n项之和Sn= =25n2-5n. 从第n+1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另 一等差数列，这个等差数列的首项为20+(n-1)50-30= 50n-60,公差为-30，项数为(30-n),(30-n)日的患者总人数为T30-n=(30-n)(50n-60)+=(30-n)(65n-495)=-65n2+2 445n-14 850. 依题意,得Sn+T30-n=8 670，即(25n2-5n)+(-65n2+2 445n-14
14、 850) =8 670. 化简得n2-61n+588=0，解得n=12或n=49. 1n30，n=12. 第12日的新患者人数为20+(12-1)50=570. 11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新 患者人数为570人.,【变式备选】气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这 台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(nN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指 使用这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( ) (A)600天 (B)800天 (C)1 000天 (D)1 200天,【解析】选B.由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得
15、出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立 时相应n的值. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为当且仅当 时，取得最小值，此时n=800.,数列与函数、不等式的综合应用 【方法点睛】 1.数列与函数的综合问题 一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题.,2.数列与不等式的综合问题 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解. (2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明.,【例3】已知函数f(x)= 数列an满足a1=1,an+1= nN*, (1)求数列an的通项公式; (2)令Tn=a1a2-a2a3
16、+a3a4-a4a5+-a2na2n+1,求Tn; (3)令bn= b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn 对一切nN*成立，求最小正整数m.,【解题指南】(1)可由已知得an+1与an的关系，从而判断出数列的类型. (2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)、(3)问.,【规范解答】(1)an+1= an是以 为公差的等差数列. 又a1=1,an=,(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1),(3)当n2时，bn=又 Sn=b1+b2+bn,Sn= 对一切nN*成立.递增，且 即
17、m2 012. 最小正整数m=2 012.,【反思感悟】1.在求最小正整数m的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而Sn最值的求法使用了数列的单调性. 2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选.,【变式训练】(2012湛江模拟)已知数列an中，a1=1,anan+1= 记T2n为an的前2n项的和. (1)设bn=a2n,证明：数列bn是等比数列； (2)求T2n; (3)不等式64T2na2n3(1-ka2n)对一切nN*恒成立
18、，求实数k的最大值.,【解析】(1)bn是以b1=a2= 为首项，以 为公比的等比数列.,(2)由(1)知，bn= 当n=2k(kN*)时，an=a2k=bk= 当n=2k-1(kN*)时，an=a2k-1=T2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n),(3)由(2)知，64T2na2n3(1-ka2n)即(当且仅当n=3时等号成立), k的最大值为-48.,【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011陕西高考)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于
19、点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1;P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,n).,(1)试求xk与xk-1的关系(k=2,n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|.,【解题指南】(1)求出曲线y=ex在点Qk-1(xk-1, )处的切线方程，令y=0可得xk与xk-1的关系. (2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解.,【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),y=ex, y=ex,3分 Qk-1(xk-1, )， 在点Qk-1(xk-1, )处的切线方程是y- = (x-xk-1), 令y=
20、0,则xk=xk-1-1(k=2,n).6分,(2)x1=0,xk-xk-1=-1, xk=-(k-1), |PkQk|= =e-(k-1),9分 于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn| =1+e-1+e-2+e-(n-1)即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012广州模拟)已知数列an的前n项和为Sn，过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(nN*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值等于( ) (A)52 (B)40 (C)26
21、(D)20,【解析】选B.由题意，知 Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2,an=3n-5, 因此数列an是等差数列，a5=10, a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40.,2.(2012河源模拟)已知函数f(n)= 且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于( ) (A)0 (B)100 (C)-100 (D)10 200,【解析】选B.an=f(n)+f(n+1), a1+a2+a3+a100=f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+f(4)+f(100)+f(101) =(32-22)+(52-42)+(72-62)+(1012-
22、1002)+(12-22)+(32-42)+(52-62)+(992-1002)=(5+9+13+201)-(3+7+11+199)=100.,3.(2012 云浮模拟)某企业2011年初贷款a万元，年利率为r，按复利计算，从2011年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为_万元. 【解析】假设每年还x万元，则有x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x=a(1+r)5,即x(1+r)5-1=ar(1+r)5,x= 答案：,4.(2012湛江模拟)已知数列an满足a1=1,an+1=(1)求a2,a3; (2)设bn=a2n-2,nN*,求证：数列bn是等比数列，并求其通项公式; (3)已知cn= 求证：,【解析】(1)由数列an的递推关系易知：(2)bn+1=a2n+2-2=又 即数列bn是公比为 ,首项为 的等比数列，,(3)由(2)有,
