1、第 8 讲 列方程(组) 解应用题陕西中考说明 陕 西2012 2014 年中考试题分析考点归纳 考试要求 年份 题型 题号 分值 考查内容 分值比重方程(组)的实际应用1.能 够根据具体问题的实际意义，列出方程或方程组并求解，且有意识地检验结果是否合理；2.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；3.体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；4. 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程 由上表可知，我省近三年的中考试题中有关方程(组)的实际应用的考查明显有所淡化，虽然近三年对本节的内容未考查到，但由于其是中考需要掌握的内容，而且曾在2011 年第 14 题考查了一元一次方程的实际应
2、用，涉及商品销售打折问题，题型为填空题，分值为 3 分，因此在 2015 年的中考试题可能会考查到其相关知识，因此在复习中不容忽视1列方程(组)解应用题的一般步骤(1)_审题_；(2)_设元_；(3)找出包含未知数的_等量关系_；(4)_列出方程(组)_；(5)_求出方程(组)的解_；(6)_检验并作答_2各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程速度时间；相遇问题：两者路程之和全程；追及问题：快者路程慢者先走路程(或相距路程) 慢者后走路程(2)工程问题：工作量工作效率工作时间(3)几何图形问题：面积问题：S 长方形 ab(a，b 分别表示长和宽) ；S 正方形 a 2(a 表示边长)；S 圆
3、 r2(r 表示圆的半径)；注：面积问题常见形式归纳如下：如图 1 所示的矩形 ABCD 长为 a，宽为 b，空白部分宽一样为 x，则阴影的面积表示为(a2x)(b 2x)如图 2 所示的矩形 ABCD 长为 b，宽为 a，阴影道路的宽为 x，则 4 块空白部分的面积为(a x)(bx)如图 3 所示的矩形 ABCD 长为 b，宽为 a，阴影道路的宽为 x，则空白部分面积的和可以转化为(a x)(bx)体积问题：V 长方体 abh(a，b，h 分别表示长、宽、高) ；V 正方体 a 3(a 表示边长)；V 圆锥 r2h(r 表示底面圆的半径，h 表示高) ；13其他几何图形问题：如线段、周长等
4、(4)增长率问题：如果基数用 a 表示，末数用 A 表示，x 表示增长率，时间间隔用 n 表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1x) nA.(5)利润问题：利润销售价进货价标价折扣( )进货价(x 表示打 x 折)；x10利润率 ；利 润进 货 价销售价(1利润率)进货价(6)利息问题：利息本金利率期数；本息和本金利息一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志两种设元方法(1)直接设元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，再用这个
5、未知数表示另一个未知量 这种设未知数的方法叫做直接设元法(2)间接设元如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法三个注意列方程(组) 解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来 ，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系一般来说，有几个未知量就必 须列出几个方程 ，所列方程必须注意：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相等方程(组)的应用【例 1】 (2014呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自 2012 年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为
6、三个档级收费，第一档为用电量在 180 千瓦时( 含 180 千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在 180 千瓦时到 450 千瓦时( 含 450 千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出 450 千瓦时的部分，执行市场调节价格我市一位同学家今年 2 月份用电 330 千瓦时，电费为 213 元，3 月份用电 240 千瓦时，电费为 150 元已知我市的一位居民今年 4，5 月份的家庭用电量分别为160 和 410 千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民 4，5 月份的电费分别为多少元解：设基本电价为 x 元/千瓦时 ，提高电价为 y 元/ 千瓦时 ，由题意，得
7、解得 则 4 月份电费为 1600.696( 元)，5 月份电费为180x 150y 213，180x 60y 150， ) x 0.6，y 0.7， )1800.62300.7108161269(元) 即这位居民 4 月份的电费为 96 元，5 月份的电费为 269 元【点评】 本题考查了二元一次方程 组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解1(2014淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次 每户每月用电数(度) 执 行 电价( 元/度)第一档 小于等于 200 0.55第二档 大于 200 小于 400 0.6第三档
8、 大于等于 400 0.85例如：一户居民 7 月份用电 420 度，则需缴电费 4200.85357(元) 某户居民 5，6 月份共用电 500 度，缴电费 290.5 元已知该用户 6 月份用电量大于 5月份，且 5，6 月份的用电量均小于 400 度问该户居民 5，6 月份各用电多少度解：当 5 月份用电量为 x 度200 度，6 月份用电(500x)度，由题意，得0.55x0.6(500x)290.5，解得 x190，6 月份用电 500x310 度当 5 月份用电量为 x 度200 度，6 月份用电量为(500x) 度，由题意，得 0.6x0.6(500x)290.5，300290.
9、5，原方程无解5 月份用电量为 190 度，6 月份用电 310 度分式方程的应用【例 2】 (2013安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵 20 元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 2000 元要多，多出的部分能购买 25 副乒乓球拍(1)若每副乒乓球拍的价格为 x 元，请你用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求 x.解：(1)(4000 25x)元(2)购买每副乒乓球拍用去了 x 元，则购买每副羽毛球拍用去了 (x20)元，由题意得 ，解得 x140，x 240，经
10、检验，x 1，x 2都是原方程的根，但2000x 2000 25xx 20x0，x40.即每副乒乓球拍的价格为 40 元【点评】 分式方程解应用题 注意双重 检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意2(2014威海)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用 700 元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲种粽子比乙种粽子少用 100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为(120%)x 元，由题意得 260，解得 x2.5，经检验：x2.5 是原分式方程的解，(120%)x 3，300（
11、1 20%）x 400x则买甲粽子为 100 个，乙粽子为 160 个即乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两3003 4002.5种粽子各购买 100 个、160 个一元二次方程的应用【例 3】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 45 元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 4 件若商场平均每天盈利 2100 元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价 x 元，可使商场每天盈利 2100 元，根据题意得(45x)(20 4x)2100，解得 x110，x 230，因应尽快
12、减少库存，故 x30.即每件衬衫应降价 30 元【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根3(2014新疆)如图，要利用一面墙(墙长为 25 米) 建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米解：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为(1004x) 米根据题意得(1004x)x400，解得 x120，x 25.则 1004x20
13、或 1004x80.8025，x 25 舍去即AB20 ，BC 20.答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米，20 米试题 甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A，B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩的路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度错解解：设甲的速度为每小时 x 千米，乙的速度为每小时 y 千米，得解得 答：甲的速度为每小时 4 千米，乙的速度3x 3y 30 3，30 （3 2）x 230 （3 2）y， ) x 4，y 5.)为每小时 5 千米剖析(1)一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一
14、次方程 组为好，要具体分析一般来说，列一元一次方程 时，在列方程的思考上 ，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜(2)有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种 ，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误；(3)分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性 ，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的
15、分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最 简单原则正解解：设甲的速度为每小时 x 千米，乙的速度为每小时 y 千米当甲、乙两人相遇前相距 3 千米时，得 解得3x 3y 30 3，30 （3 2）x 230 （3 2）y， )x 4，y 5.)当甲、乙两人经过 3 小时相遇后又相距 3 千米时，得解得3x 3y 30 3，30 （3 2）x 230 （3 2）y， ) x 513，y 523.)答：甲的速度为每小时 4 千米，乙的速度为每小时 5 千米；或甲的速度为每小时 5 千13米，乙的速度为每小时 5 千米23
